第三章 第九节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学分层练习册（广西专用）

第九节 二次函数的实际应用(3年2考，2分或12分) 阶基础巩固 类型1利润最值问题 1.(2025南宁四十七中模拟)某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树 的利润y(万元)与投资量x(万元)成正比例关系，如图1所示；种植果树的利润y,(万元)与投资 量x(万元)成二次函数关系，如图2所示.如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共10万元， 那么他能获取的最大总利润是 () A.20万元 B.32万元 C.48万元 D.50万元 P(1,2) Q(2,2) 0.6 0.3 12龙 012 图1 图2 020010003000x 第1题图 第2题图 类型2抛物线形问题(2024.18) 2.（2025山东)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度 x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关 系；在中高光照强度范围(x≥1O00)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据 图象，下列结论正确的是 () A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 3.(2025柳州模拟)如图1，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是 喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距 喷灌架底部的距离)设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高 度5米. (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否能喷射到这棵果树？请通过计算 说明. 8 图1 图2 46 类型3面积最值问题(2025.22) 4.（2025广西模拟)用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大， 小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是 方案1 方案2 方案3 A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.都一样 5.（2025南宁外国语学校二模)九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如 下：如何设计纸盒？选择“素材1”“素材2”设计了实验活动.请你尝试帮助他们解决相关问题. 利用一边长为40cm的正方形纸板可以 素材1 设计成如图所示的无盖纸盒 如图，在正方形硬纸板的四角处各剪掉 素材2 个同样大小的小正方形，将剩余部分 折成一个无盖纸盒 (1)初步探究，制作一个底面积为484cm2的无盖纸盒，需要剪掉的小正方形边长为多少？ (2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和剪掉的小正方形的边 长；如果没有，请说明理由. 47 二阶能力提升 6.[中华优秀传统文化](2025南宁邕宁区民族中学模拟)廊桥是我国古老的文化 遗产，如图，是某座抛物线形的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高 点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF等于 米 7.(2025玉林三模)【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图 1.挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成。 【素材2】将图1的两段抛物线抽象成如图2所示的抛物线L1和抛物线L2,抛物线L,和抛物线L2 大小形状完全相同，AO,BC,DE三个支撑杆均垂直于地面OE,垂足分别是点O,C,E,A0=BC= DE=3 m. 【素材3】点C是OE的中点，OC=4m.以点0为原点，OE所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建 立如图2所示的平面直角坐标系，抛物线L,的函数表达式为y=ax2-bx+6b. 【任务】 (1)求a,b的值； (2)求抛物线L,的函数表达式； (3)在抛物线L2上的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状 不改变)，彩带末端恰好接触到地面N处，MN⊥OE于点N,NE=3m,求彩带的长度MN. 我们装业啦 B M 图1 图2 48 三阶实践操作 8. 综合与实践(2025兰州)在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子 发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长 素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决， 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的 发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据 如下： 生长素浓度x(标准单位) 00.611.722.52.73 3.3 4 4.2 发芽率y(%)》 35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应 的点 说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为自然发芽率： ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验。 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. y(9%) 80 60 401 自然发芽率20 23456x标准单位) 499(1)反比例函数的关系式为y=4 一次函数的关系式为y=21, (2)不等式4-<0的解集为-2<<0或>2 (3)b的值为-6或9. 第六节二次函数的图象与性质 1.B2.B3.C4.C5.C【变式1】A【变式2】C 6.0【变式】-77.D8.A9.D 10.解：(1)①当a=-4时，y=x2+2ax+a-3=x2-8.x-7. ②1>0当x=-2x(-=4时，y取得最小值，最小 2 值为16-32-7=-23. (2)合理.二次项系数为1>0， .抛物线开口向上，函数有最小值. 当：=空时y取得最小值。 故甲同学的说法合理 (3)正确.当x=-a时，y=x+2ax+a-3=-a2+a-3. -10当=2x宁时，y取得最大位，最大 1 11 第七节二次函数的解析式的确定及图象的变换 1.D【变式】y=x2-4x+3 2.y=-x2+x+2(答案不唯一)【变式1】y=-x2-2x+3 2+1 【变式2y=-3x-1(答案不唯一)【变式3=32-3 3.A【变式1】B【变式2】C【变式3】C 【变式4】(4，-3)4.D5.y=-(x+3)2+1 6.(1)二次函数的解析式为y=x2+x+3. (2)m的值为4. 7.(1)解：①.·函数图象经过点(2,5)， ∴.4+4a-3a=5,.a=1, ∴.二次函数的解析式为y=x2+2x-3. ②由题意，得将点A向左平移5个单位长度后的坐标为 (m-5,n),点A向右平移4个单位长度后的坐标为(m+ 4,n).,·对称轴是直线x=-1, (m-5)+(m+4) 2 =-1,∴.m=- 2 (2)证明：：x1+x2=3,.x2=3-x1 :M(x1,y1),N(3-x1,y2）是二次函数y=x2+2ax-3a图 象上两点小x1≠3-1心≠2， .3 .y1ty2=x+2ax1-3a+(3-x1)2+2a(3-x1）-3a=2x 6+9=22号e>号 9 第八节二次函数的图象与系数的关系 (含与方程、不等式的关系) 1D2.D3.C4.a>b>>e5.D6.m≤8 7.D 8.A9.A10.B 11.解：(1).抛物线y=x2-4mx+2m+1经过点(4,3)， ∴.16-16m+2m+1=3,解得m=1. ∴.抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .此抛物线的顶点坐标为(2，-1). (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, ∴.抛物线开口向上，对称轴为直线x=2m. :当2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值为4， .距离对称轴越远，y的值越大，即当x=2m-3时，y=4, ∴.(2m-3-2m)2-4m2+2m+1=4, 解得m=子或m=-1,放m的值为2或-1 3 (3):抛物线y=x2-4mx+2m+1与线段0A恰有一个交 (2m+1>0, 点， 或/2m+1<0, (1-4m+2m+1<0(1-4m+2m+1>0, 1 .m>1或m<-2 第九节二次函数的实际应用 1.D2.B 3.(1)水流运行轨迹的函数解析武为y=16x-8)+5, (2)水流不能喷射到这棵果树： 4.C 5.(1)剪掉的小正方形的边长为9cm. (2)折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为 800cm,此时剪掉的小正方形的边长为10cm. 6.85 7.解：(1)根据题意得6=3， -2 解得 (16a-4b+6b=3, 1 a= 8 (2)由(1)可得抛物线，的函数表达式为y=日子- 3=8(-2)+3则抛物线L的函数表达式为y=8( 2-4)+51 28(6)+ +2 (3).点C是0E的中点，0C=4m, .∴.0E=8m,∴.0N=OE-WE=5(m), :当=5时，代人抛物线五，的函数表达式巾，得)=令× 《5-6)空公彩带的长度w为号m 8.解：(1)观察各点的分布规律可知，y关于x的函数是二 次函数，设该二次函数的表达式为y=ax+bx+c, 将(0,35)，(1,56)，(2,63)代人，得 c=35, /a=-7, a+b+c=56.解得b=28. 4a+2b+c=63, \c=35. 该二次函数的表达式为y=-7x2+28x+35. (2)当x=0时，y=35,种子自然发芽率为35%， .当y=35时，-7x2+28x+35=35,解得x1=0,x2=4, 当y=0时，-7x2+28x+35=0,解得x1=-1(舍去)，x2=5, .抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5 第十节利用函数解决几何动态问题 1C2.A3.3≤S≤)44.D5B 5