重难点专题17 导数的应用-求（证）不等式或比较大小（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

重难点专题17 导数的应用----求（证）不等式或比较大小 重难点一利用导数比较大小 构造新函数 求判断单调性，结合的特殊值，得出的大小关系。 1.已知，则(    ) A. B. C. D. 2.若，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.定义在上的函数，若，，，则比较，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，是自然对数的底数，则(    ) A. B.   C. 若，则 D. 若，且，则 5.已知函数，则以下结论正确的是(    ) A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数存在最小值 D. 对于任意实数，方程最多有个实数解 6.已知函数，对于满足的任意，，下列结论中正确的是． A. B. C. D. 7.已知函数，若，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 当时， 8.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 9.已知函数，则下列说法正确的有(    ) A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 重难点二利用导数解不等式 解不等式：构造利用单调性转化为自变量的不等式求解。 1.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 2.若定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数是奇函数，对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 4.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是  A. B. C. D. 5.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.设是定义在上的函数，为其导函数， ，，当时，，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. ． 7.已知是偶函数的导函数，若时，，则使得不等式成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 10.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 11.已知是定义在上的奇函数，且当时，若，则满足的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 12.定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 13.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 14.不等式的解集为          ． 15已知函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点． 求的值； 求函数的最小值；证明：当时． 重难点三利用导数证明不等式 证明不等式：构造，求导证 1.已知函数． 若，证明：当时，；当时，； 若是的极大值点，求． 2.已知函数． 讨论的单调性； 当时，证明：． 3.已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 证明：当时，． 4.已知函数， 若，求的单调区间 关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 5已知函数． 求函数的单调区间； 若恒成立，求实数的取值范围； 证明：． 6已知． 证明：； 若在上恒成立，求实数的最小值． 7已知函数． 讨论的单调区间； 证明：． 8已知函数的图象在点处的切线方程是． 求实数的值； 若，求证：． 9已知函数，为自然对数的底数， 判断的零点个数 设，是的两个零点，证明： 10已知． 若在上单调递增，求的取值范围 若的图象在处的切线为，求与的值，并证明时，． 11已知函数． 求的单调区间和极值； 证明：． 12已知函数，． 求的极值； 讨论的单调性； 若且时，求证． 19 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题17 导数的应用----求（证）不等式或比较大小 重难点一利用导数比较大小 构造新函数 求判断单调性，结合的特殊值，得出的大小关系。 1.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了利用导数比较大小，属于中档题． 首先由得最小，构造函数，，利用导数研究的单调性即可比较与的大小关系． 【解答】解：因为，，， 令，， ， 所以在单调递减， 所以， 即， 所以，即， 所以， 所以，即， 故． 2.若，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造函数，是中档题． 分别设出四个辅助函数，，，，由导数判断其在上的单调性，结合已知条件比较函数值的大小即可得答案． 【解答】 解：令， ， 当时，，当时，， 在上为增函数，在上为减函数， ， 不一定成立， 即不一定成立． 由此可知选项A不正确； 令， ， 当时，，当时，， 在上为减函数，在上为增函数， ， 不一定成立， 即不一定成立． 由此可知选项B不正确； 令， 当时，． 在上为增函数， ， ， 即． 故C不正确； 令， 当时，． 在上为减函数， ， ， 即． 选项D正确． 故选D． 3.定义在上的函数，若，，，则比较，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性的判定以及函数单调性的应用． 根据题意，由函数的解析式对其求导，分析可得函数为增函数， 进而由对数的运算分析可得，结合函数的单调性即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数，其导数， 即函数为上增函数， 又由， 则有， 故选：． 4.已知函数，是自然对数的底数，则(    ) A. B.   C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ABD  【解析】解：对于，由题意得，则， 当时，，递增，当时，，递减， 由于，所以， 即， 整理得，即， 所以，故正确 对于，由于，由于当时，递减， 故，即，， 即． 因为， 故，， 即， 综上，，故B正确 对于，因为， 即，即， 设，， 由于当时，递增，当时，递减， 故在上单调递减， 故，即． 由于，不妨设， 则，即，故C错误 对任意两个正实数，，且， 若，不妨设， 即，设， 则，， 则， ，， 要证目标不等式只需． 设，令， 则， 即为单调增函数， 故，即成立，故， 所以，即，故D正确， 故选：． 5.已知函数，则以下结论正确的是(    ) A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数存在最小值 D. 对于任意实数，方程最多有个实数解 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数和方程的转化思想，以及数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题． 求得的导数，可得单调区间、极值和最值，即可判断，，；易知是方程的一个解，时，，设，求得导数，单调性和极值，结合图象可判断． 【解答】解：函数的导数为， 当时，，递增；当时，，递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，函数的极小值点为，无极大值点，故选项A不正确，C正确 在上单调递增，因为，所以，故B正确； 即，显然为原方程的一个解， 时，，设，导数为， 可得时，，递减，或时，，递增， 即有在处取得极小值，在处取得极大值，作出的图象如下： 当时，与的图象有三个交点，且结合图形知与的图象最多有三个交点， 即最多有三个不等实根， 综上可得对任意实数，方程最多有个实数解，故D正确． 故选BCD． 6.已知函数，对于满足的任意，，下列结论中正确的是． A. B. C. D. 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查了比较大小，基本不等式，函数的单调性与单调区间，利用导数研究函数的单调性和指数函数的性质，属于较难题． 利用指数函数的单调性得函数是上的增函数，再利用函数的单调性得，对进行判断， 令得，再令，利用导数研究函数的单调性得函数在上单调递增，再由得对成立，从而得对成立，利用导数研究函数的单调性得函数在上单调递增，再利用函数的单调性得成立，从而对进行判断， 令，利用导数研究函数的单调性得函数在上单调递增，再利用函数的单调性得成立，从而对进行判断， 计算，利用基本不等式得，从而对进行判断，最后得结论． 【解答】解：对于、因为函数是上的增函数， 所以对于满足的任意，，都有， 所以，因此不正确； 对于、令，则． 令，则， 因此函数在上单调递增． 又因为，所以对成立， 即对成立，因此函数在上单调递增， 所以对于满足的任意，，都有成立， 即成立，即成立，因此不正确； 对于、令，则， 当时，，因此函数在上单调递增， 所以对于满足的任意，，都有成立， 即成立，因此C正确； 对于、因为对于任意，， ，当且仅当时，等号成立， 又因为，等号无法取得． 所以 ， 即，因此D正确． 故选：． 7.已知函数，若，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 当时， 【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，单调性的定义及性质的应用，其中本题的难点和关键在于函数的单调性的定义和构造函数的方法，题目难度较大，着重考查了分析问题和解决问题的能力以及转化与化归思想的应用． 本题根据给出的需要判定的选项，恰当的构造新的函数，利用导数及单调性的定义去判断，即可得到命题的真假判定． 【解答】 解：对于，令，易知在上单调递增，所以，即，所以，故A正确； 对于，令，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以不恒成立，故 B错误； 对于，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以不恒成立，故C错误； 对于，当，即时，单调递增，由得， 所以，则， 由我们求得了，利用不等式的传递性可得 ，故D正确； 故选AD． 8.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性和导数的关系，利用导数比较大小，属于中档题． 设，对其进行求导，根据，得到是增函数，利用单调性进行求解即可． 【解答】 解：  令，所以， 所以在上单调递增， 所以，即，故A错误，B正确 又， 所以， 即，故C正确，D错误． 故选BC． 9.已知函数，则下列说法正确的有(    ) A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值以及最值，属于较难题． 由判断；利用导数判断函数的单调性与极值可判断；利用导数判断函数的单调性，结合可判断；利用导数求得函数的最小值，再构造函数证明最小值大于即可判断． 【解答】 解：对于，令，可得，则， 即曲线恒过定点，故A正确； 对于，若，则，， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值，无极小值，故B错误； 对于，若，则， 可知函数在上单调递增， 又，即， 则，故C正确； 对于，若，则， 令，可得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 可知函数的最大值为， 令， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 可得当时，， 则当时，， 即的最大值大于，故D正确． 重难点二利用导数解不等式 解不等式：构造利用单调性转化为自变量的不等式求解。 1.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数解不等式，属于中档题． 设，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式即可． 【解答】 解：设， 则， 因为对任意的满足， 则， 即， 可知在上单调递减，又， 即， 由可得， 即， 解得， 所以不等式的解集是． 故选：． 2.若定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 构造函数，通过研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解． 【解答】解：， ， ， 令，则在上单调递增， ，， 等价于， 即， 其解集为：． 故选：． 3.已知函数是奇函数，对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 构造新函数，结合单调性和奇偶性逐一判断即可． 【解答】 解：奇函数对于任意的满足， 令 ， ， ， 单调递增，且在上是偶函数，   ，  ，   ，   ， 即 ，故B正确，A错误；   ，所以  ，   ， 即，故C正确， ，故D错误． 故选BC． 4.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是  A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性，利用函数研究函数的单调性，属于中档题． 构造函数，利用导数得到，在时为减函数，又为偶函数，所以当时，为增函数，画出函数的大致图象，利用图象求解的解集． 【解答】 解：设，所以， 由于当时，， 所以在时为减函数， 又函数为奇函数，所以为偶函数， 所以当时，为增函数，又，可画出的大致图象， 由图象可得当时，，所以， 当时，，所以， 所以的解集为． 故选D． 5.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查推理能力及运算能力，属于中档题． 令，则当时，单调递减，而，于是可得当时，；时，，从而可求得的解． 【解答】 解：令， 则， 当时，单调递减． 又， 当时，，而此时，； 当时，，而此时，； 当时，， 令可得， 所以当时，； 又是奇函数， 当时，； ， 当时，，解得； 当时，，解得； 综合，得成立的的取值范围为， 故选A． 6.设是定义在上的函数，为其导函数， ，，当时，，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想，属于综合题． 根据题意构造函数，由求导公式和法则求出，结合条件判断出 的符号，即可得到函数的单调区间，根据是偶函数判断出是奇函数，由求出，结合函数的单调性、奇偶性将问题转化为，求出不等式成立时的取值范围即可． 【解答】 解：由题意设， 则， 当时，有， 则当时，， 函数在上为增函数， ，故函数是偶函数， ， 函数为定义域上的奇函数， 由得，， 即时，，解得：， 时，，解得： 使得成立的的取值范围是：， 故选：． 7.已知是偶函数的导函数，若时，，则使得不等式成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 设，求导得，进而可得时，单调递增，由于为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则，由于，则，推出，即可得出答案． 【解答】 解：设， ， 因为时，， 所以时，，单调递增， 因为为偶函数， 所以， 所以， 所以为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：． 8.已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题． 根据题意，判断的奇偶性和单调性，可得，即可得解． 【解答】 解：， ， 当时，， 函数在为减函数， 是奇函数，为偶函数， 当时，函数为增函数， 不等式，等价于， ， ，即， ， 即实数的取值范围是． 故选A． 9.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用函数的性质解不等式，属于一般题． 令，求出单调性和奇偶性，将不等式转化为求解即可． 【解答】 解：令，则， 因为当时，，即， 所以在上单调递增． 不等式可变形为， 即． 因为是偶函数， 所以也是偶函数． 等价于， 原不等式等价于，即， 解得 10.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法的应用，考查化归思想与运算能力，属于较难题． 构造函数令，依题意知为偶函数且在区间单调递增；不等式，利用单调性脱去“”即可求得不等式的解集． 【解答】 解：令，则， 因为， 所以，当时，，即在区间单调递增； 又是上的偶函数， 所以是上的偶函数， 又； 故， 于是，不等式化为， 故， 解得，又， 故选C． 11.已知是定义在上的奇函数，且当时，若，则满足的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题． 根据题意，分析可得在上为减函数，可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，当时，，则在上单调递减， 根据奇函数的性质，则有在上为减函数， 又由，得， 则， 则有，故有， 即的取值范围是． 故选A． 12.定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 根据函数为奇函数，则为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式转化为，解得即可． 【解答】 解：是上的奇函数，． ，是上的偶函数． 当时，恒有，即， ， 在上递增，在上递减， ， ，或， 故选D． 13.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题． 构造函数，结合已知条件知的单调性，进而得到在上恒负，在上恒正，即可求解函数不等式的解集． 【解答】 解：， 在为减函数，而， 在上，，则， 在上，，则， 在上， 又函数为奇函数， 在上， 不等式等价于或． 故选D． 14.不等式的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数解不等式，属于较难题． 原式变形为，构造函数，利用导数求其单调性，进而可解． 【解答】 解：， 即， 设，， 则， 则在上单调递减， 则， 即， 解得， 即原不等式的解集为：． 故答案为：． 15已知函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点． 求的值； 求函数的最小值；证明：当时． 【答案】解：因为， 所以，切点为， 所以切线方程为， 因为该切线过点 ，所以． 又， ，切点为， 所以切线方程为， 同理可得． 由知，，， 所以当时，； 当时，， 所以当时，取极小值，同时也是最小值， 即． 由知，曲线在点处的切线方程为． 下面证明：当时，． 设， 则， 再设，则，所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，，， 所以， 所以存在，使得， 所以，当时，； 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增． 又因为， 所以， 当且仅当时取等号，所以． 由于，所以． 又由知，， 当且仅当时取等号，所以，， 所以， 即， 即．  【解析】本题考查了导数的求法和应用，利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性等． 先分别求出在点处的切线，在点处的切线，因为它们相交于点，将点分别代入即可求出的值； 由得出的，再求出，从而得出当时，取极小值，同时也是最小值； 先得出曲线在点处的切线方程为， 令，求导得出，研究函数单调性，得出，再根据得出，所以，从而证明． 重难点三利用导数证明不等式 证明不等式：构造，求导证 1.已知函数． 若，证明：当时，；当时，； 若是的极大值点，求． 【答案】证明：当时，，， ． 设函数，，则． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增， 故当时，， 当且仅当时，，从而， 当且仅当时，， 所以在单调递增． 又，故当时，；当时，． 解：若，由知，当时，， 这与是的极大值点矛盾． 若，设函数． 由于当时，，故与符号相同． 又，故当且仅当是的极大值点时，是的极大 值点． ． 如果，则当，且时， ，故不是的极大值点； 如果，则， 存在根，故当且时，， 所以不是的极大值点； 如果，则， 则当时，当时，， 所以是的极大值点，从而是的极大值点． 综上，．   【解析】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，难度较大． 求导函数，令再次求导，可得到的单调性，结合可证不等式； 讨论的范围，从而得出的值． 2.已知函数． 讨论的单调性； 当时，证明：． 【答案】解：因为，且的定义域为， 所以 ， 当时，恒成立，此时函数在上单调递增； 当，由于，所以恒成立，此时函数在上单调递增； 当时，令，解得：或舍， 当时；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上可知：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 证明：由可知：当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取最大值，， 从而要证，即证， 即证，即证； 令，则，即证：， 令，， 则， 令，可知， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即，则式成立， 所以当时，成立．  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论的思想，属于较难题． 可知，分、、三种情况讨论，可得结论； 通过可知，将问题转化为，令，，构造函数，只需证明即可． 3.已知函数． 求曲线在点处的切线方程； 证明：当时，． 【答案】解：． ，即曲线在点处的切线斜率， 曲线在点处的切线方程为． 即为所求． 证明：函数的定义域为：， 可得． 令，可得， 当时，，时，，时，． 在，递减，在递增， 注意到时，函数在单调递增，且， 故在上恒大于零，即在上恒大于零． 函数的图象如下： ，，则， ， 当时，．  【解析】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题． 由，可得切线斜率，即可得到切线方程． 可得可得在和递减，在递增，注意到时，函数在单调递增，且在上恒成立只需即可． 4.已知函数， 若，求的单调区间 关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：当时，，则． 当时，因为，且，所以， 所以，单调递减． 当时，因为，且，所以，所以，单调递增所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 恒成立等价于恒成立， 令，则 当时，在区间上恒成立，符合题意 当时，， 令，，即在上单调递增，，，则存在，使得， 此时，即，则当时，，单调递减当时，，单调递增． 所以 令，得 因为，所以 综上，实数的取值范围为，  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，题目较难． 时，由此可得解 令，对分是否为零讨论即可． 5已知函数． 求函数的单调区间； 若恒成立，求实数的取值范围； 证明：． 【答案】解：函数的定义域为， ， 令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 因为，恒成立， 即， 令， ， 所以在单调递增，单调递减， 所以，， 证明：由知， 要证，即证， 等价于， 令， ， 所以在单调递减，在单调递增， ， ，， 所以存在，使得， 即当时，， 当时，， 当时，， 因为，所以， 则，即得， 所以， 即， 当时，， 此时， 所以， 令，， 则， 令，则， 易知在上单调递减， 所以， 所以，即在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 即在上恒成立， 综上所述，在上恒成立， 所以成立． 6已知． 证明：； 若在上恒成立，求实数的最小值． 【答案】解：证明：要证，即证， 设，则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，即，故原不等式成立； 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此， 即实数的最小值为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 7已知函数． 讨论的单调区间； 证明：． 【答案】解：由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为； 由易得在处取得极大值，即最大值， ， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，即， 由知，所以．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 8已知函数的图象在点处的切线方程是． 求实数的值； 若，求证：． 【答案】解：求导得，则， 由切线方程是得切线斜率为， 所以，解得； 记， 求导得恒成立， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 因为，所以．  【解析】本题主要考查导数的应用，属于中档题． 求导得，则切线斜率为，结合点即可求解； 记，利用导数判断其单调性，即可得证． 9已知函数，为自然对数的底数， 判断的零点个数 设，是的两个零点，证明： 【答案】解：函数的定义域为，， 当时，，函数在上是增函数 当时，函数在上是减函数，在上是增函数， 此时函数的最小值是， 当 当， 当时，在，一共有两个零点 当或时，有一个零点： 当时，没有零点， 由题设知，不妨设，则由易知，， 为了证明，而，只要证明即可， 即证明， 又，， 而在上是减函数，即证明即可 而， 设， ， ， 在上是增函数，由， ，而， ， ， ，即， ，即；  【解析】本题考查利用导数研究零点问题以及不等式的证明，属于难题． 求出函数导数，对分情况讨论，利用导数的正负进而通过零点存在性定理分类讨论即可； 根据已知可得证明即可，设，对函数求导，利用函数的单调性可证结论； 10已知． 若在上单调递增，求的取值范围 若的图象在处的切线为，求与的值，并证明时，． 【答案】解：因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当，恒成立，故在单调递减， 所以，则， 故实数的取值范围为； 证明：由得，又，则， 即证，，先证明， 令，则， 令，则， 当时，，，故， 所以在上单调递增，即， 所以在上单调递增，即， 所以， 再证明， 令，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即， 由得时，， 故时，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11已知函数． 求的单调区间和极值； 证明：． 【答案】解：， 令，解得，令，解得， 故在的单调增区间为，单调减区间为 由此可得在处取得极大值，无极小值 要证明，只需证明，即证明 令，则， 令，得，且当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故在处取最大值，即， 所以，故．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 12已知函数，． 求的极值； 讨论的单调性； 若且时，求证． 【答案】解：函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值； 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 证明：当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $