2.3.2二次根式的化简及加减运算课件2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的化简及加减运算，通过“旧识回顾”复习二次根式与最简二次根式定义，以化简例题为支架衔接同类二次根式判断，逐步过渡到加减运算步骤，构建新旧知识脉络。 其亮点是分层练习与核心素养融合，基础题、中考题及易错点总结培养运算能力和推理意识，如“√8 - √2”化简体现步骤规范，课堂小结梳理性质与定义，助力学生巩固知识，教师可直接用于教学提升效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 2.3.2二次根式的化简及加减运算 第二章 实数 北师大版八年级上册2.3.2 二次根式的化简及加减运算 练习题 本节核心考点：二次根式加减运算的核心是先化简，再合并。先将所有二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并，合并方法类似合并同类项，只合并系数，被开方数不变。非同类二次根式不能直接加减。 核心运算法则：$$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}$$ 运算步骤：①化简所有二次根式；②判断同类二次根式；③合并同类二次根式；④整理结果。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 二次根式加减运算的前提是先把根式化为________二次根式。 2. $$2\sqrt{3}$$与$$5\sqrt{3}$$________同类二次根式（填“是”或“不是”）。 3. 计算：$$3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=$$________，$$7\sqrt{5}-\sqrt{5}=$$________。 4. 化简：$$\sqrt{12}=$$________，$$\sqrt{27}=$$________，二者________同类二次根式。 5. 计算：$$\sqrt{8}-\sqrt{2}=$$________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组属于同类二次根式的是（） A. $$\sqrt{2}$$和$$\sqrt{3}$$ B. $$\sqrt{8}$$和$$\sqrt{2}$$ C. $$\sqrt{5}$$和$$\sqrt{10}$$ D. $$\sqrt{6}$$和$$\sqrt{12}$$ 2. 下列运算正确的是（） A. $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$$ C. $$\sqrt{18}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{4}+\sqrt{9}=\sqrt{13}$$ 3. 可以与$$\sqrt{3}$$合并的二次根式是（） A. $$\sqrt{6}$$ B. $$\sqrt{9}$$ C. $$\sqrt{12}$$ D. $$\sqrt{18}$$ 4. 计算$$4\sqrt{5}+\sqrt{5}-2\sqrt{5}$$的结果是（） A. $$\sqrt{5}$$ B. $$3\sqrt{5}$$ C. 3 D. 5 5. 下列说法正确的是（） A. 任意两个二次根式都可以加减合并 B. 只有被开方数相同的最简二次根式才能合并 C. 二次根式加减可以直接合并被开方数 D. 带根号的数都不能直接计算 三、计算与解答题（共60分） 1.（20分）先化简，再计算： （1）$$\sqrt{12}+\sqrt{27}$$ （2）$$\sqrt{8}-\sqrt{32}$$ （3）$$\sqrt{50}+\sqrt{18}$$ （4）$$\sqrt{48}-\sqrt{75}$$ 2.（20分）混合运算： （1）$$3\sqrt{2}+5\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$（2）$$2\sqrt{12}-6\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{48}$$ 3.（20分）已知一个三角形的三边长分别为$$\sqrt{18}\mathrm{cm}$$、$$\sqrt{8}\mathrm{cm}$$、$$\sqrt{32}\mathrm{cm}$$，求三角形的周长。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 最简 2. 是 3. $$5\sqrt{2}$$、$$6\sqrt{5}$$ 4. $$2\sqrt{3}$$、$$3\sqrt{3}$$、是 5. $$\sqrt{2}$$ 选择题答案 1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 解： （1）$$\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$； （2）$$\sqrt{8}-\sqrt{32}=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$$； （3）$$\sqrt{50}+\sqrt{18}=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$； （4）$$\sqrt{48}-\sqrt{75}=4\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}$$。 2. 解： （1）原式$$=(3\sqrt{2}-\sqrt{2})+(5\sqrt{3}+2\sqrt{3})=2\sqrt{2}+7\sqrt{3}$$； （2）原式$$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+12\sqrt{3}=14\sqrt{3}$$。 3. 解：三角形周长为三边之和 周长$$=\sqrt{18}+\sqrt{8}+\sqrt{32}$$ 化简：$$=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=9\sqrt{2}(\mathrm{cm})$$ 答：三角形的周长为$$9\sqrt{2}$$厘米。 五、易错点总结 1. 致命误区：不同类二次根式不能直接加减，如$$\sqrt{2}+\sqrt{3} e\sqrt{5}$$； 2. 必须先化简：很多根式看似不同，化简后是同类根式，如$$\sqrt{8}$$和$$\sqrt{2}$$； 3. 合并规则：只加减根号前面的系数，被开方数保持不变； 4. 结果必须最简：运算后若还能化简，必须再次整理为最简二次根式。 旧识回顾 1．二次根式的定义是什么？ 2．最简二次根式的定义是什么？ 一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式 化简： 例3 被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数 最简二次根式的概念: 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法: （1）当被开方数是整数时，先将整数化为含能开尽方的数与另一个数的乘积的形式，再开方。 （2）当被开方数是分数时(被开方数是小数或带分数，应先将小数化成分数形式，或将带分数化成假分数的形式)，若根号内分母是完全平方数，则直接开方，若根号内分母不能开得尽方，则分子、分母同乘一个适当的不为零的数，使分母化为一个完全平方数，再开方。 化简： 例4 1. 下列各式：，，，， ， 中，最简二次根式有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. ［2025上海嘉定区月考］将 根号外的因式移 到根号内，结果为( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 7 3. 教材P44随堂练习 下列算式中，正确的是( ) C A. B. C. D. 4. 若 ，则下列结论正确的是( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 中考考法 8 思考·交流 （1）你是怎么发现 含有开得尽方的因数的？ 你是怎么判断 是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。 1.(1) 3x2+2x2=________；(2)x2+2x2+4y=__________. 2.类比合并同类项的方法，计算： 3. 能不能再进行计算？为什么？ 5x2 3x2+4y 不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，不能合并. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫作同类二次根式. 同类二次根式 例：找出下列二次根式中 的同类二次根式. 二次根式可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用. 如： ……先将二次根式化成最简二次根式 ……再将被开方数相同的二次根式分别合并 计算： 例5 二次根式加减运算的步骤： （1）化：将每个二次根式化成最简二次根式； （2）找：找出化简后被开方数相同的二次根式； （3）合：将被开方数相同的二次根式合并——系数相加减仍得系数，根指数与被开方数保持不变. 先化简再合并 5. 小华和小刚两人分别拿一张卡片，小华在 卡片上写二次根式，小刚在卡片上写二次根式 ，使得 ，请你写出一对满足条件的， 的值：__________ ________________. ,（答案不唯一） 返回 中考考法 15 6.已知，则 的值是_______. 或1 7.（1）已知长方形的宽为，长为 ，则长方形 的面积为______ ； （2）一个长方形的周长为，它的一边长为 ，则另 一边长为_____. 返回 中考考法 16 8.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 中考考法 17 9. 已知,，则 等于( ) D A. B. C. D. 【点拨】.因为 , ,所以原式 . 返回 中考考法 18 10. ［2025邯郸模拟］若，则表示实数 的点 会落在如图所示的数轴的( ) B A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 中考考法 19 【点拨】因为 ，所以 .因为 ，所 以，即，所以表示实数 的点会落在题 图中数轴的段②上. 返回 中考考法 20 11.已知最简二次根式与 可以合并，则 的值为___. 2 【点拨】由题意得， ，解得 ，，则 . 返回 中考考法 21 12.在进行实数的化简时，我们可以用“ ” .如 .利用这种方式可以化简 被开方数较大的二次根式. （1）已知为正整数，若是整数，则 的最小值为 ____； 21 【点拨】因为， 为正整 数，是整数，所以 的最小值为21. 中考考法 22 课堂小结 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 二次根式的性质 $