圆（知识精讲、易错导航、考点精练）-2025-2026学年数学六年级上册（北师大版）

该小学数学“圆”单元复习讲义通过知识框架系统梳理了圆的周长、面积、扇形等核心内容，以定义、公式推导（如圆面积转化为长方形）和易混概念对比（如半圆周长与圆周长一半的区别）呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层考点设计，从基础（如圆的认识选择题）到综合（如阴影面积计算），结合实际情境题（如摩天轮周长计算）培养应用意识，答案解析含详细推导过程，助力学生自主纠错，教师可据此实施精准分层教学。

圆 单元巩固讲练 知识精讲 圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。一般用字母C表示。 2、测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。 3、圆周率：圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。一般用字母π表示。在计算时，一般保留两位小数，即π≈3.14。 4、圆的周长计算公式： ，或。 5、半圆的周长：，或。 6、圆周长的一半： 。 圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2、圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。 拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3、圆的面积计算公式：S= 4、半圆的面积： ÷2 5、圆环： （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。 （2）计算公式： ，或 。 扇形 1、弧的认识： 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。 2、扇形的意义： 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 3、顶点在圆心的角叫做圆心角。 4、扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。 易错导航 考点1：圆的认识 考点2：圆的周长 考点3：周长与面积综合计算 考点4：圆的周长应用 考点5：圆的面积 考点6：圆周长与面积的实际应用 考点7：圆环与扇形的面积 考点1：圆的认识 1．一张圆形的纸，想要找到它的圆心，至少要对折（    ）次。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．在一个长8cm、宽4cm的长方形内画半径是2cm的圆（不重合且不交叉），这样的圆最多能画（    ）个。 A．8 B．4 C．2 D．1 3．在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形。这是应用了（    ）。 A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中直径是半径的2倍 D．同圆中的半径都相等 4．在一个长是6厘米、宽是4厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是（    ）厘米。 A．4厘米 B．6厘米 C．2厘米 D．3厘米 考点2：圆的周长 5．一个圆剪拼成一个近似的长方形后周长增加了8cm，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 6．在一个正方形中画一个最大的圆，正方形的周长是圆的直径的( )倍，所以圆的周长一定( )正方形的周长。（填“等于”“大于”或“小于”） 7．淘气要画一个周长是37.68厘米的圆，淘气应该把圆规两脚之间的距离定为( )厘米。 8．把一个半径是5厘米的圆平均分成若干等份，剪开可以拼成一个近似的( )，拼成的图形的周长是( )厘米。 考点3：周长与面积综合计算 9．计算下面图形的周长和面积。 10．求下列图形的周长和面积。（单位：米） 11．求阴影部分的面积。 12．求阴影部分的面积。 考点4：圆的周长应用 13．下图是双人花样滑冰中观赏性很高的一个动作，男运动员拉着女运动员做圆周运动。女运动员的冰鞋滑过两周是多少米？（运动过程中男运动员的位置不变） 14．一辆压路机的前轮直径是1.5米，这台压路机前轮滚动一圈，压过的路面长多少米？ 15．一个铁环的半径是25厘米，从操场的东端沿直线滚到西端转了40圈，从操场的东端到西端长多少米？ 16．世界最高的摩天轮“迪拜之眼”主体直径达240米，乘坐这个摩天轮一周所行驶的路程是多少米？ 考点5：圆的面积 17．笑笑在网上买了一个漂亮的圆形杯垫，杯垫的直径是12厘米；这个杯垫的面积是多少平方厘米？ 18．妙妙用一根铁丝围成了一个长方形（如下图所示），再用一根同样长的铁丝围成一个圆。妙妙围成的这个圆的面积是多少平方厘米？ 19．如图，一位同学在探究圆面积计算公式时用了转化思想，把一个圆剪拼成一个近似的梯形。如果这个梯形的上下底之和是12.56厘米，原来圆的面积是多少平方厘米？ 20．一个周长为40厘米的正方形，它的边长与一个圆的直径相等。你知道这个正方形的面积比圆的面积大多少平方厘米吗？ 考点6：圆周长与面积的实际应用 21．徐老师买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽10厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？ 22．如图是一个拱门的造型，上面是一个半圆，下面是一个长方形，这个造型的面积是多少平方米？ 23．金鱼池是一面靠墙的半圆形，在金鱼池边围上了不锈钢护栏（靠墙的一面没有围）（如图），金鱼池的直径是10米。 （1）护栏的长度是多少米？（护栏与池边的距离忽略不计） （2）金鱼池的占地面积是多少？ 24．某钟表的分针长10厘米。 （1）从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？ （2）从1时到2时，分针扫过的面积是多少平方厘米？ 考点7：圆环与扇形的面积 25．一场中国传统插花艺术展吸引了无数游客，展览主题为“国风华韵”，意为“品国风精粹，承中华花韵”。工作人员将一个直径为8米的圆形展区的半径向外延伸2米变成一个新的圆形展区（如图），这个新展区的周长是多少米？面积是多少平方米？ 26．杂货店的王叔叔根据顾客需求，要将这块边长为12分米的正方形地垫，裁成一个最大的半圆形地垫。 （1）请你在正方形里，画出这个半圆形，并计算半圆形地垫的面积。 （2）这个半圆形地垫，有（    ）条对称轴，请画出它的对称轴。 27．圆被称为最完美的平面图形。李叔叔在院子里设计了一个如图所示的图形，并在阴影部分处铺上鹅卵石、空白部分处贴上瓷砖。 ①请你照样子画一个和左边一样的图形（形状一样，大小可以不同）。 ②计算出如图铺鹅卵石（阴影部分）的面积。 28．一块边长4米的正方形草地，两个相对的顶点上各拴一只羊。拴羊的绳子长都是4米。 （1）请画出两只羊都能吃到的青草面积，并涂上阴影。 （2）计算出阴影部分面积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】确定圆心需要找到两条直径的交点。每次对折圆形纸张得到的折痕是一条直径，至少需要两次不同方向的对折才能确定两条直径的交点，即圆心。 【详解】将圆形纸片对折一次，折痕为一条直径，但无法确定圆心。再沿不同方向对折一次，得到另一条直径，两条直径的交点即为圆心。因此至少需要对折2次。 故答案为：B 2．B 【分析】圆的半径为2cm，直径为4cm。长方形长8cm，宽4cm。沿长边每行可放8÷4＝2个圆。宽为4cm，刚好等于圆的直径，因此每列可放4÷4＝1个圆。但若将圆错开排列，可能增加行数。实际计算发现，最多可放4个圆。 【详解】每个圆的直径为2×2＝4cm。 长方形的长边8cm可容纳8÷4＝2个圆，宽边4cm可容纳4÷4＝1行。 若将圆错开排列，每行可交错放置，实际可排2行，每行2个，共2×2＝4个。 因此，最多能画4个圆， 故答案为：B 3．D 【分析】在同圆中从圆心到圆上每一点上的距离（半径）都相等，所以在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形，距离舞台距离相等，据此解答。 【详解】A．圆心决定圆的位置，只能说明表演的舞台即是圆心，但说明不了人们为什么会围成圆形； B．半径决定圆的大小，说明人们围成的圆越大，观众距离舞台越远； C．同圆中直径是半径的2倍，与题目无关； D．同圆中的半径都相等，那么在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形，因为距离舞台距离相等。 故答案为：D 4．C 【分析】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的短边长度。题目中长方形的宽为4厘米，因此圆的直径为4厘米，半径为2厘米。 【详解】在一个长6厘米、宽4厘米的长方形中画最大的圆，圆的直径由长方形的短边决定，即4厘米。半径计算为： 故答案为：C 5． 4 25.12 【分析】根据圆面积公式的推导方法可知，把一个圆剪开并拼成一个近似长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，据此可以求出半径，再根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式求出圆的周长。 【详解】半径：（cm） 周长： （cm） 所以半径为4cm，周长为25.12cm。 6． 4 小于 【分析】正方形的周长C＝4a，（a为正方形边长），圆的周长C＝πd（d是圆的直径）。在一个正方形中画一个最大的圆，这个圆的直径就是正方形的边长，所以这个正方形周长是圆的直径的4倍，进一步利用圆的周长公式和正方形的周长公式，计算再比较即可。 【详解】如图： 设正方形的边长是4厘米，则圆的直径是4厘米。 正方形的周长：4×4＝16（厘米）， 16÷4＝4 圆的周长：3.14×4＝12.56（厘米）。 12.56厘米＜16厘米 所以，在一个正方形中画一个最大的圆，正方形的周长是圆的直径的4倍，所以圆的周长一定小于正方形的周长。 7．6 【分析】圆规两脚之间的距离就是圆的半径，由“”可知“”，把圆的周长代入公式求出圆的半径，据此解答。 【详解】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 所以，淘气应该把圆规两脚之间的距离定为6厘米。 8． 长方形/平行四边形 41.4 【分析】半径为厘米的圆沿半径分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形或平行四边形，则拼成图形的周长是圆的周长再加上圆的直径。 【详解】圆沿半径分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形或平行四边形； （厘米） 拼成的图形的周长是厘米。 9．周长31.4cm；面积78.5cm2 【分析】题目给出了圆的直径10cm，根据圆的周长及面积公式，圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝π（d÷2）2，代入数据得出答案。 【详解】10×3.14＝31.4（cm） 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 图形的周长是31.4cm，面积是78.5cm2。 10．周长为38.84米；面积为88.26平方米 【分析】这个图形是由一个长方形和圆组成，这个长方形的长为10米，宽为6米，圆的直径为6米； 这个图形的周长为圆的周长和长方形的两个长的距离和，根据圆的周长公式即可求解； 这个图形的面积为长方形的面积与圆的面积的和，根据长方形的面积公式和圆的面积即可求解。 【详解】 （米） 即这个图形的周长为38.84米； （平方米） 即这个图形的面积为88.26平方米。 11．3.44平方厘米；23.55平方厘米 【分析】（1）由图可知，阴影部分面积等于正方形面积减去两个半圆面积，而两个半径相同的半圆可以拼成一个整圆。所以阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积。正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，据此列式解答即可。 （2）由图可知，阴影部分面积等于外面大的半圆面积减去里面空白的两个小的半圆面积。圆的面积＝πr2，再用圆的面积÷2即可求出半圆面积。据此解答即可。 【详解】（1）4×4＝16（平方厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 16－12.56＝3.44（平方厘米） 所以阴影部分面积为3.44平方厘米。 （2）（10＋3）÷2 ＝13÷2 ＝6.5（厘米） 10÷2＝5（厘米） 3÷2＝1.5（厘米） 3.14×6.52÷2 ＝3.14×42.25÷2 ＝132.665÷2 ＝66.3325（平方厘米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 3.14×1.52÷2 ＝3.14×2.25÷2 ＝7.065÷2 ＝3.5325（平方厘米） 66.3325－39.25－3.5325 ＝27.0825－3.5325 ＝23.55（平方厘米） 所以阴影部分面积为23.55平方厘米。 12．（1）4.86cm² （2）9.87dm² 【分析】（1）长方形长 4cm、宽 2cm，面积是4×2＝8cm²，空白圆的直径等于长方形的宽，半径1cm，面积是 3.14×12＝3.14cm²，所以阴影面积是 83.14＝4.86cm²； （2）梯形的上底 6dm、下底 10dm，高等于半圆的半径（3dm），梯形面积是 （6＋10）×3÷2＝24dm²，空白半圆的半径3dm，面积是 3.14×32÷2＝14.13dm²，因此阴影面积是 2414.13＝9.87dm²。 【详解】（1） 阴影面积是4.86cm²。 （2） 阴影面积是9.87dm²。 13．18.84米 【分析】先明确圆的半径是1.5米，再根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14）计算出一周的长度，再乘2得到两周的长度，据此解答。 【详解】2×3.14×1.5×2 ＝6.28×1.5×2 ＝9.42×2 ＝18.84（米） 答：女运动员的冰鞋滑过两周是18.84米。 14．4.71米 【分析】根据题意，压路机前轮滚动一圈压过的路面长度就是前轮的周长，圆的周长公式为C＝πd（d是直径），所以用π乘以前轮直径即可求出。据此解答。 【详解】3.14×1.5＝4.71（米） 答：压过的路面长4.71米。 15．62.8米 【分析】铁环滚动一圈的长度等于其周长。已知半径25厘米，根据圆周长公式C＝2πr，可计算周长。总路程为周长乘圈数40，再将结果从厘米转换为米。 【详解】圆周长：2×3.14×25＝157（厘米） 157×40＝6280（厘米） 6280÷100＝62.8（米） 答：从操场的东端到西端长62.8米。 16．753.6米 【分析】根据圆的周长＝πd，代入即可计算出乘坐这个摩天轮一周所行驶的路程是多少米。 【详解】3.14×240＝753.6（米） 答：乘坐这个摩天轮一周所行驶的路程是753.6米。 17．113.04平方厘米 【分析】先用杯垫的直径除以2求出杯垫的半径，再根据圆的面积公式，代入数据即可求解。 【详解】 （平方厘米） 答：这个杯垫的面积是113.04平方厘米。 18．50.24平方厘米 【分析】铁丝长度相当于长方形和圆的周长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出铁丝长度，再根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】（7.56＋5）×2 ＝12.56×2 ＝25.12（厘米） 25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 答：妙妙围成的这个圆的面积是50.24平方厘米。 19．50.24平方厘米 【分析】看图可知，把一个圆剪拼成一个近似的梯形，梯形的面积＝圆的面积，梯形的上下底之和＝圆周长的一半，根据圆的半径＝圆周长的一半÷π，圆的面积＝π×半径2，列式计算即可。 【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 答：原来圆的面积是50.24平方厘米。 20．21.5平方厘米 【分析】正方形的周长＝边长×4，据此用40除以4即可求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求出正方形的面积；求出的正方形的边长即是圆的直径，根据圆的面积＝πr2即可求出圆的面积。最后把它们相减即可解答。 【详解】40÷4＝10（厘米） 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝100－3.14×52 ＝100－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（平方厘米） 答：这个正方形的面积比圆的面积大21.5平方厘米。 21．8850平方厘米 【分析】根据题意，餐桌完全展开后的面积由中间长方形和一个整圆（两侧半圆拼接而成）组成。需先计算长方形面积（长×宽），再计算圆的面积πr2，其中圆的直径等于长方形的长），最后将两者面积相加。 【详解】长方形面积：100×10＝1000（平方厘米） 圆的半径：100÷2＝50（厘米） 圆的面积： 3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方厘米） 总面积：1000＋7850＝8850（平方厘米） 答：桌面的面积是8850平方厘米。 22．6.37平方米 【分析】半圆的直径为1米，根据圆的面积求出圆的面积除以2即可求出半圆的面积；长方形的长为2.4米，宽为2米，根据长方形的面积＝长×宽即可求出长方形的面积，将半圆的面积加上长方形的面积即为这个造型的面积。 【详解】 （平方米） 答：这个造型的面积是6.37平方米。 23．（1）15.7米（2）39.25平方米 【分析】（1）根据题意，护栏的长度是半圆形金鱼池的弧长，圆的周长公式为C＝πd，半圆形弧长就是圆周长的一半，所以用π乘直径再÷2即可求出。据此解答。 （2）根据题意，金鱼池是半圆形，占地面积就是半圆形的面积，圆的面积公式为S＝πr²（r是半径），先求出半径，再用圆面积的一半即可求出。据此解答。 【详解】（1）3.14×10÷2＝15.7（米） 答：护栏的长度是15.7米。 （2）半径：10÷2＝5（米） 面积：3.14×÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方米） 答：金鱼池的占地面积是39.25平方米。 24．（1）62.8厘米 （2）314平方厘米 【分析】（1）从1时到2时，经过1小时，分针走了1圈，分针的长度相当于圆的半径，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，列式解答即可； （2）根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】（1）2×3.14×10＝62.8（厘米） 答：从1时到2时，分针针尖走过了62.8厘米。 （2）3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 答：从1时到2时，分针扫过的面积是314平方厘米。 25．37.68米；113.04平方米 【分析】从图中可知，新展区的直径等于原来的直径加上2个2米，根据圆的周长公式C＝πd，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出新展区的周长和面积。 【详解】新展区的直径： 8＋2×2 ＝8＋4 ＝12（米） 新展区的周长： 3.14×12＝37.68（米） 新展区的面积： 3.14×（12÷2）2 ＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这个新展区的周长是37.68米，面积是113.04平方米。 26．（1）图见详解；56.52平方分米 （2）1；图见详解 【分析】（1）根据题意，要在边长为12分米的正方形里裁出最大的半圆形地垫，这个半圆的直径应等于正方形的边长12分米，半径为12÷2＝6（分米）。然后根据圆的面积：S＝πr²，半圆形面积是圆面积的一半，所以用π乘半径的平方再除以2即可求出。据此解答。 （2）根据题意，半圆形的对称轴是经过圆心且垂直于直径的直线，所以半圆形地垫只有1条对称轴。据此解答。 【详解】 （1）（画法不唯一） 半径：12÷2＝6（分米） 面积：3.14×6²÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方分米） 答：半圆形地垫的面积是56.52平方分米。 （2）这个半圆形地垫有1条对称轴，图见（1）。 27．①见详解； ②6.28平方米 【分析】①如图，先以1厘米为半径画出大圆，再画出两条互相垂直的直径，然后以大圆的半径为直径（即1÷2＝0.5厘米为半径）画出四个半圆，最后根据原图涂出阴影部分； ②由图可知，大圆的半径是2米，空白部分合在一起是两个直径为2米的小圆，根据“”求出整个图形和空白部分的面积，阴影部分的面积＝整个图形的面积－空白部分的面积，据此解答。 【详解】①作图如下： （答案不唯一） ②3.14×22－3.14×（2÷1）2×2 ＝3.14×4－3.14×12×2 ＝3.14×4－3.14×1×2 ＝12.56－6.28 ＝6.28（平方米） 答：铺鹅卵石的面积是6.28平方米。 28．（1）图见详解 （2）9.12平方米 【分析】①分别以正方形的两个相对的顶点为圆心，以4米为半径，画出两个圆，相交部分涂上阴影，即是两只羊都能吃到的青草面积。 ②阴影部分面积＝两个圆的面积－正方形的面积＝半圆的面积－正方形的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】①两只羊都能吃到的青草面积，如下图中阴影部分： 或             ②3.14×42÷2－4×4 ＝3.14×16÷2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（平方米） 答：阴影部分的面积是9.12平方米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $