重难点专题13 导数的概念及几何意义五大题型（专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

重难点专题13 导数的概念及几何意义五大题型 重难点一平均速度 平均速度：核心是利用定义本质是位移对时间的平均变化率，可通过函数图象斜率（割线斜率）直观判断大小 1.汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图，在时间段 上的平均速度分别为，则三者的大小关系为      A.   B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查平均变化率． 由平均变化率的定义知 ，，，由图象知：，故可选． 【解答】 解： ， ， ， 由图象知：， 所以． 故选C． 2.质点的运动方程为 ，则在时间段内的平均速度为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了平均速度的定义，属于基础题． 求出在时间段内的位移的增量，根据平均速度的公式，建立等式关系即可． 【解答】 解：由题意， 在时间段内的平均速度为， 故选A． 3.如图所示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(    ) A. 在到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查位移变化与平均速度的概念，属于基础题． 根据图象结合位移的变化量与时间的变化量的比值等于平均速度作出判定． 【解答】 解：由图知，在到范围内甲的平均速度等于乙的平均速度； 由于，所以在到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度． 故选C． 4.某物体的运动规律是，则该物体在到这段时间内的平均速度是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查平均变化率的概念，属于基础题． 根据平均变化率的概念，即可解答． 【解答】 解：根据平均速度的定义，可得， 故选A． 5.某物体在运动过程中，其位移单位：与时间单位：的函数关系为当时，该物体在时间段内的平均速度为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 根据平均速度的定义计算即可． 本题考查了变化率问题，考查求平均速度，是基础题． 【解答】 解：由， 故， 故选：． 6.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离单位：与时间单位：之间的函数关系为，则下列说法正确的是． A. 前内球滚下的垂直距离的增量 B. 在时间内球滚下的垂直距离的增量 C. 前内球在垂直方向上的平均速度为 D. 在时间内球在垂直方向上的平均速度为 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查导数的概念，平均速度。 结合函数关系式，根据前内和时间内的，可求得平均速度，由此判断各个选项即可． 【解答】 解：前内，，，A错误 此时球在垂直方向上的平均速度为，C正确 在时间内，，，B正确 此时球在垂直方向上的平均速度为， D 正确． 故选：． 重难点二平均变化率 平均变化率：遵循定直接代入函数解析式计算，或结合图象斜率比较大小，注意区分不同区间的 1.函数在区间上的平均变化率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：函数在区间上的平均变化率为． 故选：． 2.函数在区间上的平均变化率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了平均变化率，属于基础题． 由平均变化率的运算公式，即可求解，得到答案． 【解答】 解：由题意，可得平均变化率． 故选D． 3.函数在上的平均变化率等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查平均变化率及导数的定义，属于基础题． 结合平均变化率及导数的定义即可确定． 【解答】 解：在上的平均变化率为， ， 故选D． 4.已知函数，则从到的平均变化率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查平均变化率的意义，属于基础题． 利用平均变化率的意义，即可求解． 【解答】 解：函数从到的平均变化率为 ． 故选B． 5.函数，当自变量由增加到时，函数的平均变化率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查平均变化率，属于基础题． 利用平均变化率即可求解． 【解答】 解： 函数从到的平均变化率为 6.已知点，在函数的图象上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是(    ) A. 曲线的割线的倾斜角为 B. 曲线的割线的倾斜角为 C. 曲线的割线的斜率为 D. 曲线的割线的斜率为 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了导数的概念，平均变化率，属于基础题利用函数从到的平均变化率就是割线的斜率，以及斜率与倾斜角之间的关系解答． 【解答】 解：函数从到的平均变化率就是割线的斜率， 所以，割线的倾斜角为， 故选B． 7.某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查增量的概念，意在考查学生的运算能力，属于简单题． 根据平均变化率的定义计算． 【解答】 解：位移增量  ． 故选：． 8.函数的图象如图所示，则函数在下列区间上平均变化率最大的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 函数的平均变化率为，由图象可知，函数在区间上的最大，从而可判断． 本题主要考查了函数平均变化率大小的判断，属于基础试题． 【解答】 解：函数在区间上的平均变化率为， 由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于； 在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大． 所以函数在区间上的平均变化率最大． 故选：． 9.函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 不确定 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查平均变化率的概念，属于中档题． 由平均变化率的概念结合函数的解析式可得，，即可得结论． 【解答】 解：由题意结合函数的解析式有： ， ， 因为，所以． 故选A． 10.已知函数，． 比较与在区间上的平均变化率的大小； 若，恒成立，求的取值范围． 【答案】解：在区间上的平均变化率为： ， 在区间上的平均变化率为： ， ，， 又在上单调递增， ， 在区间上的平均变化率比大 由题意可知：，恒成立， 即在时恒成立， 令，则，恒成立， 又函数在上单调递增， 则在上恒成立，所以， 所以满足题意的的取值范围为．   【解析】本题考查平均变化率、一元二次不等式存在性或恒成立问题，属于中档题． 根据平均变化率的定义分别求出与在区间上的平均变化率，进而结合指数函数的单调性比较大小即可； 转化问题为在时恒成立，令，则，可得恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可． 重难点三瞬时速度 瞬时速度：依托导数的物理意义，瞬时速度是位移函数的导数可通过导数定义计算，或直接求导函数后代入时刻t。 1.某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查导数的物理意义，属于基础题． 根据已知条件，结合导数的物理意义，即可求解． 【解答】 解：位移单位：与时间单位：之间的关系为， 则， 当时，， 即质点在时的瞬时速度为． 故选B． 2.午饭时间；同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有(    ) A. B. C. 对于，存在，使得 D. 整个过程小明行走的速度一直在加快 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查函数图象的实际应用，瞬时速度，平均速度，属于中档题． 可通过题意，分别表示出，，，再根据选项 A，进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由曲线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断． 【解答】 解：由题意可知；，，， 由图像可知，，即，因此，， 所以，因此，此时，故 A正确； 由，故，故 B不正确； 由图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故 C正确； 时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率， 由图象可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，速度最快，故D不正确． 故选：． 3.小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系表示如图，记时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的有(    ) A. B. C. 对于，存在，使得 D. 整个过程小明行走的速度一直在加快 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查函数图象的应用，导数的物理意义与几何意义，基本不等式的应用，属于中档题． 由图可知，求出区间，，上的平均速度，，，判断；利用基本不等式判断；由图作曲线的切线判断，观察曲线上点切线的斜率判断． 【解答】 解：对于，设，，由图可知， ，，， ，，故A正确； 对于，，， 等号不成立， ，故B正确； 对于，由图根据导数的几何意义可得对于，存在，使得，故C正确； 对于，由图结合导数的几何意义可知，小明行走的速度开始在段逐步加快，在段又逐步减慢，故D错误． 故选ABC． 4.下列有关导数的说法正确的是(    ) A. 就是曲线在点处的切线的斜率 B. 与的意义是一样的 C. 设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度 D. 设是速度函数，则表示物体在时刻的加速度 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查导数的概念和几何意义，属于基础题． 根据导数的几何意义判断，；根据导数的物理意义判断，． 【解答】解：对于，根据导数的几何意义知：就是曲线在点处的切线的斜率，A正确； 对于，当确定时，为常数，这时总有， 而是曲线在点处的切线的斜率，它与的取值有关，B错误； 对于，根据导数的物理意义，若是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度．C正确； 对于，根据导数的物理意义，若是速度函数，则表示物体在时刻的加速度．D正确． 故答案为：． 5.已知某一运动物体在时离出发点的距离为，且满足． 求在第内的平均速度； 求在第末的瞬时速度； 经过多长时间该物体的速度达到 【答案】解：物体在第内的平均速度即平均变化率为． ． 当时，， 所以物体在第末的瞬时速度为． 令， 则 ． 当时，， 令，解得舍去， 即经过该物体的速度达到．  【解析】本题考查了瞬时速度，考查导数运算． 求出质点在第内的平均速度即可； 由导数的基本概念，求出的值，即质点在第末的瞬时速度； 由导数的基本概念，令，求出的值即可． 重难点四导数的定义 导数的定义：关键凑出定义形式，即对于含参数的极限式，需转化为求解。 1.函数在点处的切线方程，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查导数的概念，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的形式，属于基础题． 根据导数几何意义得，由导数的定义知 ． 【解答】 解：由题可知：， ． 故选D． 2.设是可导函数，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数的概念，属基础题． 根据导数的定义计算即可． 【解答】 解：， ． 故选B． 3.已知在等比数列中，，，若函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查导数在某一点处的导数，涉及等比数列性质． 根据导数的四则运算，得到，然后根据等比数列性质求解． 【解答】 解：由， 可知， 可知． 4.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查的是导数的定义及导数的运算，属于基础题． 先求出的导数，  的值是   ，由此能求出其结果． 【解答】 解： ，      ． 故选： 5.已知函数可导，若，则           【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用导数的定义求值，属于基础题． 直接利用导数定义求解即可． 【解答】 解：函数在处可导，且， 所以， ． 故答案为． 6.已知函数，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查导数的定义，属基础题． 根据导数的定义和导数的运算公式求解． 【解答】 解：因为，所以，则， 所以． 故答案为：． 7.已知函数． 用导数的定义求出函数的导函数； 过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】解： ， ， 设切点坐标为， 则切线方程为， 切线过点， ， 化简得，即 或． 切线的方程：或．  【解析】本题考查了导数的基本概念和导数的几何意义，是基础题． 计算，再取极限可得函数的导函数； 设切点坐标为，利用导数的几何意义得到切线的点斜式方程，将点代入方程，解得，即可得解． 重难点五导数的几何意义和函数图像的关系 导数的几何意义：导数处切线的斜率，切线方程为；可通过切线斜率大小判断导数值大小，结合原函数增减性与导函数正负的关系匹配函数图象。 1.已知函数的部分图象如图所示，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题图可知：函数在单调递增且为上凸函数，所以，即． 故选： 2.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义，考查了函数图象切线和割线间的关系，属于基础题． 明确 表达的几何意义即可得结果． 【解答】 解：由题图，可知在点处的切线的斜率小于在点处的切线的斜率，且斜率都小于零， 则． 又因为在区间平均变化率为，其几何意义为割线的斜率， 由题图，可知． 故选C． 3.已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题． 根据导数的几何意义，画出各个函数图象在处的切线，根据切线的斜率来判断即可． 【解答】 解：依次作出，，，在处的切线，如图所示： 根据图象中切线的斜率可知 故选：． 4.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题． 由的图象知，为增函数，结合增长趋势即可判断． 【解答】 解：由的图象知，为增函数， 且在区间上增长速度越来越快， 而在区间上增长速度越来越慢． 故选B． 5.下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查原函数与导函数之间的关系，考查数形结合思想，属于基础题． 利用导函数的图象得到函数的单调性，观察选项即可得到答案． 【解答】 解：导函数的正负决定原函数的增减，由导数图象知，原函数的单调性是递减、递增、递减，符合此规律的只有 17 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题13 导数的概念及几何意义五大题型 重难点一平均速度 平均速度：核心是利用定义本质是位移对时间的平均变化率，可通过函数图象斜率（割线斜率）直观判断大小 1.汽车行驶的路程和时间之间的函数图象如图，在时间段 上的平均速度分别为，则三者的大小关系为      A.   B. C. D. 2.质点的运动方程为 ，则在时间段内的平均速度为(    ) A. B. C. D. 3.如图所示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(    ) A. 在到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 4.某物体的运动规律是，则该物体在到这段时间内的平均速度是(    ) A. B. C. D. 5.某物体在运动过程中，其位移单位：与时间单位：的函数关系为当时，该物体在时间段内的平均速度为(    ) A. B. C. D. 6.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离单位：与时间单位：之间的函数关系为，则下列说法正确的是． A. 前内球滚下的垂直距离的增量 B. 在时间内球滚下的垂直距离的增量 C. 前内球在垂直方向上的平均速度为 D. 在时间内球在垂直方向上的平均速度为 重难点二平均变化率 平均变化率：遵循定直接代入函数解析式计算，或结合图象斜率比较大小，注意区分不同区间的 1.函数在区间上的平均变化率为(    ) A. B. C. D. ． 2.函数在区间上的平均变化率为(    ) A. B. C. D. 3.函数在上的平均变化率等于(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则从到的平均变化率为(    ) A. B. C. D. 5.函数，当自变量由增加到时，函数的平均变化率为(    ) A. B. C. D. 6.已知点，在函数的图象上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是(    ) A. 曲线的割线的倾斜角为 B. 曲线的割线的倾斜角为 C. 曲线的割线的斜率为 D. 曲线的割线的斜率为 7.某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于(    ) A. B. C. D. 8.函数的图象如图所示，则函数在下列区间上平均变化率最大的是(    ) A. B. C. D. 9.函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 不确定 10.已知函数，． 比较与在区间上的平均变化率的大小； 若，恒成立，求的取值范围． 重难点三瞬时速度 瞬时速度：依托导数的物理意义，瞬时速度是位移函数的导数可通过导数定义计算，或直接求导函数后代入时刻t。 1.某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为(    ) A. B. C. D. 2.午饭时间；同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有(    ) A. B. C. 对于，存在，使得 D. 整个过程小明行走的速度一直在加快 3.小明从家里到学校行走的路程与时间的函数关系表示如图，记时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的有(    ) A. B. C. 对于，存在，使得 D. 整个过程小明行走的速度一直在加快 4.下列有关导数的说法正确的是(    ) A. 就是曲线在点处的切线的斜率 B. 与的意义是一样的 C. 设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度 D. 设是速度函数，则表示物体在时刻的加速度 5.已知某一运动物体在时离出发点的距离为，且满足． 求在第内的平均速度； 求在第末的瞬时速度； 经过多长时间该物体的速度达到 重难点四导数的定义 导数的定义：关键凑出定义形式，即对于含参数的极限式，需转化为求解。 1.函数在点处的切线方程，则等于(    ) A. B. C. D. 2.设是可导函数，且，则(    ) A. B. C. D. 3.已知在等比数列中，，，若函数，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 5.已知函数可导，若，则           6.已知函数，则           ． 7.已知函数． 用导数的定义求出函数的导函数； 过点作曲线的切线，求此切线的方程． 重难点五导数的几何意义和函数图像的关系 导数的几何意义：导数处切线的斜率，切线方程为；可通过切线斜率大小判断导数值大小，结合原函数增减性与导函数正负的关系匹配函数图象。 1.已知函数的部分图象如图所示，则(    ) A. B. C. D. 2.函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，，，，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是(    ) A. B. C. D. 5.下图是函数的导函数的图象，则函数的图象可能为(    ) A. B. C. D. 17 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $