专题05 二元一次方程组 5大高频考点（期末真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

专题05 二元一次方程组 5大高频考点概览 考点01 二元一次方程及有关概念 考点02 二元一次方程组的解法 考点03 二元一次方程组的实际应用 考点04 二元一次方程与一次函数 考点05 三元一次方程组 地 城 考点01 二元一次方程及有关概念 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②未知数的次数都是1；③整式方程 【分析】解：A. ：含有两个未知数、，次数均为1，且为整式方程，符合条件； B. ：不是方程（无等号），排除； C. ：分母含未知数，属于分式方程，不符合整式要求； D. ：的次数为2，次数不符合； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列四组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各选项代入方程，验证是否满足等式． 【详解】选项A：，，代入得，不满足． 选项B：，，代入得，不满足． 选项C：，，代入得，满足方程． 选项D：，，代入得，不满足． 综上，只有选项C满足方程， 故选C． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）若是方程的一组解，则a的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，将方程的解代入原方程，解关于a的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得：， 解得， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山西忻州·期末）已知是二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将方程的解代入二元一次方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得： 解得： 因此，的值为， 故选A． 5．（24-25八年级上·山西大同·期末）若是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·山西大同·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握“方程组中共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，两个方程都是整式方程，具备这几个条件的方程组是二元一次方程组”是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个未知数；②每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：A、含三个未知数，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． B、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． C一个方程为二次方程，非一次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． D、两个方程均为一次整式方程，且仅含两个未知数．第二个方程可视为，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故此选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了表取和钻取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设表取样品克，钻取样品克，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据题意建立二元一次方程组． 设表取样品为克，钻取样品为克，根据总质量1935克和“表取是钻取的4倍还多310克”的条件列方程即可． 【详解】解：设表取样品克，钻取样品克， ∵表取和钻取的总质量为1935克， ∴； ∵表取是钻取的4倍还多310克，即表取量等于钻取量的4倍加上310克， ∴，即， ∴ 故选：C． 8．（24-25八年级上·山西大同·期末）为丰富同学们的校园生活，某校教务处计划制作一面文化墙，具体工作是在墙上绘制风景和人物（绘制风景和绘制人物的面积相同）．已知每名同学只负责绘制风景或绘制人物，完成文化墙的制作一共需要7名同学．若设绘制风景的同学名，绘制人物的同学名，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据共7名同学可得，根据绘制风景和绘制人物的面积相同，可得，由此可解． 【详解】解：共有7名同学， ， 绘制风景和绘制人物的面积相同， ， 可列方程组为， 故选A． 二、填空题 9．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）七年级（1）班实行个人积分制，30积分兑换一个本子，20积分兑换一支笔；某同学计划将150积分一次性兑换两种物品，有 种兑换方案． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题，根据实际问题列出二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可得到答案．读懂题意，列出二元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设兑换个本子，支笔， 由题意得， 整理得， 二元一次方程的非负整数解是，，， 要求兑换两种物品，故（舍去）， 将150积分一次性兑换两种物品，有两种方案： ①兑换1个本子，6支笔； ②兑换3个本子，3支笔； 故答案为：2． 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）南北朝时期，《荆楚岁时记》记载：“夏至节日食粽．”粽子成为夏至节令食物，唐宋时期，夏至吃粽子的习俗纳入到端午．端午节来临之际，小北同学和他的妈妈一起去超市购买粽子，已知3个甲种粽子和5个乙种粽子共19元，2个甲种粽子和3个乙种粽子共12元．若设每个甲种粽子x元，每个乙种粽子y元，则根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个甲种粽子x元，每个乙种粽子y元，根据3个甲种粽子和5个乙种粽子共19元可得方程，根据2个甲种粽子和3个乙种粽子共12元可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设每个甲种粽子x元，每个乙种粽子y元， 由题意得，， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山西太原·期末）若是方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解、一元一次方程．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入得：， 解得， 故答案为：． 地 城 考点02 二元一次方程组的解法 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】此题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程①：， ∴，故A错误，B正确； 方程②：， ，故C，D错误． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知a，b满足二元一次方程组，则的值为（   ） A．－6 B．6 C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是解本题的关键． 将两个方程相加，再变形计算即可． 【详解】解： 得：， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知x，y满足方程组，则（    ） A．6 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程相加，可直接求出的值． 【详解】解： 将方程①和②相加，得：， 化简得， 两边同时除以3，得：， ∴的值为2， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义． 先解方程组求出和的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论可能的边长组合，验证是否满足三角形三边关系，最后计算周长即可． 【详解】解：解方程组得：， 因此，等腰三角形的两边长为2和1． 若腰长为2，底边为1，则三边为2、2、1． 验证三角形三边关系：，，均成立．此时周长为． 若腰长为1，底边为2，则三边为1、1、2． 验证三角形三边关系：，不满足两边之和大于第三边，故不成立． 综上所述，周长为5， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 6．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据整体的思想灵活运用加减法对方程进行恰当变形是解决此问题的关键．观察方程组可知两个方程相加可得，然后把已知条件整体代入即可求得k的值． 【详解】解：， 得：， ，代入上式得： ， ． 故答案为：5． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，把原方程移项即可得到． 【详解】解：∵， 移项，得． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山西大同·期末）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设方程组的，则根据题意可得，进而得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设方程组的，则原方程组可变为， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知，满足方程组，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程相加，再变形计算即可． 【详解】解：， ，得：， ∴； 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·山西运城·期末）已知关于的方程组，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山西临汾·期末）解下列方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）利用代入消元法将整体代入第一个方程，即可消去y，再根据代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 此方程组的解为． 12．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，根据下列条件，求的值． (1)方程组的解为． (2)方程组的解和互为相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组． （1）先将代入②求出，再将代入①即可求解； （2）先解方程组，求出，然后代入①求解即可． 【详解】（1）解：将代入②， 得，解得． 将代入①， 得，解得． （2）解：由题意，得， 解得， 将代入①， 得，解得． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）（1）求x的值：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了平方根定义，解二元一次方程组． （）利用平方根定义即可解方程； （）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（）， ∴， ∴， ∴； （）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为． 14．（24-25八年级上·山西忻州·期末）请你根据白老师所给的内容，解答相关问题． 定义一个关于非零常数的新运算，规定：．例如：．已知，，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了新运算的定义以及二元一次方程的求解，需正确理解新运算的定义并将题目所给的条件转化正确，且使用二元一次方程中的消元法是解决本题的关键． 根据新运算的运算法则“，可将和，表示成关于x和y的方程，再由二元一次方程的解法求解即可． 【详解】解：根据新运算法则可知， 和可转化为：， ①式可得，代入②式中有， 则有，解得， 则有， 所以，． 15．（24-25八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】（1）①代入 ②三；去括号时没有变号  （2）   （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是关键． （1）①根据把③代入②可知运用了代入消元法； ②根据去括号法则可知小林在第三步出现错误； （2）更正错误的步骤并继续完成小林的解题步骤即可得出答案； （3）本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据去括号法则可给出建议． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法， 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为． 故答案为：三，去括号时没有变号； （2）解：，由①，得．   把③代入②，得．   整理得．   解得，即．   把代入③，得． 则方程组的解为 故答案为： （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）． 16．（24-25八年级上·山西大同·期末）阅读与理解 下面是小明同学学习完二元一次方程组后，发现系数间存在一定规律时，可用下列方法解答，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①+②，得．……第一步 ③．……第二步 ，得．④……第三步 ，得．……第四步 解得．……第五步 把代入③，得．……第六步 所以这个方程组的解为……第七步 任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是_____； （2）第_____步出现错误，错误的原因是_____； （3）方程组的正确解是_____． 任务二： 仿照小明的方法，解方程组 【答案】任务一：（1）等式的性质；（2）两边不是除以未知数的系数4；（3）；任务二： 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 任务一：根据小明同学的解题步骤逐步分析即可； 任务二：仿照小明同学的解题步骤求解即可． 【详解】解：任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是等式的性质； （2）第五步出现错误，错误的原因是两边不是除以未知数的系数4； （3）解：①+②，得． ③． ，得．④ ，得． 解得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为 方程组的正确解是 任务二： ①+②，得． ③． ，得．④ ，得． 解得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为 方程组的正确解是 17．（24-25八年级上·山西长治·期末）解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组， （1）根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为”的步骤求解即可； （2）由①②求得的值，再把的值代入②求得的值即可； 解题的关键是掌握：（1）解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为）；（2）解二元一次方程的方法（代入消元法和加减消元法）． 【详解】（1）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （2）解： ①②，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 18．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 19．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下面是贝贝同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①，得③     第一步 ②③，得           第二步 两边都除以，得         第三步 将代入①，得，解得       第四步 所以，原方程组的解为       第五步 任务一： （1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是___________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 （2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是___________； A．数形结合    B．分类讨论    C．类比思想    D．转化思想 任务二： 贝贝同学的解题过程从第___________步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解___________． 【答案】任务一：（1）B；（2）D；任务二：三， 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 任务一：（1）根据解二元一次方程组的基本方法求解； （2）将“二元”转化为“一元”是转化思想； 任务二：利用加减消元法解方程即可． 【详解】解：任务一：（1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法， 故选：B； （2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想， 故选：D； 任务二：贝贝同学的解题过程从第三步开始出现错误， 解方程组： 解：①，得③， ②③，得， 两边都除以，得， 将代入①，得， 解得， 所以，原方程组的解为． 故答案为：三，． 20．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【详解】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 21．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知a，b，c是的三边． (1)化简； (2)若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)11或13 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 【详解】（1）∵a，b，c是的三边， ∴， ∴； （2）解方程组，得， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为偶数， ∴或6， ∴这个三角形的周长为或． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 地 城 考点03 二元一次方程组的实际应用 一、 单选题 1．（24-25八年级上山西吕梁·期末）《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A．     B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒买了x斗，行酒买了y斗， 依题意得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西大同·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何? ”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 根据题意，需建立两个方程：一是总酒量为2斗，二是总花费为30钱．醇酒和行酒的单价分别为50钱/斗和10钱/斗，由此可列出方程组． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗． 总酒量：两种酒共2斗，即． 总花费：醇酒花费钱，行酒花费钱，总花费为30钱，即． 综上，方程组为,对应选项D． 故答案为：D． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？若设木头长x尺，绳子长y尺，可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题关键． 根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意，得 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了一个问题，大意为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，问甜、苦果分别花了几文钱．若设买甜果用x文钱，买苦果用y文钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价=单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】由甜果、苦果共九百九十九文钱，得； 由甜果九个十一文钱、苦果七个四文钱，得甜果1个文钱，苦果1个文钱； 由甜果、苦果共买一千个，得，即， ∴． 故选D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣．已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元．若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费 万元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设型机器人每台价格是万元，型机器人每台价格是万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求解，即可求解4台A型机器人和6台B型机器人的花费． 【详解】解：设型机器人每台价格是万元，型机器人每台价格是万元， 根据题意得 解得：， ∴购买4台A型机器人和6台B型机器人花费：（万元）， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山西吕梁期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 7．（24-25八年级上·山西大同·期末）某传媒公司为学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，宣传册的数量是展板数量的5倍．该公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示： 产品 展板 宣传示 横福 时间／小时 1 0.2 0.5 利润／元 60 3.5 20 若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，则制作这三种产品的总件数是 件． 【答案】70 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设学校制作展板件，宣传册件，横幅件，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校制作展板件，宣传册件，横幅件 则： 解得： 所以这三种产品的总件数为件． 故答案为：70 8．（24-25八年级上·山西长治·期末）砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为厘米，宽为厘米，如图根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低高．”列方程组求解即可． 【详解】解：设墙砖的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得， 解得， 墙砖的面积为：（）. 故答案为： ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下： 车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆） 新能源大巴 60 1000 18 中型客车 30 600 15 设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆． (1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案． (2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方案． 【答案】(1)共有种租车方案，方案1：租用辆新能源大巴，方案2：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案3：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案4：租用辆新能源大巴，辆中型客车，方案5：租用辆新能源大巴，辆中型客车． (2)租用辆新能源大巴，辆中型客车． 【分析】此题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）根据租用车辆恰好载客240人列出二元一次方程，求出方程的非负整数解即可； （2）设租用辆新能源大巴，辆中型客车，组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，据此列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴， ∵x，y为非负整数， ∴或或或或， ∴共有种租车方案， 方案1：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案2：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案3：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案4：租用辆新能源大巴，辆中型客车； 方案5：租用辆新能源大巴，辆中型客车． （2）由已知租用辆新能源大巴，辆中型客车， 根据题意得到， ， 答：租用辆新能源大巴，辆中型客车． 10．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是中国邮政发行的《数学之美》的邮票，其中一张圆周率邮票面值为80分，莫比乌斯带邮票面值为元．小宇购买这两种邮票共7张，恰好花了7元，求小宇购买这两种邮票各多少张． 【答案】小宇购买圆周率邮票5张，莫比乌斯带邮票2张 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找到等量关系是解题的关键． 设小宇购买圆周率邮票x张，莫比乌斯带邮票y张，根据题意，列出二元一次方程组，求出x与y，即可解答． 【详解】解：设小宇购买圆周率邮票x张，莫比乌斯带邮票y张，依题意，得 ， 解得． 答：小宇购买圆周率邮票5张，莫比乌斯带邮票2张． 11．（24-25八年级上·山西大同·期末）为了更好地提升国民身体素质，国家卫健委联合16个部门启动“体重管理年”活动．资料显示食用轻食减脂餐在一定程度上能减轻肥胖．某社区食堂代理销售两种轻食减脂餐，其中A型轻食减脂餐的售价为15元/份，B型轻食减脂餐的售价为20元/份．某天该社区食堂共销售200份轻食减脂餐，收入3600元，求销售型和型轻食减脂餐的份数． 【答案】A型轻食减脂餐的销售量为80份，B型轻食减脂餐的销售量为120份 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设型轻食减脂餐的销售量为份，型轻食减脂餐的销售量为份，根据该社区食堂共销售200份轻食减脂餐，收入3600元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设型轻食减脂餐的销售量为份，型轻食减脂餐的销售量为份． 由题意，得 解得 答：A型轻食减脂餐的销售量为80份，B型轻食减脂餐的销售量为120份． 12．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场是全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．陈希家购买了鲜花饼、火腿月饼，已知火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，他们购买了5盒鲜花饼和3盒火腿月饼共付款209元． (1)求每盒鲜花饼、火腿月饼的售价各是多少元； (2)小丽的妈妈用265元（无找回）也去购买鲜花饼和火腿月饼，请你帮助小丽家设计购买方案． 【答案】(1)每盒鲜花饼的售价为25元，每盒火腿月饼的售价为28元 (2)购买鲜花饼5盒，购买火腿月饼5盒 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题及二元一次方程的整数解， （1）根据题意找出相等关系，列出方程组计算即可； （2）根据题意找出相等关系，列出方程，找出方程的整数解即可解答． 【详解】（1）解：设每盒鲜花饼的售价为x元，每盒火腿月饼的售价为y元，根据题意，得 解得， 答：每盒鲜花饼的售价为25元，每盒火腿月饼的售价为28元． （2）解：设购买鲜花饼盒，购买火腿月饼盒， ∴， ∵，为盒数， ∴，为正整数， ∴， 答：购买鲜花饼5盒，购买火腿月饼5盒. 13．（24-25八年级上·山西大同·期末）新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．现有甲、乙两家种棉大户，根据实际面积分别租用大、小两种型号的采棉机，甲户租了3台大型采棉机和2台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘；乙户租了2台大型采棉机和5台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘．请计算大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积． 【答案】大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和，根据所给等量关系列方程组，解方程即可． 【详解】解：设大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和． 由题意得：， 解得， 答：大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积分别为和． 14．（24-25八年级上·山西大同·期末）悬空寺是我国现存较早、保存较为完好的高空木构摩崖建筑，为恒山十八景中的第一胜景．某文创店计划用6340元购进两种款式的悬空寺冰箱贴，一种是木制雕刻类型，每个的进价为25元，标价为40元；另一种是流沙类型，每个的进价为32元，标价为50元．按照标价全部售出可获得总利润3660元．请分别求出文创店购进木制雕刻类和流沙类冰箱贴的个数． 【答案】文创店购进木制雕刻类冰箱贴100个，购进流沙类冰箱贴120个 【分析】设文创店购进木制雕刻类冰箱贴x个，购进流沙类冰箱贴y个，用6340元购进两种款式的悬空寺冰箱贴，一种是木制雕刻类型，每个的进价为25元，标价为40元；另一种是流沙类型，每个的进价为32元，标价为50元．按照标价全部售出可获得总利润3660元．，建立方程组即可． 本题考查二元一次方程组的应用，总价与单价和数量的关系，总利润与每个利润和数量的关系，是解题的关键． 【详解】解：设文创店购进木制雕刻类冰箱贴x个，购进流沙类冰箱贴y个， 根据题意，得， 解得， 答：文创店购进木制雕刻类冰箱贴100个，购进流沙类冰箱贴120个． 15．（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践 青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设计一个健康饮食餐盒． 材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表． 食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果 占比 材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜． 方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知，，．设，． 问题解决：请根据题意完成下列解答， (1)填空：_________，_________． (2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含，的式子表示）． “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 ________ ______ 的面积 （   ） _____ ．．．．．． (3)请求出，的值． 【答案】(1)10， (2)见解析 (3)15，6.25． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出二元一次方程组是解题的关键： （1）根据表格中的比例关系，得到长方形中线段的比例关系进行求解即可； （2）根据线段的和差关系和图形的面积的计算方法，列出代数式即可； （3）列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可表格可知，，， ∴， 故答案为：10，； （2）由（1）知：， ∴， 由表格可知：的面积（长方形的面积餐具格的面积汤格的面积） ； 填表如下： “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 的面积 ．．．．．． （3）列方程组 解得 答：，的值分别为15，6.25． 16．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 【答案】(1)第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元 (2)购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；找到等量关系与不等关系列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意列出方程组，解方程组，然后作答即可． （2）设第三次采购个篮球，则采购了个足球，依题意得，，解不等式，进而实际问题，篮球与足球数量均为正整数，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意得，， 解得，， ∴第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元． （2）解：设第三次采购个篮球，则采购了个足球， 依题意得：， 解得：； ∵为正整数，为正整数， ∴或15； ∴购买方案为：购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球． 17．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．已知A，B两种型号播种机的单价分别为1600元，1480元，求：购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 【答案】购进A种型号的播种机10台，B种型号的播种机20台． 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设购进A种型号的播种机x台，B种型号的播种机y台．根据“决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设购进A种型号的播种机x台，B种型号的播种机y台．根据题意，得 解得 ， 答：购进A种型号的播种机10台，B种型号的播种机20台． 18．（24-25八年级上·山西运城·期末）2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 【答案】(1)八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人 (2)两班联合起来购票能省447元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键． （1）设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人，根据八年级（1）（2）两个班共101人；一共应付1659元，列二元一次方程组即可解答； （2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人， 根据题意得， 解这个方程得， 答：八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人； （2）解：（元） 答：两班联合起来购票能省447元钱． 19．（（24-25八年级上·山西运城·期末）某校为了丰富学生的课余生活，决定购买一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍．某商店的乒乓球拍和羽毛球拍的销售方案如下表所示： 不足30副 30副及以上 乒乓球拍 按标价出售 每副优惠5元 羽毛球拍 按标价出售 按标价的8折出售 已知购买10副乒乓球拍和10副羽毛球拍需要1000元，购买15副乒乓球拍和5副羽毛球拍需要900元．若张老师购买40副乒乓球拍，50副羽毛球拍，则需花费多少元？ 【答案】40副乒乓球拍，50副羽毛球拍共需花费3800元 【分析】先列二元一次方程组求出乒乓球拍和羽毛球拍的标价，再按照销售方案计算即可． 【详解】解：设每副乒乓球拍标价x元，每副羽毛球拍标价y元， ， 解得， （元）． 答：40副乒乓球拍，50副羽毛球拍共需花费3800元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组，求出乒乓球拍和羽毛球拍的标价． 20．（24-25八年级上·山西太原·期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价（24-25八年级上·山西运城·期末格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱． (1)问苹果、橙子各购买了多少箱？ (2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？ 【答案】(1)苹果、橙子各购买50箱、30箱． (2)在乙店获利450元． 【分析】（1）设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱，根据“苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱”，列出方程组求解即可； （2）由题意可得销售商在甲店获利，整理后得到2a＋3b＝100，再表示出在乙店的获利，整理后把2a＋3b＝100整体代入即可得到答案． 【详解】（1）解：设苹果购买了x箱，橙子购买了y箱， 根据题意得，， 解得，， 答：苹果、橙子各购买了50箱、30箱． （2）解：由题意可得销售商在甲店获利为：12a＋18b＝600（元）， 整理得，2a＋3b＝100， 销售商在乙店获利为：10（50－a）＋15（30－b） ＝950－10a－15b ＝950－5（2a＋3b） ＝950－5×100 ＝450（元）， 即在乙店获利450元． 答：在乙店获利450元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键． 地 城 考点04 二元一次方程与一次函数 一、 单选题 1．（20-21八年级上·山西运城·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用两个一次函数的交点坐标解二元一次方程组，解题的关键在于能够准确求出P点的坐标． 首先利用一次函数的解析式求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选C． 2．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．由一次函数和的图象交于点P的坐标是，可得二元一次方程组的解，从而可得答案． 【详解】解：由条件可得得，即， 所以，一次函数与的图象交于， 所以二元一次方程组的解是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数解析式，根据表格中的数据，确定是一次函数关系，运用待定系数法求出一次函数的关系式，代入验证即可得出正确选项． 【详解】解：当x由33增加到36时，h由62增加到67（增加）；同理，x由36增加到39时，h由67增加到72，仍增加，可知h与x成一次函数， 设h与x之间函数关系式为， 把代入得，， 解得：， 所以，h关于x的函数表达式为， 当时，，满足条件， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）在物理学中，导线的电阻随温度的变化而变化，有一段导线时，电阻为，温度每增加，电阻会增加，则电阻R与温度t的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的关系式，利用待定系数法是确定函数关系式的主要方法．利用待定系数法解得即可． 【详解】解：设电阻R与温度t的关系为， 把，和，代入得：． 解得：． ∴电阻R与温度t的关系为：． 故选：A． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知一次函数与的图象的交点为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的解的关系，一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，已知交点横坐标为1，代入任一函数即可求得纵坐标，从而确定方程组的解即可． 【详解】解：交点在函数上， 代入得： 因此，交点坐标为 方程组由函数和变形而来，其解即为两函数的交点坐标， 故方程组的解为， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知y是x的函数，该函数具有如下特征：①它的图象是一条不经过原点的直线；②它的图象经过第二、四象限．写出一个满足以上两个特征的函数解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查函数的表示法，根据所要求的函数特征，写出符合要求的函数解析式即可． 【详解】解：由题知， 因为函数的图象是一条不经过原点的直线，且经过第二、四象限， 所以该函数的解析式可以是： 故答案为：（答案不唯一） 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，函数和的图象如图所示，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：的解为：； 故答案为： 8．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．熟记平行直线的解析式的值相等并设出一次函数解析式是解题的关键． 根据互相平行的两直线解析式的值相等设出一次函数的解析式，再把点代入解析式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像与直线平行， 设一次函数的表达式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山西忻州·期末）某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔两小时记录一次电池电量百分比，得到下表数据． 充电时间/小时 0 2 4 6 8 电池电量百分比 6 22 38 54 70 已知电池电量百分比（单位：）与充电时间（单位：小时）满足一次函数关系．当电池电量达到时，充电时间是 小时． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数解析式，求出函数自变量或函数值是解决本题的关键．先求出一次函数，然后令时，解得的值即可得答案． 【详解】解：设电池电量百分比与充电时间表达式为：， 将点代入解析式中得： ， 解得：， ∴函数的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴当电池电量达到时，充电时间是10小时． 故答案为：10． 三、解答题 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）综合与实践我们已经知道，描述函数的方法通常有三种：“列表法”、“图象法”、“表达式法”，这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中常常会结合使用，以便更好地理解和研究函数的性质解决实际问题、现在就用我们所学过的函数知识来解决下面问题： 问题情境：如图1，红雨学习小组在测浮力的实验中，将一圆柱体金属块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动逐渐浸入到水里，研究发现从金属块刚接触水面到恰好完全浸入水中时，弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数与金属块浸入水中的深度得到如下表： cm 0 1 2 3 4 5 6 … N 6 5.5 4.75 4.5 4 4 4 … (1)在处理数据时，组员小明同学发现在上表的数据中有一组数据记录错误．请在图2中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一组数据是错误的，并求出正确的值； (2)由物理学知识可知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，；当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，画一次函数的图象，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，先描点，再依次连接，即可画出函数图象，再运用待定系数法进行求出，即可作答． （2）先求出，再结合某一时刻该金属块所受的浮力为，求出求此时金属块的，代入解析式求出浸入水中的深度，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： 观察判断这数据是错误的， ∵弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数． ∴设， 把分别代入， 得， ∴， ∴， 把代入， 得， （2）解：当金属块的下表面刚好与水面接触时，； ∴当时，， 当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为， 即， 由（1）得， 把代入，得， 解得． ∴若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度为． 11．（24-25八年级上·山西朔州·期末）项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 【答案】(1)一次， (2)，25 (3)长方形空地的长约为，宽约为 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据表中数据呈现的规律判断出为一次函数，设，把和代入解出即可； （2）设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，把，代入解出人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，再把，代入求解即可； （3）将代入，求解出长方形空地的长，再将代入即可求解出长方形空地的宽． 【详解】（1）解：根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的一次函数， 设， 把和代入得， 解得， 指间距离d与身高y的函数解析式为， 故答案为：一次，； （2）解：设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 故答案为：，25； （3）解：将代入，得， 解得， 所以长方形空地的长为， 将代入，得， 所以长方形空地的宽为， 答：长方形空地的长约为，宽约为． 12．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）项目化学习·数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调整调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）（图1）    素材2 对该单肩包的背带长度进行测量，记双层部分的长度为，单层部分的长度为与满足一次函数关系，其部分数据如下表： 双层部分的长度 2 6 10 14 单层部分的长度 116 108 100 92 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立，此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图2），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．    任务1 直接写出与的函数表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包的背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式，求出函数解析式是本题的关键． 任务1：利用待定系数法求出函数关系式； 任务2：先求出单肩包背带总长度为，根据“单肩包的最佳背带总长度与身高比例为”列式求出这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式； 任务3：求出小明爸爸身高，再求出的值即可． 【详解】解：任务1：设这条直线的解析式为（k、b为常数，且）， 将和代入, 得， 解得， ∴该函数的表达式是的取值范围是， 任务2：单肩包背带总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时， 任务3：小明爸爸身高为，根据题意得， 解得，即小明爸爸身高为 ． 即小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，双层部分的长度为． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）规定：若一次函数满足，则称该函数为“简约函数”．例如，在一次函数中，所以，一次函数是“简约函数”． (1)判断：一次函数是否是“简约函数”，并说明理由． (2)如图为两个简约函数的图象：直线与直线，这两条直线交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线与坐标轴围成的三角形面积，求两直线交点坐标，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用“简约函数”定义判断即可； （2）先利用“简约函数”定义求出待定系数的值，然后分别求出两直线交点坐标及两直线与轴交点坐标，求出面积即可． 【详解】（1）解：一次函数不是“简约函数”， 理由是：， 一次函数的图象不是“简约函数”. （2）如图过点作轴于点， 两个函数均为“简约函数”， ，， ，， 直线与直线的解析式分别是，， 解， 得， 点的坐标是，， 在一次函数中， 当时，，， 点的坐标是， 在一次函数中， 当时，，， 点的坐标是， ， 中的面积为． 14．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）某工厂专业生产各种中小学生运动会的道具．在一次完成生产590件某种运动会道具的任务中，甲小组独立生产后，为了加快进度，该工厂决定让甲，乙两个小组同时进行生产，生产的运动会道具总数（件）与甲小组生产时间之间的函数图象如图所示． (1)分别求出当与时，与之间的函数解析式； (2)从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，求生产的运动会道具总量． 【答案】(1)， (2)350件 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代人即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，与之间满足正比例函数关系， 设， 将代入， 得：， 解得， 与之间的函数解析式为 当时，设函数解析式为， 将点代入， 得 解得 与之间的函数解析式为； 综上：与之间的函数解析式为：，； （2）解：当甲，乙两个小组合作2小时，． 将代人，解得． 从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，生产的运动会道具总量为350件． 15．（24-25八年级上·山西长治·期末）项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤： ①选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． ②每工作1记录1次油箱内的油量． ③分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： (1)通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的________函数．（填“一次”或“反比例”） (2)求出该挖掘机油箱内剩余油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． (3)若该挖掘机油箱内剩余12油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 【答案】(1)一次 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及一次函数定义、待定系数法确定一次函数表达式、已知函数值求自变量等知识，读懂题意，准确求出函数表达式是解决问题的关键． （1）通过数据分析，当工作时间每增加1个小时，油箱内油量减少12升，从而在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的一次函数； （2）设该挖掘机油箱内油量与工作时间的函数解析式为，由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案； （3）结合（2）中所得表达式，由题意得到，代入表达式解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 当工作时间每增加1个小时，油箱内油量减少12升，从而在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的一次函数， 故答案为：一次； （2）解：设该挖掘机油箱内油量与工作时间的函数解析式为， 把、分别代入得： ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， 解得， ∴自变量的取值范围为； 即； （3）解：在中， 当时，得， 解得， 答：该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间为． 16．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，直线：()经过点和． (1)求直线的解析式； (2)若将直线l向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查一次函数，牢记采用待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图象平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）先求出中点坐标，平移后的直线的解析式，将中点坐标代入移后的直线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：把点和分别代入中，得， ∴， ∴与函数解析式为； （2）解：∵， ∴的中点坐标为， ∵直线l向上平移n个单位， ∴平移后的直线的解析式为， 把代入中，则， 解得：， ∴的值为6． 17．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，根据图象，解决下列问题： (1)根据图象直接写出方程组的解． (2)设直线与轴交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、一次函数与二元一次方程组、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据函数图象可得点为两函数图象的交点，根据两一次函数图像的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解即可解答； （2）先根据待定系数法得出直线的解析式，，即；再求得点D，点C的坐标，的值，最后再运用割补法求解即可． 【详解】（1）解：点为两函数图象的交点， 方程组的解为 （2）解：把，代入中， 解得：， ． 如图，设直线与轴的交点为． 令，则， 点的坐标为． 令，则， 点的坐标为， ∴， 18．（24-25八年级上·山西大同·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．符合人体工学的课桌高度y（单位：cm）是椅子高度x（单位：cm）的一次函数，下表是符合人体工学的课桌高度y与椅子高度x的部分数据． x/cm … 33 36 39 … y/cm … 62 67 72 … (1)求y关于x的一次函数解析式． (2)当课桌高度为82cm时，求椅子的高度． 【答案】(1) (2)45 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，根据表格数据，待定系数法求出y与x之间的函数关系式即可； （1）待定系数法求函数解析式； （2）把代入反比例函数解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的一次函数解析式为． 把，和，分别代入中， 得．解得． 关于x的一次函数解析式为． （2）解：把代入中，得．解得． 答：椅子的高度为45． 19．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践：快递配送中的一次函数应用 某快递公司的配送员小李驾驶电动车进行快递配送，充满电后电动车的剩余电量与行驶距离之间存在一次函数关系．公司后台记录了小李在电动车充满电后某次配送时的数据如下： 行驶距离 5 10 15 20 剩余电量 90 80 70 60 (1)当电动车剩余电量为时，小李已经行驶了______． (2)求出剩余电量关于行驶距离（单位：）的函数解析式． (3)该快递公司规定，当剩余电量低于时必须充电．若小李在电动车充满电之后，需要进行配送的路线总长为，他能否完成此次全程配送而不需要中途充电？请说明理由． 【答案】(1)35 (2) (3)小李可以完成此次全程配送而不需要中途充电，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出y与x之间的函数表达式是解决问题的关键． （1）根据表格得到行驶距离每增加，剩余电量减少，然后列式求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出当时y的值，然后比较求解即可． 【详解】（1）由表格可得，行驶距离每增加，剩余电量减少 ∴ ∴当电动车剩余电量为时，小李已经行驶了； （2）设剩余电量关于行驶距离（单位：）的函数解析式为． 把分别代入，得 解得 剩余电量关于行驶距离（单位：）的函数解析式为； （3）小李可以完成此次全程配送而不需要中途充电． 理由：当时，． ， 小李可以完成此次全程配送而不需要中途充电． 20．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出的解析式即可． （2）先求出点A的坐标，然后再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 解得：， ∴， 把代入， 即， 解得：， 则， 令，则， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则的解析式为： （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴ 地 城 考点05 三元一次方程组 一、 填空题 1．（23-24八年级上山西吕梁·期末）“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需 元． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用；设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，根据购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元；购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值． 【详解】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元， 根据题意得：， ②①得：③， 购铅笔支，练习本本，圆珠笔支，共需元， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 【答案】32 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得：， ∴； ∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元； 故答案为：32． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据方程组特点整体求出的和．设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元，根据题意列出关于x、y、z的方程组，求出的值即可． 【详解】解：设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元， 由题意得：， 得：， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【答案】130 【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，根据图示由三者关系建立等式是解决本题的关键． 设出站立的小猫的高度，趴着的小猫的高度和桌子的高度的未知数，由图建立三者的关系列方程求解即可． 【详解】解：设桌子的高度为，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为， 由第一个图可知，， 由第二个图可知，， 即， 两式相加可得，解得， 所以桌子的高度为． 故答案为：130 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 天． 【答案】16 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料，根据“这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天”，可列出关于a，b的三元一次方程组，解之可用含c的代数式表示出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料， 根据题意得：， 解得：， ∴（天）， ∴这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃16天． 故答案为：16． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二元一次方程组 5大高频考点概览 考点01 二元一次方程及有关概念 考点02 二元一次方程组的解法 考点03 二元一次方程组的实际应用 考点04 二元一次方程与一次函数 考点05 三元一次方程组 地 城 考点01 二元一次方程及有关概念 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列四组数值中，是二元一次方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）若是方程的一组解，则a的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25八年级上·山西忻州·期末）已知是二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 5．（24-25八年级上·山西大同·期末）若是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 6．（24-25八年级上·山西大同·期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）嫦娥六号于2024年6月2日成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务．嫦娥六号采用了表取和钻取两种方式共采集样品1935克，表取是钻取的4倍还多310克．若设表取样品克，钻取样品克，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山西大同·期末）为丰富同学们的校园生活，某校教务处计划制作一面文化墙，具体工作是在墙上绘制风景和人物（绘制风景和绘制人物的面积相同）．已知每名同学只负责绘制风景或绘制人物，完成文化墙的制作一共需要7名同学．若设绘制风景的同学名，绘制人物的同学名，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）七年级（1）班实行个人积分制，30积分兑换一个本子，20积分兑换一支笔；某同学计划将150积分一次性兑换两种物品，有 种兑换方案． 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）南北朝时期，《荆楚岁时记》记载：“夏至节日食粽．”粽子成为夏至节令食物，唐宋时期，夏至吃粽子的习俗纳入到端午．端午节来临之际，小北同学和他的妈妈一起去超市购买粽子，已知3个甲种粽子和5个乙种粽子共19元，2个甲种粽子和3个乙种粽子共12元．若设每个甲种粽子x元，每个乙种粽子y元，则根据题意，可列方程组为 ． 11．（24-25八年级上·山西太原·期末）若是方程的一个解，则的值为 ． 地 城 考点02 二元一次方程组的解法 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）把方程组中的方程①或方程②改写成用含x的式子表示y的形式，下列改写正确的是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 2．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知a，b满足二元一次方程组，则的值为（   ） A．－6 B．6 C．－3 D．3 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知x，y满足方程组，则（    ） A．6 B．2 C． D． 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）等腰三角形两边长是方程组的解，则该等腰三角形周长（　　） A．4 B．5 C．4或5 D．6 二、填空题 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 6．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，则 ． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知方程，用含的代数式表示，则 ． 8．（24-25八年级上·山西大同·期末）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 9．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知，满足方程组，则的值为 ． 10．（24-25八年级上·山西运城·期末）已知关于的方程组，当时， ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山西临汾·期末）解下列方程或方程组： (1) (2) 12．（24-25八年级上·山西临汾·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，根据下列条件，求的值． (1)方程组的解为． (2)方程组的解和互为相反数． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）（1）求x的值：． （2）解方程组：． 14．（24-25八年级上·山西忻州·期末）请你根据白老师所给的内容，解答相关问题． 定义一个关于非零常数的新运算，规定：．例如：．已知，，求，的值． 15．（24-25八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 16．（24-25八年级上·山西大同·期末）阅读与理解 下面是小明同学学习完二元一次方程组后，发现系数间存在一定规律时，可用下列方法解答，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①+②，得．……第一步 ③．……第二步 ，得．④……第三步 ，得．……第四步 解得．……第五步 把代入③，得．……第六步 所以这个方程组的解为……第七步 任务一： （1）解答过程中，第一步的依据是_____； （2）第_____步出现错误，错误的原因是_____； （3）方程组的正确解是_____． 任务二： 仿照小明的方法，解方程组 17．（24-25八年级上·山西长治·期末）解下列方程（组）： (1) (2) 18．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 19．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下面是贝贝同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：①，得③     第一步 ②③，得           第二步 两边都除以，得         第三步 将代入①，得，解得       第四步 所以，原方程组的解为       第五步 任务一： （1）上述材料中贝贝同学解二元一次方程组的数学方法是___________； A．代入消元法    B．加减消元法    C．公式法    D．换元法 （2）上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是___________； A．数形结合    B．分类讨论    C．类比思想    D．转化思想 任务二： 贝贝同学的解题过程从第___________步开始出现错误，直接写出原方程组正确的解___________． 20．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 21．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知a，b，c是的三边． (1)化简； (2)若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 地 城 考点03 二元一次方程组的实际应用 一、 单选题 1．（24-25八年级上山西吕梁·期末）《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A．     B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西大同·期末）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何? ”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少?设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意列出的方程组是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？若设木头长x尺，绳子长y尺，可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了一个问题，大意为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，问甜、苦果分别花了几文钱．若设买甜果用x文钱，买苦果用y文钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣．已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元．若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费 万元． 6．（24-25八年级上·山西吕梁期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ． 7．（24-25八年级上·山西大同·期末）某传媒公司为学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，宣传册的数量是展板数量的5倍．该公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示： 产品 展板 宣传示 横福 时间／小时 1 0.2 0.5 利润／元 60 3.5 20 若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，则制作这三种产品的总件数是 件． 8．（24-25八年级上·山西长治·期末）砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 某市青少年宫计划组织240名学生前往科技馆参观学习，为践行低碳环保理念，租用新能源大巴和中型客车两种车型（可以只租用其中一种车型）出行．两种车型的相关信息如下： 车型 载客量/（人/辆） 租金（元/辆） 碳排放量/（kg/辆） 新能源大巴 60 1000 18 中型客车 30 600 15 设租用新能源大巴x辆，中型客车y辆． (1)组织方要求租用车辆恰好载客240人，请求出所有满足条件的租车方案． (2)实际出发时，临时通知增加了若干位带队老师，结合租车行的现存车型的实际情况，将学生与老师都送往科技馆．若组织方租车总花费为4800元，且组织方租车方案的碳排放总量为99kg，求组织方的租车方案． 10．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图是中国邮政发行的《数学之美》的邮票，其中一张圆周率邮票面值为80分，莫比乌斯带邮票面值为元．小宇购买这两种邮票共7张，恰好花了7元，求小宇购买这两种邮票各多少张． 11．（24-25八年级上·山西大同·期末）为了更好地提升国民身体素质，国家卫健委联合16个部门启动“体重管理年”活动．资料显示食用轻食减脂餐在一定程度上能减轻肥胖．某社区食堂代理销售两种轻食减脂餐，其中A型轻食减脂餐的售价为15元/份，B型轻食减脂餐的售价为20元/份．某天该社区食堂共销售200份轻食减脂餐，收入3600元，求销售型和型轻食减脂餐的份数． 12．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场是全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．陈希家购买了鲜花饼、火腿月饼，已知火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，他们购买了5盒鲜花饼和3盒火腿月饼共付款209元． (1)求每盒鲜花饼、火腿月饼的售价各是多少元； (2)小丽的妈妈用265元（无找回）也去购买鲜花饼和火腿月饼，请你帮助小丽家设计购买方案． 13．（24-25八年级上·山西大同·期末）新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．现有甲、乙两家种棉大户，根据实际面积分别租用大、小两种型号的采棉机，甲户租了3台大型采棉机和2台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘；乙户租了2台大型采棉机和5台小型采棉机，1h就完成了棉田的采摘．请计算大、小两种型号的采棉机采摘的棉田面积． 14．（24-25八年级上·山西大同·期末）悬空寺是我国现存较早、保存较为完好的高空木构摩崖建筑，为恒山十八景中的第一胜景．某文创店计划用6340元购进两种款式的悬空寺冰箱贴，一种是木制雕刻类型，每个的进价为25元，标价为40元；另一种是流沙类型，每个的进价为32元，标价为50元．按照标价全部售出可获得总利润3660元．请分别求出文创店购进木制雕刻类和流沙类冰箱贴的个数． 15．（24-25八年级上·山西大同·期末）综合与实践 青少年正处于生长发育的黄金阶段．某校食堂为保证学生科学饮食，计划结合青少年每日摄入营养比例设计一个健康饮食餐盒． 材料搜集：材料1，青少年每餐摄入食物比例整理如下表． 食物 主食 肉蛋类 蔬菜 水果 占比 材料2，学生每餐最少摄入3种颜色的非淀粉类蔬菜． 方案设计：综合与实践小组设计了如图所示的长方形餐盒，其中主食格、菜格、水果格、肉蛋格参考材料1中数据设计，另外增加了汤格和餐具格，其中，菜格平均分为三块区域．已知，，．设，． 问题解决：请根据题意完成下列解答， (1)填空：_________，_________． (2)列方程就是“拉出一个量，将之算两次”，即对一个“量”讲“两个故事”，并把两个“故事”用“”号连接起来．请将下列各“量”分别用“两个故事”表示（用含，的式子表示）． “量” 第一个“故事” 第二个“故事” 用“”连接 ________ ______ 的面积 （   ） _____ ．．．．．． (3)请求出，的值． 16．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． (1)求第一次购进的足球和篮球的单价． (2)如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 17．（24-25八年级上·山西晋中·期末）中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州——中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路．某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款45600元购进A，B两种型号的播种机共30台．已知A，B两种型号播种机的单价分别为1600元，1480元，求：购进A，B两种型号的播种机各多少台？ 18．（24-25八年级上·山西运城·期末）2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 19．（（24-25八年级上·山西运城·期末）某校为了丰富学生的课余生活，决定购买一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍．某商店的乒乓球拍和羽毛球拍的销售方案如下表所示： 不足30副 30副及以上 乒乓球拍 按标价出售 每副优惠5元 羽毛球拍 按标价出售 按标价的8折出售 已知购买10副乒乓球拍和10副羽毛球拍需要1000元，购买15副乒乓球拍和5副羽毛球拍需要900元．若张老师购买40副乒乓球拍，50副羽毛球拍，则需花费多少元？ 20．（24-25八年级上·山西太原·期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40元，橙子的批发价（24-25八年级上·山西运城·期末格为每箱50元．他花了3500元购进苹果和橙子共80箱． (1)问苹果、橙子各购买了多少箱？ (2)该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出一箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利12元和18元，乙店分别可获利10元和15元．现将购进的80箱水果中的a箱苹果和b箱橙子分配到甲店，其余的分配到乙店．由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果．若此次销售过程中销售商在甲店获利600元，那么在乙店获利多少元？ 地 城 考点04 二元一次方程与一次函数 一、 单选题 1．（20-21八年级上·山西运城·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）在物理学中，导线的电阻随温度的变化而变化，有一段导线时，电阻为，温度每增加，电阻会增加，则电阻R与温度t的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知一次函数与的图象的交点为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知y是x的函数，该函数具有如下特征：①它的图象是一条不经过原点的直线；②它的图象经过第二、四象限．写出一个满足以上两个特征的函数解析式： ． 8．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为 ． 9．（24-25八年级上·山西忻州·期末）某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔两小时记录一次电池电量百分比，得到下表数据． 充电时间/小时 0 2 4 6 8 电池电量百分比 6 22 38 54 70 已知电池电量百分比（单位：）与充电时间（单位：小时）满足一次函数关系．当电池电量达到时，充电时间是 小时． 三、解答题 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）综合与实践我们已经知道，描述函数的方法通常有三种：“列表法”、“图象法”、“表达式法”，这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中常常会结合使用，以便更好地理解和研究函数的性质解决实际问题、现在就用我们所学过的函数知识来解决下面问题： 问题情境：如图1，红雨学习小组在测浮力的实验中，将一圆柱体金属块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动逐渐浸入到水里，研究发现从金属块刚接触水面到恰好完全浸入水中时，弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数与金属块浸入水中的深度得到如下表： cm 0 1 2 3 4 5 6 … N 6 5.5 4.75 4.5 4 4 4 … (1)在处理数据时，组员小明同学发现在上表的数据中有一组数据记录错误．请在图2中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一组数据是错误的，并求出正确的值； (2)由物理学知识可知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，；当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度． 11．（24-25八年级上·山西朔州·期末）项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 12．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）项目化学习·数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调整调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）（图1）    素材2 对该单肩包的背带长度进行测量，记双层部分的长度为，单层部分的长度为与满足一次函数关系，其部分数据如下表： 双层部分的长度 2 6 10 14 单层部分的长度 116 108 100 92 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立，此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图2），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．    任务1 直接写出与的函数表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包的背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）规定：若一次函数满足，则称该函数为“简约函数”．例如，在一次函数中，所以，一次函数是“简约函数”． (1)判断：一次函数是否是“简约函数”，并说明理由． (2)如图为两个简约函数的图象：直线与直线，这两条直线交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 14．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）某工厂专业生产各种中小学生运动会的道具．在一次完成生产590件某种运动会道具的任务中，甲小组独立生产后，为了加快进度，该工厂决定让甲，乙两个小组同时进行生产，生产的运动会道具总数（件）与甲小组生产时间之间的函数图象如图所示． (1)分别求出当与时，与之间的函数解析式； (2)从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，求生产的运动会道具总量． 15．（24-25八年级上·山西长治·期末）项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤： ①选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． ②每工作1记录1次油箱内的油量． ③分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间/ 0 1 2 3 4 5 油箱内油量/ 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： (1)通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内剩余油量（单位：）是工作时间（单位：）的________函数．（填“一次”或“反比例”） (2)求出该挖掘机油箱内剩余油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． (3)若该挖掘机油箱内剩余12油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 16．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，直线：()经过点和． (1)求直线的解析式； (2)若将直线l向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 17．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，根据图象，解决下列问题： (1)根据图象直接写出方程组的解． (2)设直线与轴交于点，连接，求的面积． 18．（24-25八年级上·山西大同·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．符合人体工学的课桌高度y（单位：cm）是椅子高度x（单位：cm）的一次函数，下表是符合人体工学的课桌高度y与椅子高度x的部分数据． x/cm … 33 36 39 … y/cm … 62 67 72 … (1)求y关于x的一次函数解析式． (2)当课桌高度为82cm时，求椅子的高度． 19．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践：快递配送中的一次函数应用 某快递公司的配送员小李驾驶电动车进行快递配送，充满电后电动车的剩余电量与行驶距离之间存在一次函数关系．公司后台记录了小李在电动车充满电后某次配送时的数据如下： 行驶距离 5 10 15 20 剩余电量 90 80 70 60 (1)当电动车剩余电量为时，小李已经行驶了______． (2)求出剩余电量关于行驶距离（单位：）的函数解析式． (3)该快递公司规定，当剩余电量低于时必须充电．若小李在电动车充满电之后，需要进行配送的路线总长为，他能否完成此次全程配送而不需要中途充电？请说明理由． 20．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)请直接写出的面积． 地 城 考点05 三元一次方程组 一、 填空题 1．（23-24八年级上山西吕梁·期末）“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需 元． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元． 4．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 天． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $