广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二上学期数学周测（八）

2025-2026东莞市第十三高级中学高二上学期数学周测（八） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 2．若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，分别是平面，的法向量，且，则（   ） A． B． C． D． 4．椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．已知点，点Q在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程是（    ）. A． B． C． D． 7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知,是单位向量，，且向量满足=1，则||的取值范围是（　　 　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且的最大值为4，最小值为2，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为8 C．若，则的面积为8 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“且”是“”的充要条件 C．某文具店搞活动，1个笔记本与2支圆珠笔价格之和大于6元，而2个笔记本与1支圆珠笔价格之和小于4元，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低 D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠 11．正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成的角的最小值为 B．异面直线与所成的角的最大值为 C．对于任意的P，存在点M使得 D．对于任意的M，存在点P使得 三、填空题 12．若直线与直线平行，则 . 13．已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 14．若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ． 四、解答题 15．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 16．解答下列问题． (1)求经过点且与相切的直线的方程； (2)求经过点且与圆相切的直线的方程． 17．如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证：平面. 18．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心． （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）若直线为抛物线的切线，证明：圆心到直线的距离恒大于． 19．已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点.    (1)若直线垂直于轴，求线段的长； (2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值； (3)若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A C A A AB AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】∵已知平行直线，， ∴与间的距离. 故选：A 2．B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 3．C 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】∵，∴ ∴，即 ∴，解得，∴，故C正确. 故选：C. 4．B 【分析】根据给定条件，分析听到的三次回声情况确定几个时刻声音的路程，再列出等式求解即得. 【详解】依题意，令声音传播速度为，时刻，刚刚呐喊声音传播为0， 时刻听到第一次回声，声音的路程为，即从左焦点到左顶点再次回到左焦点， 时刻，声音的路程为，即从左焦点到右顶点，又从右顶点回到左焦点， 时刻，声音的路程为，即从左焦点反射到右焦点，再反射到左焦点， 因此，， 即，则，即，整理得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用椭圆几何性质，确定听到回声的时刻，回声的路程是解题的关键. 5．A 【分析】依题意以、、为基底，表示出、、，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，所以， ，， 所以 . 故选：A 6．C 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】由题意，， 在圆中，点Q在圆上，线段的中点为M， 设，则， ∴，即：， 故选：C. 7．A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 8．A 【分析】设，根据化简得到，表示圆上的点到原点的距离，计算得到答案. 【详解】,是单位向量，，设 表示圆上的点到原点的距离，故 故选： 【点睛】本题考查了向量模的计算，转化为坐标运算更为简洁，是解题的关键. 9．AB 【分析】由题意求出和，再结合椭圆的定义和余弦定理即可判断． 【详解】对于A，由题意得，解得，所以离心率为，故A正确； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，由A得，， 当点为上顶点时，最大，即， ， 所以的面积不可能为8，故C错误； 对于D，由且得，， 所以，即，故D错误； 故选：AB．    10．AC 【分析】对于A，解出的范围，再去判断； 对于B，找一组特例，就可以分析出和且关系； 对于C，设笔记本价格为a，圆珠笔价格为b，根据条件判断正负； 对于D，用调和平均数和算术平均数的不等关系求解. 【详解】对于A选项，，则， 则推出，推不出， 所以是的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，且能推出； （比如）推不出且， 所以且是的充分不必要条件，故B错误； 对于C选项，设1个笔记本价格a元，1支圆珠笔价格b元，则 ， 令，，得  ， 所以，由，所以， 则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低，故C正确； 对于D选项，设第一次价格为A1，第二次价格为A2，第三次价格为A3，， 第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，平均价格， 第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，平均价格， 由调和平均数算术平均数，可得第二种优惠，故D错误． 故选：AC． 11．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为坐标原点，建系如图， 设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， A.当时，，，故A正确； B.当时，，，故B正确； C.设，，则， ， 当时，无解，故C错误； D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：ABD.    12． 【分析】根据直线平行的条件即可求出. 【详解】由题意得， 解得：，经检验符合题意. 故答案为：. 13．/ 【分析】首先设点，求过点的直线方程，并判断直线过定点，再利用几何关系求最大值. 【详解】设，过点引圆的两条切线，切点分别为， 则切点在以为直径的圆上，圆心，半径， 则以为直径的圆的方程是，整理得， 又点在圆上， 两圆方程相减得到，即直线AB的方程是，则直线恒过定点， 所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 14． 【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围. 【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离， 即， 由柯西不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得：. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【详解】（1）如图：    因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. （2）因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 16．(1) (2)或 【分析】（1）分析可知点在圆上，根据切线性质运算求解； （2）分析可知点在圆外，分类讨论斜率是否存在，结合切线性质运算求解. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，即点在圆上， 且，可知切线的斜率， 所以切线的方程为，即.    （2）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，即点在圆外， 当直线斜率不存在时，则直线方程为， 此时圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，符合题意； 当直线斜率存在时，设为， 则直线方程为，即， 可得，解答， 所以直线方程为； 综上所述：切线方程为或.    17．证明见解析 【分析】由三角形中位线的性质可得，再根据平行线的传递性可得，即可得证； 【详解】证明：因为在三棱柱中，分别是的中点. 所以，，所以， 又面，面 所以面 【点睛】本题考查线面平行的证明，属于基础题. 18．（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标为，并求出圆的圆心，可得出，求出的值，即可得出抛物线的标准方程和准线方程； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，由得出，然后利用点到直线的距离公式可证明出圆心到直线的距离恒大于. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 圆的圆心为，可得，即， 可得抛物线的方程为，准线方程为； （2）联立，可得， 由题意可得，即. 圆心到直线的距离为. 【点睛】本题考查抛物线标准方程和焦点坐标的计算，同时也考查了直线与抛物线相切以及点到直线距离的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 19．(1)3 (2) (3)或或 【分析】（1）令，求出即可. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表示出的面积即可. （3）分类讨论直线，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出中点的坐标， 再利用重心的性质求出的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】（1）由题意，所以， 在椭圆方程中令，得， 解得，所以. （2）设直线的方程为：， 将其与椭圆方程联立得， 化简并整理得， 所以，， 所以， 所以的面积为， 令，则， 又因为在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. （3）当直线不与轴重合时，设直线：，的中点为点， 由（2）可知，将其与椭圆方程联立并整理得， 所以，， 因为的重心在轴上， 所以由重心坐标公式得， 所以， 所以，， 因为，所以由等腰三角形三线合一可知， 所以直线：， 所以， 所以点，将其代入椭圆方程化简并整理得， 解得或， 所以直线：或. 当直线与轴重合时，点在椭圆的上、下顶点，满足题意，此时直线：. 综上所述：满足题意的直线的方程为或或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $