2.2 平方根与立方根课件 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕平方根、立方根及无理数估算展开，通过剪拼正方形、魔方体积等实际问题导入，关联算术平方根旧知，构建知识脉络，形成学习支架帮助学生逐步深入。 其亮点在于以探究式学习为主，通过思考交流引导学生自主概括概念性质，如平方根与算术平方根的异同比较，结合蹦极、梯子稳定等实例培养模型意识和应用意识，检测分层设计助力巩固提升，教师使用可高效落实抽象能力、推理意识等核心素养。

第二章 实数 2 平方根与立方根 第1课时　算术平方根 课堂引入 探究与应用 课堂小结与检测 课堂引入 在以往的学习中我们解决了这样一个问题:有两个边长为1的小正方形,通过剪一剪、拼一拼,得到一个边长为a的大正方形,则有a2=2,2是有理数,而a是无理数.那么该怎样表示a呢? 在前面我们学过:若x2=a,则a叫x的平方,反过来,x叫a的什么呢? a2=2 a=? 韵 (韵) - 设计意图：利用拼图例子引入,承前启后.通过前面的学习,学生知道了大正方形的边长是无理数,学生很自然地想知道这个无理数该怎样表示.此处,恰到好处地迎合了学生的疑问,很顺畅地引入算术平方根. 【探究1】认识算术平方根 前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形完成下列问题: 问题1:x2=　　　, y2=　　　,  z2=　　　　, w2=　　　　.  问题2:你能求出x,y,z,w的值吗?x,y,z,w中哪些是有理数, 哪些是无理数?你能表示它们吗? 探究与应用 2 3 4 5 答 z=2是有理数,而x,y,w是无理数. 你能表示出它们吗? 韵 (韵) - 处理方式:问题1可以让学生观察图形并独立思考完成,问题2要让学生讨论交流,交流后教师进行讲评. 【探究1】认识算术平方根 【概括新知】 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a, 那么这个正数x就叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 特别地,我们规定:0的算术平方根是0,即0. 探究与应用 翟世静 (翟) - 【探究1】认识算术平方根 【应用】 例1　求下列各数的算术平方根: (1)900; (2)1; (3); (4)14. 探究与应用 解:(1)因为302=900,所以900的算术平方根是30,即=30. (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即=1. (3)因为2=,所以的算术平方根是,即=. (4)14的算术平方根是. 翟世静 (翟) - 说明:教师让学生根据算术平方根的概念,先独立思考,然后在小组内进行讨论,学生说出结果后,然后分别找四名同学回答,并说明表示方法,强调能化简的时候要进行化简. 【探究2】 算术平方根的性质 【思考·交流】 (1)在上面例1中,一些数的算术平方根的结果没有“ ”了,这些数有什么特点? (2)在上面例1中,=30,也就是=30. 一般地,当a≥0时,=a成立吗?当a<0时,=a还成立吗? 探究与应用 没有“”的数都是有理数的平方. 当a≥0时,=a;当a<0时,=-a. |a|=,即a的平方的算术平方根等于a的绝对值. 【探究2】 算术平方根的性质 【思考·交流】 (3)()2=a成立吗?这里的a是什么数?你是怎么理解的?与同伴进行交流. 探究与应用 ()2=a成立,这里的a是非负数,即非负数的算术平方根等于它本身. 【概括新知】 当a≥0时,=a，()2=a;当a<0时,=-a. 韵 (韵) - 师生活动:让学生举例,并在小组内交流各自的想法,尽可能多地说出一些具有代表性的数,然后观察并得出发现的规律.形成共识后,选派代表进行发言,有问题时其他同学进行补充和说明. 【探究】 算术平方根的性质 探究与应用 【应用】 由静止自由下落的物体下落的距离s(单位:m)与下落时间t(单位:s)之间的关系为s=4.9t2.有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落,到达地面需要多长时间? 解:将s=19.6代入公式s=4.9t2, 得t2=4, 所以t==2. 因此,铁球到达地面需要2 s. 韵 (韵) - 处理方式:阅读例题,理解题意后让学生独立完成,然后教师利用多媒体展示解题过程,规范解题思路,并让学生改正. 【探究】 算术平方根的性质 探究与应用 【变式】 1.(-6)2的算术平方根是 (　　) A.-6　　　　　B.36　　　　　C.±6 　　　　　D.6 2.求下列各式的值: , . D =2 ,=|-2|=2. 【拓展提升】 已知=x,=2,z是9的算术平方根,求2x+y-z的算术平方根. 探究与应用 解：∵=x, ∴x=5； ∵=2， ∴y=4； ∵z是9的算术平方根， ∴z=3； ∴2x+y-z=2×5+4-3=11， ∴2x+y-z的算术平方根是 达标测评 1.求下列各数的算术平方根： 36，，15，0.64，，. 2.下列各式中正确的是（ ） A. =±5 B. C. D. 解：36的算术平方根是6，的算术平方根是， 15的算术平方根是，0.64的算术平方根是0.8， 的算术平方根是， 的算术平方根是1. 课堂小结与检测 D 达标测评 3.在户外活动中,刺激度排名榜首的是“蹦极”(如图所示).某次“蹦极”中,跳跃者站在高40 m以上(相当于10层楼高)的跳台上,把一端固定的长长的橡皮条绑牢跳下,跳跃者在空中享受“自由落体”(已知自由下落物体的高度h(m)与下落时间t(s)之间的关系为h=4.9t2).如果“蹦极”运动起跳点的高度为44.1米,那么跳跃者在空中能享受多长时间的“自由落体”? 解：当h=44.1时， 4.9t2=44.1 t2= t==3 课堂小结与检测 第二章 实数 2 平方根与立方根 第2课时　平方根 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1.求下列各数的算术平方根: (1)100; (2)1.96; (3). 解:(1)因为102=100,所以=10. (2)因为1.42=1.96,所以=1.4. (3)因为=,所以=. 2.追问:通过上节课的学习,我们学习了算术平方根及其求法.那么,什么是平方根?又如何求非负数的平方根呢? 翟世静 (翟) - 设计意图：回顾算术平方根的求法,提出问题引起学生的思考,从而揭示本节课的学习内容. 【探究】平方根的概念及其性质 【思考交流】 (1)3的平方是9,还有其他数的平方也是9吗? (2)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数呢? 探究与应用 解（1）有，3和-3的平方都等于9. （2)平方等于的数有2个,分别是和-; 平方等于0.64的数也有两个，分别是0.8和-0.8. 【探究】平方根的概念及其性质 【概括新知】 一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方 根(也叫作二次方根). 探究与应用 【探究】平方根的概念及其性质 【尝试•思考】 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点? (2)一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢? 探究与应用 归纳： 联系:1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的正数根. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3.0的平方根是0,算术平方根也是0. 区别:(个数不同)一个正数有两个平方根,而一个正数只有一个算术平方根. 韵 (韵) - 师生活动：教师引导学生处理问题(1)时,可以利用定义和值的个数加以区分,让学生用规范的语言进行表达,有问题时其他同学进行修正.处理问题(2)时可让学生结合前面的练习和平方根的定义进行思考,并用自己的语言进行总结. 【探究】平方根的概念及其性质 【概括新知】 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根. 探究与应用 归纳：正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根,另一个是-,它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作±,读作“正、负根号a”. 求一个数a的平方根的运算,叫作开平方,a叫作被开方数.开平方与平方互为逆运算. 探究与应用 【应用】 例1　(教材例3)求下列各数的平方根: (1)64; (2); (3)0.0004; (4) (-25)2; (5)11. 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8; (2)因为=,所以的平方根是±,即±=±,; (3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02, 即±=±0.02; (4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25; (5)11的平方根是±. 韵 (韵) - 处理方式:学生在练习本上独立完成后互相交流,然后教师指名回答解题过程,并展示正确的书写格式,让学生对比修正. 探究与应用 【应用】 例2　求下列各式的值： （1）； （2） - 解:(1)= = 15; (2)-=-= - ; (3)=8; 探究与应用 【变式】 1.(-5)2的平方根是　　　　,平方根等于±7的数是　　　　.  2.若()2=, 则x=　　　; 若=3,则x=　　　.  【拓展提升】 1.一个正数的平方根是2a-1与-a+3, 则a= ，这个正数是 。 2.若y=++2,求x+y的平方根。 探究与应用 -2 25 解：根据“算术平方根中被开方数的非负性”，可知 , 解得x=1, 所以y=2. x+y=1+2=3，所以x+y的平方根是 韵 (韵) - 设计意图：　通过拓展提升,使学生深刻理解概念,灵活应用概念解决问题,提高学生分析问题、灵活解题的能力. 达标测评 1.下列各数中没有平方根的是 (　　) A.0　　　B.-1　　　C.10　　　D.102 2.16的平方根是 (　　) A.±4 B.24 C.± D.±2 3.的平方根为　　　　;=　　　　.  B 课堂小结与检测 A 8 达标测评 4.求下列各数的平方根: (1)0.01; (2)2; (3)(-13)2. 5.求下列各式中的x. (1)16x2=81; (2)(x-3)2-25=0. 解：(1) 课堂小结与检测 答案：(1) 第二章 实数 2 平方根与立方根 第3课时　立方根 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 问题： (1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(a≥0)的平方根? (2)正数的平方根有几个?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根? 0的平方根是什么? 一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根).a(a≥0)的平方根记作± 正数的平方根有两个,它们互为相反数;负数没有平方根,0的平方根是0. 韵 (韵) - 设计意图：通过回顾所学的内容,采用类比的方法从平方根导出立方根,从形式和结构上形成了鲜明的对比,有利于弄清两者的区别和联系,加深学习的印象. 【探究1】立方根的概念及其性质 【思考•交流】 如图,一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成. 假如要制作一个体积为216 cm3的三阶魔方,每个小正方 体的棱长是多少? 探究与应用 解：每个小正方体的体积为216÷27=8(cm3), 因为23=8, 所以每个小正方体的棱长为2 cm. 【探究1】立方根的概念及其性质 【概括新知】 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根 (也叫作三次方根). 探究与应用 【探究1】立方根的概念及其性质 【尝试•思考】 (1)一个数的平方根可能有两个,一个数的立方根可能有几个呢? (2)求8,0,-27的立方根. (3)正数有几个立方根?0有几个立方根?负数呢? 探究与应用 解(1)一个数的立方根只有一个; (2)因为23=8,所以8的立方根是2.因为03=0,所以0的立方根是0. 因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3. （3）正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是0；负数有一个负的立方根。 韵 (韵) - 处理方式:教师引导学生利用立方根的概念在小组内进行交流,注意巡视指导,对于学生出现的个别问题进行个别指导,共性问题待学生回答后讲评. 【探究1】立方根的概念及其性质 【概括新知】 正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数. 每个数a都有一个立方根,记作,读作“三次根号a”. 求一个数a的立方根的运算叫作开立方,a叫作被开方数. 探究与应用 探究与应用 【应用】 例1　(教材例5)求下列各数的立方根: (1)-27; (2) ; (3)0.216; (4)-5. 解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3; (2)因为=,所以的立方根是,即=; (3)因为0.63=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即=0.6; (4)-5的立方根是. 韵 (韵) - 处理方式:先让学生独立思考,然后在练习本上完成,注意巡视指导学生的解题步骤.学生完成后,展示解题过程,并进行讲评,重点关注表示方法. 探究与应用 变式 1.的平方根是　　　　.  2.立方根等于它本身的数是　　 　　.  3.要制作一个体积为216 cm3的正方体箱子,其棱长为　　　　.  6cm 【探究2】 和 【思考·交流】 (1)在例1中,一些数的立方根的结果没有“”了,这些数有什么特点? (2)在例1中,=-3,也就是=-3.一般地,=a成立吗? (3)()3=a成立吗?与同伴进行交流. 探究与应用 答案：（1）没有“”的数都是有理数的立方. （2）成立，任何一个数先求立方再开立方都等于原数 （3）成立，任何一个数先开立方再求立方都等于原数 【探究2】 和 【概括新知】 立方根的两个公式: (1) ; (2) 探究与应用 【探究2】 和 【应用】 例2 （教材例6）求下列各式的值： （1）；（2）；（3）-；（4）。 探究与应用 解： （1）=； （2）=； （3）-=-=- ； （4）=9. 韵 (韵) - 师生活动:让学生根据立方根的两个公式进行化简,待学生独立完成后指名回答,并进行展示. 【拓展提升】 1.若+=0,则a和b的关系是　　 　　.  2.若<0,则=　　　　 .  3.一个正方形的边长变为原来的m倍,则面积变为原来的　　　 倍; 一个正方体的体积变为原来的n倍,则棱长变为原来的　　　 倍.  探究与应用 互为相反数 2-a m2 3 达标测评 1.判断正误: (1)-4没有立方根. (　　) (2)1的立方根是±1. (　　) (3)的立方根是. (　　) (4)-5的立方根是-. (　　) 2.求下列各式的值: ; - ; ; 3. × 课堂小结与检测 × × √ =-0.3 - =- =- 3= - 达标测评 3.-的立方根是 . 4.求下列各数的x: (1)x3=-0.027; (2)3（x-4）3-648=0. 课堂小结与检测 答：(1) 第二章 实数 2 平方根与立方根 第4课时　估算 探究与应用 课堂小结与检测 【探究1】估算无理数的大小 探究与应用 问题:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000 m2. (1)公园的宽大约是多少?它有1000 m吗? 解:(1)设公园的宽是x m,则长是2x m. 由题意,得2x2=400000, 所以x2=200000. 所以公园的宽x为200000的算术平方根,大约几百米. 若x=1000,则x2=1000000,因为1000000>200000,所以它没有1000 m. 韵 (韵) - 师生活动:展示情境导入的问题,让学生先以自学或小组合作的形式探究学习问题(1)、问题(2),然后再总结归纳解决问题的方法.最后由学生自主完成问题(3)的整个探究过程. 【探究1】估算无理数的大小 问题:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000 m2. (2)如果要求结果精确到10 m,它的宽大约是多少?与同伴进行交流. 解:(2)依次计算4102,4202,4302…… 因为x=450时,x2更接近200000,所以它的宽大约是450 m. 探究与应用 韵 (韵) - 师生活动:展示情境导入的问题,让学生先以自学或小组合作的形式探究学习问题(1)、问题(2),然后再总结归纳解决问题的方法.最后由学生自主完成问题(3)的整个探究过程. 【探究1】估算无理数的大小 问题:某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍,它的面积为400000 m2. (3)该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是800 m2,你能估计它的半径吗(结果精确到1 m)? 解(3)设它的半径为r,则3.14r2=800,所以r2≈255. 因为225<255<256,所以15<r<16, 当r=16时,r2更接近于255,所以r≈16. 故它的半径约为16 m. 探究与应用 韵 (韵) - 师生活动:展示情境导入的问题,让学生先以自学或小组合作的形式探究学习问题(1)、问题(2),然后再总结归纳解决问题的方法.最后由学生自主完成问题(3)的整个探究过程. 【探究1】估算无理数的大小 【思考·交流】 (1)下列计算结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流. ≈0.66; ≈96; ≈60.4. (2)你能估计的大小吗(结果精确到1)? 探究与应用 都不正确 ≈10 韵 (韵) - 处理方式:让学生观察问题(1),从结果入手,利用平方根与平方互为逆运算、立方根与立方互为逆运算,计算结果的平方或立方后再与被开方数进行比较.对于(2)让学生在小组内尝试探究,采用“夹逼法”逐渐接近实际结果. 【探究1】估算无理数的大小 【思考·交流】 (3）宽比长之比为的长方形称为“黄金矩形”.你能比较与的大小吗? 你是怎么想的? 探究与应用 与的分母相同,只要比较它们的分子就可以了, 因为>2,所以-1>1,所以>. 韵 (韵) - 师生活动:引导学生在小组内讨论比较的方法,对于不同的方法,只要合理,教师就要给予鼓励和表扬.学生讨论后,展示各自比较的方法,并对其进行分析讲评. 【探究1】估算无理数的大小 【应用】 例　(教材例7)生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定.如图,现有一架长度为6 m的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗? 探究与应用 解:设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m, 此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的. 根据勾股定理,有x2+（×6）2=62, 即x2=32,x=. 因为5.62=31.36<32,所以>5.6. 因此,梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达5.6 m高的墙头. 韵 (韵) - 处理方式:教师引导学生利用立方根的概念在小组内进行交流,注意巡视指导,对于学生出现的个别问题进行个别指导,共性问题待学生回答后讲评. 【探究2】 利用计算器进行开方运算 【尝试·思考】 (1)观察你的计算器面板,对于开方运算,可能用到哪些按键?利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001): ① ; ② . (2)任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加,你发现了什么?改用另一个小于1的正数试一试,看看是否仍有类似的规律. 探究与应用 答(1)≈2.4269;②≈-10.8718. 随着开方次数的增加,开方的结果逐渐趋近于1. 韵 (韵) - 处理方式:问题(1)让学生根据自己的计算器说明按键的顺序,求出两个式子的值;问题(2)让学生在小组内先确定符合要求的数,然后再利用计算器进行计算,并用自己的语言表述发现的规律. 【拓展提升】 1.a是的整数部分,b是的整数部分,则a+b的平方根为　　　　.  2.数轴上,点A表示的数是,点B表示的数是,则A,B两点之间表示整数的点有　　　　个.  探究与应用 达标测评 1.估计的值 (　　) A.在2到3之间　　　　B.在3到4之间 C.在4到5之间 D.在5到6之间 2.估计的值介于 (　　) A.2.1到2.2之间 B.2.2到2.3之间 C.2.3到2.4之间 D.2.4到2.5之间 3.比较与的大小. 课堂小结与检测 B A < $