第四章 数列（单元测试·提升卷）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若数列的满足，，则数列的前15项和为（ ） A．105 B．119 C．135 D．152 【答案】C 【分析】由递推公式，结合，即可求出的前15项和. 【详解】因为 所以 故选：C. 2．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（   ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算即可求解，结合即可得出答案． 【详解】由，， 可得，， 显然，所以， 即，解得或， 当时，；当时，，                                                      又，则． 故选：B． 3．已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】设数列的公比为，由已知可得，进而计算，得解. 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 4．等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴ ， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 5．已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】设出公比，利用条件和等比数列性质求出公比，进而得到. 【详解】设公比为，,则， 又，故，解得， 所以. 故选：A 6．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式的概念，写出数列通项公式，进而写出的通项公式，根据等比数列的前项和，求出，判断不超过2025的项的个数. 【详解】已知是以2为首项，1为公差的等差数列，则， 是1为首项，2为公比的等比数列，则， 所以， 则， 可知，， 所以不超过2025的项有10个. 故选：C. 7．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4051 C． D． 【答案】C 【分析】当时，可求出，当时，，结合题意可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式可得，可得，从而即可求解. 【详解】当时，，因为，所以，得， 当时，， 可得，即，即， 即，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：. 8．已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】解：因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】AB 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的通项公式为一次函数即可判断D. 【详解】对于A：令，即，即数列的前6项和最大，故A错误； 对于B：当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：若为等差数列，则，所以数列也是等差数列，故D正确. 故选：AB. 10．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 【答案】ABC 【分析】A选项，根据规律得到；B选项，分母为的最后一项大于分母为的第一项，故，，B正确；C选项，计算出，从而得到为等差数列，求和得到C正确；D选项，在C基础上，得到的前项和为，前21项和为，确定，，D错误. 【详解】A选项，由的规律可知，分母为，且的有项， 所以分母为2,3,4,5,6,7的共项，故，，A正确； B选项，根据的特征可知，分母为，且时，递增， 只有分母为的最后一项大于分母为的第一项， ，故，，B正确； C选项，， ， 故， 所以为首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，C正确； D选项，由C可知，，又， 即的前15项和为， ，又， 即的前21项和为， 其中，故的前项和为， ，，所以，则，故D错误. 故选：ABC 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 【答案】BCD 【分析】对于A，由数列的周期性可得；根据数列递推关系推导即可判断B；根据推导可得前10项为等比数列，，利用等比数列求和即可判断C；对于D，根据数列进行逆向推导即可取等的情况. 【详解】时，， 所以此时数列的周期为3，又，所以，故A错误； 时， ，所以使得经过了13步“雹程”故B正确； ，则，所以， 则，故C正确； 对于D， 所以的取值有6个，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记数列的前项和为，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据数列的周期为8，计算得解. 【详解】时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，， 所以数列是周期为8的周期数列， 且， 所以，. 故答案为：. 13．已知数列满足，，则取最小值时 ． 【答案】4 【分析】利用累加法求出的通项公式，得出的表达式，利用基本不等式即可求出取最小值时的值. 【详解】由题意，， 在数列中，， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当即时等号成立， ∴取最小值时， 故答案为：. 14．在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可． 【详解】由，且，则，同理解得，， 由题意可得下表： 数列的最小正周期，由， 则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 16．（15分） 设为等差数列的前项和，其中，且. (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由递推关系求出，再由等差数列性质求出，即可得出通项公式； （2）由错位相减法求和，再代入不等式转化为恒成立，利用单调性分析求解. 【详解】（1）由及，得. 因为数列是等差数列，所以，解得， 所以，所以公差， 所以. （2）由（1）知， 所以①， 所以②， ①—②，得， 所以， 由，得，设， 则. 因为，所以，即数列为递减数列. 又， 所以当时，恒有，故. 17．（15分） 已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （2）由数列的裂项相消求和，可得，再由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围. 【详解】（1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 18．（17分） 在数列中，，且 (1)证明：为定值. (2)求数列的前n项和. (3)若，，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由题设及等差数列的定义可得，即可证； （2）由（1）得，应用裂项相消法求和； （3）根据已知得，结合等比数列的定义写出通项公式. 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，故为定值1； （2）由（1）知，所以， 故； （3）由（2）知， 因为，所以 所以， 而，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. 19．（17分） 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若数列的满足，，则数列的前15项和为（ ） A．105 B．119 C．135 D．152 2．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（   ） A． B．2 C．或2 D．3 3．已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 4．等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 5．已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 6．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4051 C． D． 8．已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 10．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记数列的前项和为，且，则 . 13．已知数列满足，，则取最小值时 ． 14．在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 16．（15分） 设为等差数列的前项和，其中，且. (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 17．（15分） 已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 18．（17分） 在数列中，，且 (1)证明：为定值. (2)求数列的前n项和. (3)若，，求数列的通项公式. 19．（17分） 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若数列的满足，，则数列的前15项和为（ ） A．105 B．119 C．135 D．152 2．已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（   ） A． B．2 C．或2 D．3 3．已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A．7 B． C． D． 4．等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 5．已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 6．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4051 C． D． 8．已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列的前项和为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 10．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记数列的前项和为，且，则 . 13．已知数列满足，，则取最小值时 ． 14．在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 16．（15分） 设为等差数列的前项和，其中，且. (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 17．（15分） 已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 18．（17分） 在数列中，，且 (1)证明：为定值. (2)求数列的前n项和. (3)若，，求数列的通项公式. 19．（17分） 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第4章 数列·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D A A C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．4 14．3375 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 2分 因为，，成等比数列，所以，即， 4分 联立，解得或（舍去）， 5分 所以. 6分 （2）由（1）得， 所以， 所以， 8分 两式相减得，， 10分 所以， 12分 所以. 13分 16．（15分） 【详解】（1）由及，得. 因为数列是等差数列，所以，解得， 2分 所以，所以公差， 4分 所以. 6分 （2）由（1）知， 所以①， 所以②， 8分 ①—②，得， 9分 所以， 11分 由，得，设， 则. 13分 因为，所以，即数列为递减数列. 又， 所以当时，恒有，故. 15分 17．（15分） 【详解】（1）当时，，，解得， 2分 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 4分 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 6分 所以，数列的通项公式为. 7分 （2）， 则 9分 两式相减可得： , 整理可得, 11分 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 13分 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 15分 18．（17分） 【详解】（1）因为，， 2分 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 4分 所以，故为定值1； 7分 （2）由（1）知，所以， 8分 故； 10分 （3）由（2）知， 12分 因为，所以 所以， 14分 而，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 16分 所以，即. 17分 19．（17分） 【详解】（1）证明：因为， 所以． 3分 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． 6分 （2）①由（1）可得，则， ， ， 8分 两式相减得：， 即， 10分 所以，则． 12分 ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 13分 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 15分 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 16分 综上，实数的取值范围为． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $