专题04 圆中的重要模型之辅助线八大模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级下册

专题04 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为的直径，弦于，，,则直径的长（    ）． A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·北京·月考）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的半径为 ．    例4（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，是的直径，弦于，若，则的长是 ． 例5（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·新疆·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（    ） A．m B．6m C．m D．5m 例3（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为 ． 例4（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，植物园新建了一个半径为的圆形牡丹园，牡丹园两侧有两条平行的小路，其中小路穿过牡丹园，出入口、之间的距离为，若两条小路的距离为，则另外一条小路 （填“穿过”或“不穿过”）牡丹园． 例5（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，、是的弦，延长、交于点，连接、，若，，则所对的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·河南漯河·月考）如图，中，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，点，，在上，点在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例4（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 例5（25-26九年级上·浙江·月考）如图，是的直径，内接于．若，则的度数为 ． ∵，， ∴， ∴， 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（25-26九年级上·辽宁营口·期末）如图，是的直径，，是的弦．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 例4（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 例5（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为 ． 例3（2025·内蒙古·模拟预测）如图，四边形的顶点在同一个圆上，且．若为的中点，，，则四边形的面积为 ． 例4（24-25九年级上·天津红桥·期末）已知的半径为5，四边形内接于，． (1)如图①，若，求弦和的长； (2)如图②，连接，若，求弦的长和的大小． 例5（24-25九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为 ． 例4（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，圆O是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求圆O的半径． 例5（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（25-26九年级上·重庆永川·月考）在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． (1)求证：与相切于点D； (2)若，求的半径． 例2（25-26九年级上·安徽合肥·月考） 如图，内接于，是⊙O的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是切线； (2)当时，求的长． 例3（24-25九年级下·江苏淮安·月考）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 例4（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 例5（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（25-26九年级上·天津东丽·期末）如图，在中，，在中，，，是的内切圆，为切点，那么的内切圆半径长为（   ） A．1 B． C．2 D． 例2（25-26九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 例3（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．则的值为 ． 例4（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 例5（24-25九年级上·云南红河·月考）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在半径为的中，弦与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津·月考）“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 3．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，内接于为的直径，，那么的值为（   ）    A．4 B．6 C．2 D．3 5．（25-26九年级上·天津津南·月考）如图，是的直径，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期末试题）如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的弦，直径经过的中点．若，则线段的长为 ． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在中，弦直径交于，，，则的长是 ． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为 ． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 13．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图， 内接于，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是 ． 14．（25-26九年级上·北京·期中）如图，为的外接圆，为的直径，于点D，，则 ． 15．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为 ． 16．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则 ， ． ∵切于点， 17．（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ． 18．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是 ． 19．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 20．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F． (1)证明：四边形为正方形； (2)若，，则直径等于______． 21．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 证明：如图，连接并延长交于点F， 22．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）如图，是的直径，、是半圆上两点，平分，与交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，点为的中点，求的长． 23．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若，求的长度． 24．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是上一点，是直径，点在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，求的长． 25．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 26．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 27．（25-26九年级上·北京西城·期末）如图，为的直径，点D为弦的中点，连接并延长交于点E，过点B作的切线交的延长线于点F．记与的交点为G． (1)求证：； (2)若点G为的中点，的半径为3，求的长． 28．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 29．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，是的直径，是的弦，点M是外一点，过点C作的切线，交的延长线于点N，连接，． (1)求证：是的切线； (2)点D是的中点，连接，若，，求的长． 30．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，是的直径，为弦，，延长至点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的长． 31．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，是的切线，平分交于点，连接． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 32．（24-25九年级上·河南信阳·月考）结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中的重要模型之辅助线八大模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11 模型5、遇90°的圆周角连直径 13 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，∴，∴劣弧，故答案为：． （2025·江苏无锡·二模）如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接，是的直径，， 和所对的弧为，， 在中，，．故选：B． （2025·广东广州·二模）如图，若的半径为，圆心到的距离为，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，， 的半径为，圆心到的距离为，，， ，．故选C． （2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，（r=OA，d=OE，a=AB，），在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。 推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D； 推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。 3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是AB的垂直平分线 6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设、、分别为中、、的对边，面积为，周长为，则内切圆半径为。特别地，若，则。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 例1（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，根据是弧的中点，即可求得的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵是弧的中点， ∴ 故选：D． 例2（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，为的直径，弦于，，,则直径的长（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用．熟悉垂径定理：垂直于弦的直径平分弦；勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键． 根据垂径定理得，根据垂直得到直角三角形，继而根据勾股定理计算半径：，进而求出直径的长． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，弦于， ∴， ∴, ∴. 故选：D． 例3（25-26九年级上·北京·月考）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水(阴影部分)，测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的半径为 ．    【答案】/5厘米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示：    由题意知，，则， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 例4（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，是的直径，弦于，若，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦于，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：12． 例5（25-26九年级上·天津红桥·期末）已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边对等角，直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可； （2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， 过点O作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键；过点作半径于，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中，， ∴， 故选B． 例2（25-26九年级上·新疆·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（    ） A．m B．6m C．m D．5m 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 过点作于，根据已知条件求得勾股定理求得，由垂径定理可得，进而可得的长． 【详解】如图，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选C． 例3（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，已知是的弦，点C在弦上，，，，则圆心O到的距离为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握这两个定理是关键；过点O作于点E，则，，由勾股定理即可求得，从而求得结果． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即圆心O到的距离为； 故答案为：12． 例4（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，植物园新建了一个半径为的圆形牡丹园，牡丹园两侧有两条平行的小路，其中小路穿过牡丹园，出入口、之间的距离为，若两条小路的距离为，则另外一条小路 （填“穿过”或“不穿过”）牡丹园． 【答案】不穿过 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是垂径定理的应用； 根据题意求出圆心到的距离，再求得圆心到另一条小路的距离，将它与半径做比较即可得出结论. 【详解】解：设另一条小路为，过点作于点，交于点， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离， 即：另一条小路不穿过牡丹园． 故答案为：不穿过. 例5（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，为的直径，弦与交于点E，连接、，，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由，，根据三角形内角和定理求得． （2）先利用垂径定理得出，，由为的直径，且，求得，由，，求得，则，所以，求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的度数是． （2）连接，作于点M， 则，， ∵为的直径，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是6． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，圆周角定理等知识，解题关键是正确地添加辅助线． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，、是的弦，延长、交于点，连接、，若，，则所对的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理（圆周角等于所对圆心角的一半）和三角形外角性质，熟练掌握圆周角与圆心角的数量关系是解题的关键． 通过圆周角与圆心角的关系，结合三角形外角性质，建立已知角与所求弧对应圆心角的联系． 【详解】解：连接、、． ∵所对的圆心角是， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角． 故选：D． 例2（25-26九年级上·河南漯河·月考）如图，中，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，连接，由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 例3（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，点，，在上，点在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，作出所对的圆周角，先求出，再根据，得出，即可得出答案，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：如图作出所对的圆周角， ∵， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 例4（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据得到，得到，根据三角形的内角和列式计算即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，， 的度数为， 故答案为：． 例5（25-26九年级上·浙江·月考）如图，是的直径，内接于．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、 内角和定理、等边对等角，连接，由等边对等角得到，进而求出，再根据圆周角定理可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1（25-26九年级上·辽宁营口·期末）如图，是的直径，，是的弦．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求角度，涉及直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、直角三角形两锐角互余等知识，熟记圆周角定理是解决问题的关键．先由是的直径，则，再由同弧所对的圆周角相等得到，最后在△中，由直角三角形两锐角互余代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ，， ， 在△中，，， ， 故选：C． 例2（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，是的直径，C，D是上的两点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论． 连接，根据直径所对圆周角可得，由同弧所对圆周角相等可求出度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵， ∴， ， 故选：A． 例3（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 故答案为：. 例4（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直径所对圆周角是直角这一定理，等腰三角形三线合一的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接，根据直径所对圆周角是直角，根据三线合一即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得出，即，然后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴； （2）解：∵为等腰三角形， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴， ∴的度数是度数的一半， 即． 例5（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理． （1）利用圆内接四边形的性质，求得，再利用平行线的性质求得，推出，得到； （2）连接．先求得．利用圆周角定理求得，利用勾股定理求得，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴． 如图，连接． ∵是的直径， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 模型5、遇90°的圆周角连直径 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 例1（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 例2（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，等腰内接于，，以为边的矩形交于点C，D，交于点E，若，，则的直径长为 ． 【答案】 【分析】连接，即可得到是圆O的直径，然后证明是等腰三角形，然后在中利用勾股定理求出长，再在中求出长即可． 【详解】解：连接， ∵是矩形， ∴，，， ∴是圆O的直径，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得（负值舍去） 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；垂径定理的推论，圆周角定理等知识，掌握这些知识是解题的关键. 例3（2025·内蒙古·模拟预测）如图，四边形的顶点在同一个圆上，且．若为的中点，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．根据圆内接四边形对角互补可得，由此求出，则为圆的直径，则，利用弧与弦之间的关系得到，据此根据列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴为圆的直径， ∴， 在中，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（24-25九年级上·天津红桥·期末）已知的半径为5，四边形内接于，． (1)如图①，若，求弦和的长； (2)如图②，连接，若，求弦的长和的大小． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接．由已知得，为的直径，则得，在中，由勾股定理求得．在中，由勾股定理即可求得； （2）连接．由及直径对的圆周角是直角得，，进而有，则有．在中，由勾股定理求得．由，得是等边三角形，则可求得的度数． 【详解】（1）解：如图，连接． ， ． 为的直径． ． 的半径为5， ． 又， 在中，． 在中，由， 解得． （2）解：如图，连接． ， ． ． ． 在中，． ， ∴是等边三角形， ． ． 【点睛】本题考查了90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等，相等的圆周角对的弦也相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 例5（24-25九年级上·广西河池·期末）已知四边形内接于，． (1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长； (2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长． 【答案】(1) (2)AC 【分析】（1）由90度的圆周角所对的弦是直径得到是直径，则，再利用勾股定理求解即可； （2）如图2，连接，作于H，先利用勾股定理得到，再由角平分线的定义得到，则可证明，求出，由勾股定理可得． 再证明是等腰直角三角形，同理可得．在中，，据此可得答案． 【详解】（1）解：， 是直径， ∵的半径为6， ． 在中，由勾股定理，得， ∵ ∴， ； （2）解：如图2，连接，作于H， ，，， ． 平分， ， ， ． 四边形内接于，， ， 在中，由根据勾股定理，得， ∴， ∴． ， ∴是等腰直角三角形， 同理可得． 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质等等，熟知90度的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 例1（25-26八年级上·北京西城·月考）如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，由与都为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则． 故选D． 例2（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 例3（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查切线长定理，由分别和相切于点A、B，得；因为过C作的切线分别交于点D、E，所以，，所以，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别和相切于点A、B， ∴， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 例4（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，圆O是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)的度数为 (2)圆O的半径为2 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的边长关系，根据切线的性质正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，由切线的性质和三角形内角和定理可得，再由圆周角定理即可解答； （2）设的半径为，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，列方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径， 在中，， ∴，即， ∴， 解得， ∴的半径为2． 例5（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，是的直径，弦，过点D作的切线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，先由平行的性质得，再由切线的性质得，进而得，即可得，再由垂径定理和圆周角定理可得，继而可得结论； （2）作于点，设的半径为，则，由勾股定理列方程得，解方程得，进而可得的值，再由勾股定理可得的值，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：过点 O 作于点，连接，如图1， ， ， ， ， ， 是的切线， D是切点， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：作于点，如图2， ， ， ∴四边形为矩形， ， 设的半径为，则， ， ， ∵在中，， ， 解得， ， ， ， ∴在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 例1（25-26九年级上·重庆永川·月考）在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． (1)求证：与相切于点D； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题考查角平分线，切线的判定定理，勾股定理，圆周角定理等，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义和等边对等角，得到，从而，易证，即可求证； （2）连接，根据圆周角定理，可得，根据“直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半”，求出，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 与相切于点D； （2）解：如图2，连接， 是的直径， ， ，， ，则 在中，， ， 设半径为r，则， 在中，， ， 由勾股定理得，， 解得， 则的半径为． 例2（25-26九年级上·安徽合肥·月考） 如图，内接于，是⊙O的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．    (1)求证：是切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质证出，由切线的判定可得出结论； （2）由垂径定理得出，，证出，由直角三角形的性质得出， 进而得出，，故可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 即，又是的直径， 是的切线； （2）解：， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， 为等腰三角形； ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 例3（24-25九年级下·江苏淮安·月考）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 例4（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图， 点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于D， 过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若， 求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，求出，在中，设，则，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：连接交于点H， ∵点E是的内心， ∴平分，即， ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵点E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， 设，则， 在中， ， 解得， ∴的半径为． 例5（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论； （2）根据勾股定理求得，得到，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ． 与相切于点， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：， ， 在中，，， ， ， ， 与和都相切， ， 在中，， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 例1（25-26九年级上·天津东丽·期末）如图，在中，，在中，，，是的内切圆，为切点，那么的内切圆半径长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内切圆，勾股定理． 根据勾股定理得到，连接，根据为切点可知，设的内切圆半径长为，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，连接， ∵为切点， ∴， 设的内切圆半径长为， ∴， 即， 解得：． 故选：A． 例2（25-26九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，四边形是正方形，根据面积法求出内切圆的半径，进而可得的周长． 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点F、H、G，连接、、， 由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， 设内切圆的半径为r， 由， 得， 解得， ∴， ∴， ， ∴的周长 ． 故选：B． 例3（25-26九年级上·江西宜春·月考）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形内切圆的切线长定理，根据切线长定理得到线段之间的等量关系，再结合已知条件设，求出的长，进而求出的值． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D、E、F， ∴，，， 设，则，，， 又∵， ∴，解得， ∴，， ∴． 故答案为：10． 例4（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养． 例5（24-25九年级上·云南红河·月考）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在半径为的中，弦与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的性质、垂径定理和解直角三角形，熟练掌握垂径定理和解直角三角形的方法是解题的关键． 过点作于点，于点，连接、、，根据垂径定理得到，，则，用勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，可得，再利用含角的直角三角形性质求出、的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果． 【详解】解：过点作于点，于点，连接、、，如图所示： 则，， ∴， 在，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故选：B． 2．（25-26八年级上·天津·月考）“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键． 【详解】解：连接，设圆的半径是x寸， ∵弦，寸， ∴寸， 在中，寸，， ∵， 则， 解得：， 则（寸）． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用勾股定理求得，过作，交于点，那么，接着利用三角形面积求得，然后用勾股定理求得，最后算得即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 过作，交于点，如图所示： ， ，且，，， ∴， 在中，，， ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，内接于为的直径，，那么的值为（   ）    A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质，根据等边对等角结合三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：，， ∴， ∵， ， 为的直径， ， 在中，， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·天津津南·月考）如图，是的直径，若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ． ， ． ． ． 在中，． 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、圆周角定理．延长交于M，根据垂径定理得到，得到，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交于M， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期末试题）如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，设，，，根据题意列出方程组解答即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点， ∴，，， 设，，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形内心的性质、垂径定理的推论、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理及推论是解题的关键． 连接，交于点，作于点，证明，得到，根据是直径得出，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，作于点， ∵点为的内心， ∴是的角平分线，是的角平分线，即，， ∴， ∴， ∵是直径得出， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的弦，直径经过的中点．若，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，直径经过的中点，得，，而，，则，，所以，则，求得，同理当点在之间时，即可解答． 【详解】解：如图，当点在线段上时，连接， 是圆的弦，直径经过的中点， ，， ，， ，， ， ， ， 如图，当点在线段上时，连接， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在中，弦直径交于，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理． 连接，则，然后根据垂径定理求得，在中利用勾股定理求得的长． 【详解】解：连接． ∵是的直径，弦直径，，， ∴（圆的半径是直径的一半），（垂径定理）． 在中，． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用； 如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图， 内接于，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查垂直平分线的作法和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，根据题意可知是线段的垂直平分线，可得，进而得，根据圆周角定理即可求得答案． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·北京·期中）如图，为的外接圆，为的直径，于点D，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理．利用直角三角形的性质结合圆周角定理求得，连接，利用圆周角定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·新疆喀什·期末）如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查切线长定理，解题关键是识别相等的切线长．根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】解：由切线长定理得：， ∴的周长为： ， 已知周长为，且，故， 解得． 故答案为：8． 16．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查结合圆的性质与勾股定理计算． ①利用已知角度关系和三角形内角 和定理，推导出，根据等角对等边得出，结合，直接求出； ②先连接直径所对的圆周角， 利用切线性质和直径的圆周角定理推出角相等，得到，再在中用勾股定理求出，进而得到 的长度． 【详解】解：①∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ②连接，则， ∵切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理， ∴． 故答案为：． 17．（2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：16． 18．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，结合四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆，分别切，，于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵P是上一点， ∴； 故答案为：． 19．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是三角形的内切圆的性质，作出过切点的半径是解本题的关键； （1）如图，记，与切于点，，可得，，，再利用三角形的面积公式计算即可； （2）证明，， ，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1）如图，记，与切于点，， ∴，，， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， 是的内切圆， ， ， ， 故答案为：，． 20．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F． (1)证明：四边形为正方形； (2)若，，则直径等于______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握知识点． （1）首先证明四边形是矩形，再证明，可得结论； （2）利用垂径定理求出，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：证明：连接，． ，垂足为点于点，于点， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形； （2），， ， ， ， ， ， 的半径为 的直径为． 21．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接并延长交于点F，根据切线的定义可得，再根据平行四边形的性质和垂径定理可得垂直平分，进而即可求证； （2）设的半径为r，连接，则，根据平行线的性质可得，则，进而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 证明：如图，连接并延长交于点F， ∵与相切， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：设的半径为r，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 解得． ∴的半径长为． 22．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）如图，是的直径，、是半圆上两点，平分，与交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，点为的中点，求的长． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查圆的性质与平行线判定、线段长度计算，关键是利用角平分线得内错角相等证平行，结合中点与平行关系用中位线求线段长，易错点是忽略半径相等的隐含条件或中位线的应用； （1）利用角平分线和平行线的判定（内错角相等）证明； （2）结合点为的中点与，证，用中位线定理求． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵（都是圆的半径）， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行） （2） ∵为的中点， ∴ 又∵在和中： ∴（） ∴ ∵是的直径， ∴（直径所对圆周角为直角）； ∵， ∴，即， ∴是的中位线； ∴； 又∵, ∴ 23．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理： （1）由圆周角定理得到，结合平行得到，进一步由垂径定理即可得出结论； （2）设半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，是圆上的两点， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； ∴为的中点； （2）解：设半径为，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得，解得； ∴． 24．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是上一点，是直径，点在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角推出，根据，得到，最后结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：点在上且平分． ， ， 平分； （2）解：是直径， ， ， ， ． 25．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）根据题意可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：是的直径，， ． ， ． 又， ， ． （2）解：连接． 在与中， ， ． ， ， ． 在中，， ． 26．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由为的直径，是弦，且，根据垂径定理，即可根据圆周角定理证明； （2）由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：为的直径，是弦，且， ， ； （2）解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为． 27．（25-26九年级上·北京西城·期末）如图，为的直径，点D为弦的中点，连接并延长交于点E，过点B作的切线交的延长线于点F．记与的交点为G． (1)求证：； (2)若点G为的中点，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了垂径定理，切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据垂径定理可得，从而得到，再由切线的性质可得，即可解答； （2）连接，证明，可得，再由垂径定理可得，，根据勾股定理可得，进而得到，，再证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的半径，点D为弦的中点， ∴． ∴． ∴． ∵切于点B，且为的半径， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∵点G为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点O为的中点，点D为的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵在中，， 在中，， ∴， ∴． 28．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，与相切于点B，D为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握圆的切线的判定方法是解此题的关键． （1）连接，根据平行线和等腰三角形的性质得到，进而利用证得，得到，结合与相切于点B，即可证得结论； （2）由（1）可知，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； （2）解：由（1）可知，， ， 设， ，， ， 在中，， 即， 解得， 的长为3． 29．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，是的直径，是的弦，点M是外一点，过点C作的切线，交的延长线于点N，连接，． (1)求证：是的切线； (2)点D是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1），利用等腰三角形性质可知，，因为是的切线，所以，则可证，题目可解； （2）设半径为，在中用勾股定理可求出半径，设，在中利用勾股定理求出，则可求，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 即， ∵在上， ∴是的切线； （2）解：设， ∵是的切线， ∴， 在中， ∵ ∴， 解得， ∴， 设，在中， ∵， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∴． 30．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，是的直径，为弦，，延长至点，连接，使． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质和判定得到，即可得到直线是的切线； （2）由得到，求出，然后等量代换得到，求出，然后得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴直线是的切线； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，等边对等角，含30度角直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 31．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，是的切线，平分交于点，连接． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到．根据等腰三角形的性质得到，由切线的性质求得，等量代换即可得到； （2）连接，由直径得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，求出，，进而求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵是的切线 ∴ ∴； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 32．（24-25九年级上·河南信阳·月考）结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理及其逆定理，整式的运算，熟练掌握切线长定理，勾股定理及其逆定理是解题的关键。 （1）设,仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到； （2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得. 【详解】解：（1）设. 根据切线长定理，得，，. ∴，， ∵， ∴在中，， 即. 整理，得. ∴ . ∴的面积等于． （2）由（1）可知，， ∵， ∴. 整理，得. ∴ . ∴是直角三角形，. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $