专题03认识实数精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“认识实数”核心知识点，从无理数的定义与三类常见类型入手，系统梳理实数的两种分类方式，衔接无理数估算步骤、实数与数轴的一一对应关系，最终落实实数大小比较的通用法则与三种方法，构建完整知识支架。 资料通过重点辨析与常见误区提示，帮助学生用数学眼光准确抽象概念，分层题型设计与解题思路指导培养数学思维中的推理能力，勾股定理结合数轴表示无理数体现几何直观。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生通过典型例题查漏补缺，强化知识应用。

专题13认识实数精讲学案 核心立意： 能够识别无理数，理解实数概念，掌握实数两种分类方式；会简单估算无理数大小；理解实数与数轴上的点一一对应；能借助勾股定理在数轴上表示无理数，掌握实数大小比较方法。 无理数的定义与常见类型 无限不循环小数叫做无理数。 三类常见无理数： ①开方开不尽的数； ②含有的数； ③构造型无限不循环小数。有限小数、无限循环小数均属于有理数。 实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数。 ①按定义分类：实数分为有理数（整数、分数）、无理数（无限不循环小数）； ②按正负分类：实数分为正实数、0、负实数；0既不是正数，也不是负数。 无理数的估算 估算带根号无理数分两步： ①找与被开方数相邻的两个完全平方数； ②依据被开方数范围，确定无理数所在的整数区间，实现无理数大小估计。 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应； ①每一个实数都可以用数轴上一个点表示； ②数轴上每一个点都对应一个实数；借助勾股定理在数轴上构造直角三角形，以原点为圆心、斜边为半径画弧，即可在数轴上标出无理数对应的点；数轴上右边的数总大于左边的数。 实数大小比较 1.通用法则：正数大于0，0大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 2.无理数比较三种常用方法： ①数轴法：数轴右侧的数大于左侧的数； ②被开方数比较法：仅对正无理数适用，被开方数越大，算术平方根越大； ③估算法：估算出无理数近似小数，再对比数值大小。 重点辨析 ①带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽才是无理数，如=2是有理数； ②无理数不能写成分数形式，所有分数都属于有理数； ③数轴上的点不只是表示有理数，全体实数都可以在数轴找到对应点。 ①混淆无限小数概念：只有无限不循环小数才是无理数，无限循环小数属于有理数； ②误认为带根号就是无理数，忽略根号能够完全开方的情况； ③实数分类出错，将0归到正实数或者负实数； ④估算无理数时，判断所在整数区间出现错误； ⑤不会利用“画弧”的操作，在数轴上定位无理数； ⑥比较负无理数大小时，忽略符号，直接对比被开方数。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★★ 题型二 无理数的大小估算 ★★★ 题型三 实数概念理解 ★★ 题型四 实数的分类 ★★ 题型五 实数的性质 ★★★ 题型六 实数与数轴 ★★★ 题型七 实数的大小比较 ★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：无理数 解题思路：①紧扣定义：无限不循环小数才是无理数；②熟记三类无理数：开方开不尽的数、含有的数、人为构造的无限不循环小数；③快速排除：分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。 1．下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 2．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有________个． 题型二：无理数的大小估算 解题思路：①找到与被开方数相邻的两个完全平方数；②根据被开方数的范围，确定无理数介于哪两个整数之间；③如需精度更高，再进一步缩小无理数的取值区间。 4．无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 5．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 题型三：实数概念理解 解题思路：①实数包含有理数和无理数两大类；②实数与数轴上的点是一一对应的关系；③避开常见误区：带根号不一定是无理数，无限小数也不一定是无理数。 7．的相反数是（     ） A． B． C． D． 8．已知实数m，n满足，则________． 9．已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型四：实数的分类 解题思路：①两套分类标准：按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数；②牢记0既不是正数，也不是负数；③做题必须先化简，再分类，例如化简结果为2，属于有理数。 10．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 11．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 12．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 题型五：实数的性质 解题思路：①在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的运算法则和有理数完全相同；②计算绝对值先判断正负：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数；③特殊值记忆：0的相反数、绝对值都是0，0没有倒数。 13．的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 14．的绝对值是__________． 15．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 16．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 题型六：实数与数轴 解题思路：①任意一个实数都对应数轴上唯一的点，数轴上任意一个点也对应唯一的实数；②数轴上右边的数总大于左边的数；③读出数轴上点表示的数，分清该数是有理数还是无理数。 17．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 18．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 19．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 题型七：实数的大小比较 解题思路：①通用法则：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；②对于正的带根号数，可以直接比较被开方数的大小；③常用方法：数轴法、估算法；平方比较法只适用于正数。 20．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 21．在实数，，，，中，最小的是________． 22．比较大小：______（用“”、“”或“”填空）． 23．比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 题型八：勾股定理与无理数 解题思路：①在数轴上构造直角三角形，将其中一条直角边落在数轴上，两条直角边取整数长度；②利用勾股定理计算斜边的长度，得到无理数；③以原点为圆心，斜边长作为半径画弧，弧与数轴的交点就是该无理数对应的点。 24．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 25．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 26．如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 解答题 1．如图，在下面数轴上标出表示的点． 2．把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 3．阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 4．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 5．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13认识实数精讲学案 核心立意： 能够识别无理数，理解实数概念，掌握实数两种分类方式；会简单估算无理数大小；理解实数与数轴上的点一一对应；能借助勾股定理在数轴上表示无理数，掌握实数大小比较方法。 无理数的定义与常见类型 无限不循环小数叫做无理数。 三类常见无理数： ①开方开不尽的数； ②含有的数； ③构造型无限不循环小数。有限小数、无限循环小数均属于有理数。 实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数。 ①按定义分类：实数分为有理数（整数、分数）、无理数（无限不循环小数）； ②按正负分类：实数分为正实数、0、负实数；0既不是正数，也不是负数。 无理数的估算 估算带根号无理数分两步： ①找与被开方数相邻的两个完全平方数； ②依据被开方数范围，确定无理数所在的整数区间，实现无理数大小估计。 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应； ①每一个实数都可以用数轴上一个点表示； ②数轴上每一个点都对应一个实数；借助勾股定理在数轴上构造直角三角形，以原点为圆心、斜边为半径画弧，即可在数轴上标出无理数对应的点；数轴上右边的数总大于左边的数。 实数大小比较 1.通用法则：正数大于0，0大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 2.无理数比较三种常用方法： ①数轴法：数轴右侧的数大于左侧的数； ②被开方数比较法：仅对正无理数适用，被开方数越大，算术平方根越大； ③估算法：估算出无理数近似小数，再对比数值大小。 重点辨析 ①带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽才是无理数，如=2是有理数； ②无理数不能写成分数形式，所有分数都属于有理数； ③数轴上的点不只是表示有理数，全体实数都可以在数轴找到对应点。 ①混淆无限小数概念：只有无限不循环小数才是无理数，无限循环小数属于有理数； ②误认为带根号就是无理数，忽略根号能够完全开方的情况； ③实数分类出错，将0归到正实数或者负实数； ④估算无理数时，判断所在整数区间出现错误； ⑤不会利用“画弧”的操作，在数轴上定位无理数； ⑥比较负无理数大小时，忽略符号，直接对比被开方数。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★★ 题型二 无理数的大小估算 ★★★ 题型三 实数概念理解 ★★ 题型四 实数的分类 ★★ 题型五 实数的性质 ★★★ 题型六 实数与数轴 ★★★ 题型七 实数的大小比较 ★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：无理数 解题思路：①紧扣定义：无限不循环小数才是无理数；②熟记三类无理数：开方开不尽的数、含有的数、人为构造的无限不循环小数；③快速排除：分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。 1．下列实数中，为无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义解答，即有理数包含整数和分数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数，开方开不尽，为无限不循环小数，属于无理数，和都是整数，属于有理数． 2．在下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，均为有理数， ∴选项A、C、D不符合题意； ∵是无理数， ∴选项B符合题意． 3．在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是循环小数，是有理数； π是无理数； 是分数，是有理数； 是无理数； 0.313113…（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 故无理数有个． 故答案为：． 题型二：无理数的大小估算 解题思路：①找到与被开方数相邻的两个完全平方数；②根据被开方数的范围，确定无理数介于哪两个整数之间；③如需精度更高，再进一步缩小无理数的取值区间。 4．无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题使用夹逼法，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，确定无理数的范围． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ， 因此位于和之间． 5．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 6．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可解答． 【详解】解：由数轴得：， A．，点A表示的数大于，故该选项说法错误，不符合题意； B．，点B表示的数在0和1之间，故该选项说法错误，不符合题意； C．，点C表示的数在2和3之间，故该选项说法正确，符合题意； D．，点D表示的数在3和4之间，故该选项说法错误，不符合题意． 题型三：实数概念理解 解题思路：①实数包含有理数和无理数两大类；②实数与数轴上的点是一一对应的关系；③避开常见误区：带根号不一定是无理数，无限小数也不一定是无理数。 7．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，任意数的相反数为． 【详解】的相反数是． 8．已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 9．已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 题型四：实数的分类 解题思路：①两套分类标准：按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数；②牢记0既不是正数，也不是负数；③做题必须先化简，再分类，例如化简结果为2，属于有理数。 10．下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先明确无理数的定义，即无限不循环小数，先回忆有理数的范畴：整数和分数统称为有理数．逐一判断各选项所属的数的类型，如果是整数或者可以表示为两个整数的比值的分数，那么属于有理数，否则为无理数．针对带根号的选项，判断被开方数是否是完全平方数，若被开方数开方开不尽，那么对应的数是无理数． 【详解】解：A、是整数，属于有理数． B、是分数，属于有理数． C、开方开不尽，属于无理数． D、是整数，属于有理数． 11．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，是正整数，属于正有理数； 是正分数，属于正有理数； ，是正无限循环小数，属于正有理数； 既不是正数，也不是负数，不属于正有理数； 是负数，不属于正有理数； 是无理数，不属于正有理数； 综上，正有理数共有5个． 12．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 题型五：实数的性质 解题思路：①在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的运算法则和有理数完全相同；②计算绝对值先判断正负：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数；③特殊值记忆：0的相反数、绝对值都是0，0没有倒数。 13．的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的相反数是． 14．的绝对值是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：． 15．已知a，b，c都是实数，且满足，且，则代数式值的是_________． 【答案】13 【分析】根据得到，代入得到，从而得到，代入计算即可． 【详解】因为， 解得， 代入得到， 所以， 所以． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了实数的非负性，求代数式的值，熟练掌握实数的非负性，灵活运用整体思想求代数式的值是解题的关键． 16．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 题型六：实数与数轴 解题思路：①任意一个实数都对应数轴上唯一的点，数轴上任意一个点也对应唯一的实数；②数轴上右边的数总大于左边的数；③读出数轴上点表示的数，分清该数是有理数还是无理数。 17．在数轴上原点右边的点所表示的数是（     ） A．正有理数 B．正实数 C．非负有理数 D．非负实数 【答案】B 【详解】解：∵数轴上的点与实数一一对应， ∴原点右边的点所表示的数是正实数． 18．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点距离的计算，利用数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值，先比较两数大小，再去绝对值得到结果． 【详解】解：∵ 数轴上两点之间的距离等于两点对应数差的绝对值，点对应数为，点对应数为， 又∵ ， ∴ 与之间的距离为． 19．如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根可得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数为，且点在点右侧， 点表示的数为， 点 表示的数的 相反数为 ． 题型七：实数的大小比较 解题思路：①通用法则：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；②对于正的带根号数，可以直接比较被开方数的大小；③常用方法：数轴法、估算法；平方比较法只适用于正数。 20．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据负数小于0和所有正数，结合四个选项的数字判定即可得答案. 【详解】解：∵ 负数小于0和所有正数，且四个选项的数字中，只有是负数， ∴ 最小的数是，故A、B、D错误，C正确. 21．在实数，，，，中，最小的是________． 【答案】 【分析】先根据正负性判断，负数小于0和正数，再比较两个负数的大小，利用“绝对值大的负数反而小”得到结果. 【详解】解：对给出的数按正负分类：负数为，；非负数为，，； ∵负数小于所有非负数， ∴最小的数一定在和中； ∵，，， ∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 因此最小的数是. 22．比较大小：______（用“”、“”或“”填空）． 【答案】 【详解】解：∵ ∴． 23．比较下列各组数的大小，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、 ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，原式错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴，即，正确，不符合题意； D、∵，，且， ∴，正确，不符合题意． 故选：B． 题型八：勾股定理与无理数 解题思路：①在数轴上构造直角三角形，将其中一条直角边落在数轴上，两条直角边取整数长度；②利用勾股定理计算斜边的长度，得到无理数；③以原点为圆心，斜边长作为半径画弧，弧与数轴的交点就是该无理数对应的点。 24．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过图形可知，利用勾股定理求出，可以求出，即可解答． 【详解】解：由图可知， 由图形可知， 根据勾股定理得：， ∴， ∴A表示的数为，则． 25．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由题意得到，最后由数轴上的点表示对应的实数方法计算即可． 【详解】解：在中，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，长为半径作弧， ， 则点表示的数为． 26．如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：正方形的顶点中到点距离最远的是点，易得， 点到点的距离为， 顶点与数轴上表示1的点重合， ∴当点在数轴原点的右侧时，点到原点的距离为，正方形的边与数轴的交点所表示的数最大为， 故选C． 解答题 1．如图，在下面数轴上标出表示的点． 【答案】解：画图如下： ． 【详解】解：∵， ∴构造直角边分别为的直角三角形，则斜边为， 画图略． 2．把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 【答案】正有理数集合：{，，…}；非正整数集合：{，0，…}；负分数集合：{，…}；无理数集合：{0.1010010001…，…} 【分析】根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，进行解答即可． 【详解】正有理数集合：{，，，…} 非正整数集合：{，0，，…}； 负分数集合：{，，…}； 无理数集合：{0.1010010001…，，…}． 【点睛】此题考查正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，解题关键在于掌握其性质定义． 3．阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 4．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长至点，连接，使得， ． 在中，由勾股定理得． ，余线仅剩， ∴风筝线的总长度为， ∵， ∴， ∴不能成功． 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，可得，，在中，根据勾股定理求出 的长即可求解； （2）延长至点，连接，使得，利用勾股定理求出的长，再与风筝线的总长度比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， 答：风筝离地面的垂直高度为． （2）略 5．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $