2026年春考高考数学冲刺模拟试卷02（上海春季高考专用）

2026年上海春考数学模拟试卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．函数的定义域为 　　． 【答案】． 【解答】解：， 则，解得， 故函数的定义域为． 故答案为：． 2．直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则　4　． 【答案】4． 【解答】解：直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，且， 直线的斜率为， 则， 故答案为：4． 3．是虚数单位，复数的虚部是 　2　． 【答案】2． 【解答】解：， 该复数的虚部为2， 故答案为：2． 4．在二项式的展开式中，常数项是 　　． 【答案】． 【解答】解：根据二项式的展开式， 当，解得； 故常数项为． 故答案为：． 5．在中，，则　或　． 【答案】或． 【解答】解：， 则由正弦定理可得，， ， 或． 故答案为：或． 6．已知，，且，则的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：因为，，且， 所以，当且仅当，即时取等号． 故的最小值为． 故答案为：． 7．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 　8　． 【答案】8． 【解答】解：由已知数列为等差数列， 则， 又， 所以， 则， 所以数列为递减数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 故答案为：8． 8．已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 　　． 【解答】解：由题意得：右焦点，左焦点为， 由双曲线的定义可得， ． 故答案为：． 9．若函数是奇函数，则　　． 【答案】． 【解答】解：因为是奇函数，所以（3）． 故答案为：． 10．已知、分别是正四面体的棱、的中点，则异面直线、所成角的余弦值是 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，正四面体的每个面都是等边三角形，设棱长为2， 、分别是正四面体的棱、的中点， ， ， 连接，，则，，， ， 异面直线、所成角的余弦值是． 故答案为：． 11．已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为 　　． 【答案】． 【解答】解：圆的圆心为点，且经过原点，故圆的半径为； 故圆的方程为． 故答案为：． 12．已知数列满足，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为 　②③④　． 【解答】解：因为，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 所以，； 对于①，当时，，令，得， 的值不存在，即不存在，使得，命题①错误； 对于②，当时， 因为是单调递减的，是单调递增的，且， 所以为递增数列，且恒成立，命题②正确； 对于③，存在，使得中既有最大值，又有最小值， 例如：，2，2，2，就成立，故③正确； 对于④，对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为②③④． 故答案为：②③④． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知，则下列选项错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为，所以，即正确； 当时，， 当时，，则， 所以，故正确； 对于，因为是上的递增函数， 所以，故正确； 对于，是上的增函数，所以，故错误． 故选：． 14．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，且与所成的角和与所成的角相等，则 【答案】 【解答】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 对于，若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故错误； 对于，若．，则可能在内，故错误； 对于，若，，，则由面面平行的判定定理得，故正确； 对于，若，且与所成的角和与所成的角相等，则与平行、异面或相交，故错误． 故选：． 15．某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为，，不中分别记为，，事件“至少有一次击中靶心”可记为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由题意，某人打靶时连续射击两次， 事件“至少有一次击中靶心”包括：第一次击中第二次不中，第一次不中第二次击中以及两次都击中， 又击中靶心分别记为，，不中分别记为，， 则事件“至少有一次击中靶心”可记为：． 故选：． 16．已知函数，下列说法错误的是　　 A．图像关于对称 B．只有一个零点且 C．若，则 D．不等式的解集 【答案】 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，函数，则有，所以图像关于对称，故正确； 对于，函数，其导数， 由基本不等式，可得，当且仅当时取等号， 故在定义域内为增函数， 又，， 则在上不存在零点，故错误， 对于，，， 故为偶函数，，所以，正确； 对于，，当且仅当时取等号， 故在定义域内为增函数， 构造， ，为奇函数，同时由的单调性可知，在定义域内也为增函数， 由， 可得：， 即， 所以， 解得：，故正确， 故选：． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（14分）已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）若任意的，恒有，求的范围． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为，，；（2），． 【解答】解：（1）最小正周期， 令，，则，， 所以函数的对称中心为，，． （2）由，知，， 所以，， 所以函数的值域为，， 不等式等价于，即， 若任意的，恒有，则，解得， 故的范围为，． 18．如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，，为上一点． （1）求证：； （2）若是的中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】解：（1）证明：因为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，所以， 因为是圆的直径，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）因为底面，， 以分别为轴、轴、轴正方向，建系如图， 连接，，因为，所以． 因为，所以， 所以是等边三角形，所以，是圆的直径，则， 所以， 则， 因为是的中点，则，底面，平面， 故，又，，，平面， 所以底面，所以平面的一个法向量可取为， 设平面的法向量为， 则，取， 因为， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． 19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 男生 377 370 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19． （1）求的值； （2）现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是，，，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差． 【答案】（1）380． （2）12． （3）48.75，62.8125． 【解答】解：（1），． （2）初三年级人数为， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为， （3）初一年级应抽取的学生的人数为， 初二年级应抽取的学生的人数为， 该校所有学生体重的平均数约为， 该校所有学生体重的方差约为． 20．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为． （1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； （2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； （3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，求证：的垂心必在椭圆上． 【答案】（1）1或4； （2）当时，取得最小值； （3）证明过程见解析． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 则或； （2）易得， 所以直线，的方程分别为， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切， 所以△， 因为， 即， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切， 所以△， 因为， 即， 则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时． 故当时，取得最小值，最小值为． （3）证明：易知椭圆． 不妨设，为椭圆上的任意一点， 此时，① 不妨设的垂心的坐标为，， 连接，， 因为， 又， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，② 联立①②， 解得， 因为点，在椭圆上， 所以． 故的垂心在椭圆上． 21．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”． （1）判断函数，是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； （2）若函数是“利普希兹条件函数”，求的最小值； （3）设，若是“利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，，求证：方程在区间上有解． 【答案】（1）函数是“利普希兹条件函数”；函数不是“利普希兹条件函数”； （2）2； （3）证明见解析． 【解答】解：（1）是，函数不是，理由如下： 由题知，函数，定义域为， 所以， 所以函数是“利普希兹条件函数”； 对于函数， 因为， 当时，则， 所以函数不是“利普希兹条件函数”； （2）因为函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域，上任意两个，，均有成立， 不妨设， 则恒成立， 因为，所以， 得， 所以的最小值为2； （3）证明：因为函数是“利普希兹条件函数”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由，得， 因为是函数的零点， 则， 又是函数的零点， 则， 又， 所以， 而，， 故， 设，， 由，， 得， 由零点的存在性定理知函数在上有零点， 即方程在上有解． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海春考数学模拟试卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（填空题 共54分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．函数的定义域为 　　． 2．直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则　　． 3．是虚数单位，复数的虚部是 　　． 4．在二项式的展开式中，常数项是 　　． 5．在中，，则　　． 6．已知，，且，则的最小值为 　　． 7．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 　　． 8．已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是 　　． 9．若函数是奇函数，则　　． 10．已知、分别是正四面体的棱、的中点，则异面直线、所成角的余弦值是 　　． 11．已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为 　　． 12．已知数列满足，则 ①当时，存在，使得； ②当时，为递增数列，且恒成立； ③存在，使得中既有最大值，又有最小值； ④对任意的，存在，当时，恒成立． 其中，所有正确结论的序号为 　　． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知，则下列选项错误的是　　 A． B． C． D． 14．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，且与所成的角和与所成的角相等，则 15．某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为，，不中分别记为，，事件“至少有一次击中靶心”可记为　　 A． B． C． D． 16．已知函数，下列说法错误的是　　 A．图像关于对称 B．只有一个零点且 C．若，则 D．不等式的解集 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．（14分）已知函数． （1）求函数的最小正周期和对称中心； （2）若任意的，恒有，求的范围． 18．如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，，为上一点． （1）求证：； （2）若是的中点，求二面角的余弦值． 19．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 男生 377 370 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的频率是0.19． （1）求的值； （2）现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）在（2）中，若所抽取的初一年级、初二年级、初三年级三个年级学生的体重的平均数分别是，，，方差分别是1，2，3，估计该校所有学生体重的平均数和方差． 20．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为． （1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； （2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； （3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，求证：的垂心必在椭圆上． 21．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“利普希兹条件函数”． （1）判断函数，是否为“利普希兹条件函数”，并说明理由； （2）若函数是“利普希兹条件函数”，求的最小值； （3）设，若是“利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，，求证：方程在区间上有解． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $