2026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷02

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷02·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合 ，若全集 ，则 . 2. 不等式解集为 ． 3. 已知为虚数单位，复数z满足，则 ． 4. 已知向量，若与互相垂直，则 ． 5. 已知，则＝ 6. 已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 . 7. 数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则 . 8. 关于的方程的解集为 . 9. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，为底面弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线 11. 阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 . 12. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 14. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（     ） A． B． C． D． 15. 已知函数，若，则是（     ） A．奇函数，在上为严格减函数 B．奇函数，在上为严格增函数 C．偶函数，在上严格减，在上严格增 D．偶函数，在上严格增，在上严格减 16．已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，是边长为1的等边三角形，点E在棱上，； （1）证明：；且当时，求点E到直线的距离； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积． 18.（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积； 19.（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示. （1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数； （2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望； （3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率. 20.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点； （1）已知点，求点D到直线MN的距离； （2）求证：； （3）若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； 21.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 新定义：已知函数，若的最小正周期为T，则称是“P级半周期函数对” （1）试判断：①：，  ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为，若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和； 言身寸 微信：sh_xlg 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季高考 数学仿真模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合 ，若全集 ，则 . 【提示】根据补集运算求解即可； 【答案】； 【解析】因为，， 所以， 故答案为： 【说明】本题考查补集的概念及运算 2. 不等式解集为 ． 【提示】将分式不等式转化为一元二次不等式求解； 【答案】 【解析】不等式化为，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【说明】本题主要考查了分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 3. 已知为虚数单位，复数z满足，则 ． 【提示】利用复数乘法和除法法则计算出，由模长公式求出答案. 【答案】 【解析】， 故. 故答案为： 【说明】本题考查了复数的除法运算、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 4. 已知向量，若与互相垂直，则 ． 【提示】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立方程，计算即可求解. 【答案】或 【解析】因为， 故，， 若与互相垂直， 则，即，解得或. 故答案为：或. 【说明】本题考查了利用向量垂直求参数、空间向量的坐标运算 5. 已知，则＝ 【提示】利用余弦二倍角公式以及同角三角函数关系式，化简整理，可得答案. 【答案】 【解析】 . 故选：A. 【说明】本题考查了已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 6. 已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 . 【提示】依题意可得，，从而可求得，利用其通项公式即可求得展开式中的常数项； 【答案】 【解析】由题意可得，，解得，所以展开式的通项为 ，由得，，所以常数项为第七项． 故答案为： 【说明】本题考查了由项的系数确定参数、求指定项的系数 7. 数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为，后三项成等比数列，且公比为.若第1项为1，第2项与第4项的和为18，第3项与第5项的和为35，则 . 【提示】根据等差、等比数列通项列出5项，结合题意列式求解即可. 【答案】5 【解析】由题意可知：数列的有5项为， 因为，则， 可得， 整理可得，解得或（舍去）， 若，可得，即，所以. 故答案为：5. 【说明】本题考查了等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 8. 关于的方程的解集为 . 【提示】先确定各个绝对值对应的零点，利用零点分段法分类讨论，分别求出方程的解，即可得解. 【答案】 【解析】易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：，，，则： ①时，原方程可化为，解得，不符合题意，舍去； ②时，原方程可化为，解得，符合题意； ③时，原方程可化为，即恒成立，故，符合题意； ④时，原方程可化为，解得，此时不符合题意，故舍去， 综上可知，原方程的解集为． 故答案为：． 【说明】本题考查了教材对与含绝对值方程与不等式的研究过程； 9. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，为底面弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为 【提示】如下图所示，连接OP，OC，过点D作底面于H，连接CH，根据中位线定理得，所以（或其补角）就是异面直线和所成的角，设，解三角形可求得答案； 【答案】； 【解析】如下图所示，连接OP，OC，过点D作底面于H，连接CH， 因为为母线的中点，所以，所以（或其补角）就是异面直线和所成的角， 设，则，所以， 所以，又，所以满足， 所以，所以异面直线和所成角为， 故答案为：. 【说明】本题考查了求异面直线所成的角的方法； 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线 【提示】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可； 【答案】 【解析】 因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点， 可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角， 即， 设，则，根据可知， 在中，由余弦定理可知， 即， 则， 故 故答案为： 【说明】本题考查了双曲线定义的理解、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围； 11. 阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为 . 【提示】利用正弦定理将角化边，即可求得点的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点的坐标，最后求解的长度即可； 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得，即，因为，不妨令，，建立如图所示的平面直角坐标系， 设点的坐标为，点的轨迹方程满足：， 整理可得：，， 即点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆（除与轴两交点外）， 当点的坐标或时三角形的面积最大，其最大值为， 由勾股定理可得． 故答案为：． 【说明】本意考查了解析几何中的轨迹问题——圆、正弦定理边角互化的应用； 12. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为 ． 【提示】根据向量垂直及数量积运算律得，令，，，则，，结合不等式恒成立及对应几何意义得，进而有，最后应用向量数量积的运算律得到关于的表达式求最值； 【答案】 【解析】由题设，又，则， 令，，，则，， 由，即恒成立，数形结合易知， 所以，得， ，其对称轴为， 所以，则. 故答案为：； 【说明】向量与几何最值、垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【提示】解法一：通过作辅助线构造异面直线所成角，再利用四棱台体积公式求出高，结合平面几何知识和余弦定理求解. 解法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的夹角公式求解，再根据异面直线所成角的范围得到结果. 【答案】D 【解析】方法1：过点作，交于点，则为异面直线与所成的角或其补角. 设该正四棱台的高为，则，得. ，故. 过点作交于点，则， .连接，易得， 在中，利用余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 方法2：设该正四棱台的高为，上底面与下底面的中心分别为，，连接， 由题知，得.由正四棱台的性质知平面， 以为坐标原点，过点分别与平行的直线为轴，轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，， ， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【说明】本题考查了异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角、台体体积的有关计算； 14. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（     ） A． B． C． D． 【提示】利用条件概率中的缩小样本空间的方法求解即可. 【答案】B 【解析】设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”， 依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正， 正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正， 则三次中恰好有两次正面的概率为. 故选：B. 【说明】计算条件概率、独立事件的乘法公式 15. 已知函数，若，则是（     ） A．奇函数，在上为严格减函数 B．奇函数，在上为严格增函数 C．偶函数，在上严格减，在上严格增 D．偶函数，在上严格增，在上严格减 【提示】由可知为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设的奇偶性,从而得到答案； 【答案】B 【解析】 为奇函数, 又 是奇函数,可排除C,D. 又 在上单调递增. 故选：B 【说明】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 16．已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【提示】由二倍角正弦公式有，讨论、，结合正余弦函数的性质解不等式求解集，进而确定整数解的个数； 【答案】C 【说明】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 【说明】本题考查了解正弦不等式、解余弦不等式、二倍角的正弦公式； 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在三棱锥中，平面平面，O为的中点，是边长为1的等边三角形，点E在棱上，； （1）证明：；且当时，求点E到直线的距离； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【提示】（1）由平面平面，证得平面，进而证得； 取的中点，过作与交于点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出，可得，点到直线的距离为，计算即可； （2）设，求出平面和平面的法向量，由二面角的大小为求出的值，进而可求出三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；；（2） 【解析】（1）因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； 取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， ，，， 又， 所以，则， 所以点到直线的距离为； （2）设，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又 所以由，得， 令，则，，故， 因为二面角的大小为， 所以， 解得，所以，          又，所以， 故三棱锥的体积． 【说明】线面垂直证明线线垂直、点到直线距离的向量求法、已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算 18.（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积； 【提示】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解； （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）当时, , 当时, ,则, 故, 因此 （2）当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 【说明】本题考查了二倍角的余弦公式、求cosx(型)函数的值域、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形； 19.（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示. （1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数； （2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望； （3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率. 【提示】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数. （2）根据条件概率计算，求的分布列和期望. （3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率. 【答案】（1），175；（2）分布列见解析，；（3）； 【解析】（1）由. 因为：，， 所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为. （2）因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为， 抽取的1天汽车销售量在内的概率为. 所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为. 由题意，的值可以为：0，1，2，3. 且，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）如图：取中点，链接，，，，. 因为，都是边长为2的等边三角形， 所以，，，平面，所以平面. 平面，所以. 所以为二面角DE 平面角. 在中，，所以. 若，在中，由正弦定理：. 此时：，. 所以，要想中奖，须有. 由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个， 满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个， 所以中奖的概率为：. 【说明】本题考查了计算条件概率、由二面角大小求线段长度或距离、补全频率分布直方图； 关键：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”. 20.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点； （1）已知点，求点D到直线MN的距离； （2）求证：； （3）若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； 【提示】（1）求得点坐标和直线的方程，由此求得到直线的距离. （2）对的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立. （3）设出直线的方程并代入双曲线方程，求得的坐标，由此计算是定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是定值. 【详解】（1）， 所以，则， 直线的方程为，即， 所以到直线的距离为. （2）直线的斜率不存在时，， 直线的斜率存在时，，，整理得. 综上所述，成立. （3）依题意可知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，代入双曲线并化简得： ①， 由于，则代入①并化简得： ， 设，则，代入， 得，即， 所以 ， 所以是定值. 【说明】本题考查了双曲线中的定值问题、斜率公式的应用、求点到直线的距离、根据双曲线方程 求a、b、c 21.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 新定义：已知函数，若的最小正周期为T，则称是“P级半周期函数对” （1）试判断：①：，  ②：与是否为级半周期函数对； （2）若和定义域均为，求证：命题①：和是“0级半周期函数对” 是命题②：对于任意，都有和是“P级半周期函数对”的充要条件； （3）若和是“P级半周期函数对”，其中是奇函数，的定义域为，若已知数列的前n项和为，且当时满足，求：数列所有项的和； 【提示】（1）结合定义判断即可； （2）先证明充分性，再证明必要性即可； （3）结合P级半周期函数对，可分析出定义域关于原点对称，进而解出，结合验证及求通项即可得解； 【答案】（1）①②都不是；（2）证明见解析；（3）数列所有项的和不存在； 【解析】（1）（1）①②都不是 ①无最小正周期 ②值不相等 （2）（2）由周期性，若有满足和是“P级半周期函数对”，则可证明对任意x恒成立，即对任意P，和都是“P级半周期函数对”，充分性得证； 反之若对任意P，和都是“P级半周期函数对”，自然时满足和是“P级半周期函数对”，必要性得证； （3）因为和是“P级半周期函数对”， 由（2）知此时对任意的恒成立，又为奇函数， 所以也为奇函数，故函数的定义域关于原点对称， 所以，所以， 所以， 所以或或， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以，矛盾，故， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以， 所以，故，即， 又，故，故， 所以， 所以当为正偶数时，，当为正奇数时， 所以数列所有项的和不存在， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以， 所以，故，即， 又，故，故， 所以， 所以，，，，， 所以数列所有项的和不存在. 【说明】利用与关系求通项或项、函数新定义、分组（并项）法求和、充要条件的证明； 言身寸 微信：sh_xlg 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷02·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.【答案】； 2. 【答案】 3. 【答案】 4. 【答案】或 5. 【答案】 6. 【答案】 7. 【答案】5 8. 【答案】 9. 【答案】； 10. 【答案】 11. 【答案】 12. 【答案】 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13． 14． 15． 16． D B B C 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【提示】（1）由平面平面，证得平面，进而证得； 取的中点，过作与交于点，可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求出，可得，点到直线的距离为，计算即可； （2）设，求出平面和平面的法向量，由二面角的大小为求出的值，进而可求出三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；；（2） 【解析】（1）因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以； 取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则， 所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， ，，， 又， 所以，则， 所以点到直线的距离为； （2）设，则， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又 所以由，得， 令，则，，故， 因为二面角的大小为， 所以， 解得，所以，          又，所以， 故三棱锥的体积． 【说明】线面垂直证明线线垂直、点到直线距离的向量求法、已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算 18.（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【提示】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解； （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）当时, , 当时, ,则, 故, 因此 （2）当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 【说明】本题考查了二倍角的余弦公式、求cosx(型)函数的值域、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形； 19.（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 【提示】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数. （2）根据条件概率计算，求的分布列和期望. （3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率. 【答案】（1），175；（2）分布列见解析，；（3）； 【解析】（1）由. 因为：，， 所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为. （2）因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为， 抽取的1天汽车销售量在内的概率为. 所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为. 由题意，的值可以为：0，1，2，3. 且，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）如图：取中点，链接，，，，. 因为，都是边长为2的等边三角形， 所以，，，平面，所以平面. 平面，所以. 所以为二面角DE 平面角. 在中，，所以. 若，在中，由正弦定理：. 此时：，. 所以，要想中奖，须有. 由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个， 满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个， 所以中奖的概率为：. 【说明】本题考查了计算条件概率、由二面角大小求线段长度或距离、补全频率分布直方图； 关键：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”. 20.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【提示】（1）求得点坐标和直线的方程，由此求得到直线的距离. （2）对的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立. （3）设出直线的方程并代入双曲线方程，求得的坐标，由此计算是定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是定值. 【详解】（1）， 所以，则， 直线的方程为，即， 所以到直线的距离为. （2）直线的斜率不存在时，， 直线的斜率存在时，，，整理得. 综上所述，成立. （3）依题意可知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，代入双曲线并化简得： ①， 由于，则代入①并化简得： ， 设，则，代入， 得，即， 所以 ， 所以是定值. 【说明】本题考查了双曲线中的定值问题、斜率公式的应用、求点到直线的距离、根据双曲线方程 求a、b、c 21.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【提示】（1）结合定义判断即可； （2）先证明充分性，再证明必要性即可； （3）结合P级半周期函数对，可分析出定义域关于原点对称，进而解出，结合验证及求通项即可得解； 【答案】（1）①②都不是；（2）证明见解析；（3）数列所有项的和不存在； 【解析】（1）（1）①②都不是 ①无最小正周期 ②值不相等 （2）（2）由周期性，若有满足和是“P级半周期函数对”，则可证明对任意x恒成立，即对任意P，和都是“P级半周期函数对”，充分性得证； 反之若对任意P，和都是“P级半周期函数对”，自然时满足和是“P级半周期函数对”，必要性得证； （3）因为和是“P级半周期函数对”， 由（2）知此时对任意的恒成立，又为奇函数， 所以也为奇函数，故函数的定义域关于原点对称， 所以，所以， 所以， 所以或或， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以，矛盾，故， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以， 所以，故，即， 又，故，故， 所以， 所以当为正偶数时，，当为正奇数时， 所以数列所有项的和不存在， 当时，函数的定义域为， 由已知，，所以， 所以， 所以，故，即， 又，故，故， 所以， 所以，，，，， 所以数列所有项的和不存在. 【说明】利用与关系求通项或项、函数新定义、分组（并项）法求和、充要条件的证明； 言身寸 微信：sh_xlg 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $