专题04 一次函数 8大高频考点（期末真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

专题04 一次函数 8大高频考点概览 考点01 函数及其图象 考点02 从函数的图象获取信息 考点03 正比例函数图象和性质 考点04一次函数的图象和性质 考点05 一次函数解析式 考点06 一次函数与方程不等式 考点07 一次函数实际应用 考点08 一次函数与几何图形综合 地 城 考点01 函数及其图象 一、 单选题 1．（22-23八年级上·山西晋中期末）下列曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，弹簧测力计下挂一长方体物体，将物体从盛有适量水的大水槽上方离水面某一高度缓缓下降，然后浸入水中，最后被水淹没，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与时间x（单位：s）之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是 ． 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是某学校安装的围栏平面示意图．已知每根立柱宽为a米，根据围栏中蕴含的数量关系列出了下表： 立柱根数x（根） 2 3 4 5 6 … 护栏总长度y（米） 11 … (1)自变量是______；因变量是______；______； (2)直接写出y与x之间的关系式； (3)已知围栏长度为362米，请求出立柱共有多少根？ 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 地 城 考点02 从函数的图象获取信息 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A．草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D．草莓中有机物积累最快时的温度约为 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发10min，第一组经过20min抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组步行的时间x（单位：min）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．第一组步行的速度为80m/min B．第二组步行的速度为60m/min C．第二组比第一组早5min到达 D．出发点距目的地1200m 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着B—C—D—A运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（   ） A． B．长方形的面积为 C．当秒时， D．若时，x可能是3秒或10秒 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）骑自行车是一项对健康有多重益处的运动，规律的骑行可增强心肺功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老赵某天骑自行车行驶路程（）与时间（）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（   ） A．老赵的骑行速度为 B．老赵的骑行在的速度比的速度慢 C．点P表示老赵出发，他一共骑行 D．老赵实际骑行时间为 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）周六上午，小颖从家出发前往早餐店用餐，随后前往图书馆阅读，最后回家．她离家的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小颖从家到早餐店用时 B．小颖在图书馆阅读了 C．小颖从图书馆出发回家的平均速度是 D．点表示小颖出发时离家的距离为 7．（24-25八年级上·山西吕梁期末）太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（    ） A．最大发电功率和最小发电功率相差 B．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C．从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D．当天发电功率超过的时长为 二、解答题 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）全球首届机器人马拉松于2025年4月19日在北京亦庄举办，最终“天工”获得冠军．小刚和小强的小型机器人比赛跑步，两人定下规则，同时同地出发，谁的机器人先到达终点谁就获胜，已知赛道总长为，小刚的机器人性能比小强的要好，但由于小刚忘记给机器人电池充电，导致中途跑速减缓，赛道上的测速仪测得两个机器人的路程与时间的变化关系如图所示． (1)小强的机器人的平均速度为______． (2)当小强的机器人到达终点时，小刚的机器人与终点的距离为多少米？ (3)小强的机器人比小刚的机器人早到终点多少秒？ 9．（24-25八年级上·山西晋中·期末）周末，郭聪和家人一起驾车从家出发，途经加油站加了油，去乔家大院参观完后，又驾车回到家，已知汽车从家出发到乔家大院时，路上行驶的速度始终保持60千米/时．如图，表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)汽车在加油站停留了________分钟，郭聪一家在乔家大院参观了________分钟； (2)加油站和乔家大院相距________千米，郭聪家和乔家大院相距________千米； (3)汽车从乔家大院返回郭聪家时的速度是多少千米/时？ 10．（24-25八年级上·山西晋中·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：    (1)图中的自变量是 ；因变量是 ；（用文字表达） (2)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； 地 城 考点03 正比例函数图象和性质 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西大同·期末）已知点，都在正比例函数的图象上，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25八年级上·山西运城期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（  ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知正比例函数，当x每增加1时，y的变化情况是（   ） A．增加1 B．减少1 C．增加2 D．减少2 5．（24-25八年级上·山西忻州·期末）已知在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点，则下列点也在该正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图像上的两点，请比较与的大小． 地 城 考点04 一次函数的图象和性质 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 2．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若直线经过一、三、四象限，则图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·山西朔州·期末）一次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知一次函数图象上有两点，，若，则 （    ） A． B． C． D．不确定 6．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知点都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西忻州·期末）已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 二、填空题 8．（24-25八年级上·山西太原·期末）请写出一个一次函数解析式，使其满足如下条件： ①随的增大而增大； ②经过点； 这个一次函数的解析式是 ．（写一个即可） 三、解答题 9．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，． ． 当时，；当时，． ． ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5， ∴y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若，是函数图象上的两点，则 ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务 (1)填空：上述材料中的▲______，■______． (2)请说明材料中的结论是如何验证函数（k，b是常数，且）是y关于x的匀速变化一次函数的． 10．（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽，再次注入……．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/s） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 0 3 6 3 0 … 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并根据水位和时间的关系在上图中描出反映水位高度随时间的变化而变化的部分大致图象； (2)结合表格或图象，当______时，杯中水位第一次最高，是______； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；当时，水位高度是______； (4)请你探究写出第二次水位最高时t的值为______；请你简要描述水位高度随时间的变化情况； (5)开始注水时，小明有事离开，那么他五分钟后回来观察水位应该是______．他接着观察到水位是上升还是下降？ 11．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．当时，该一次函数的最小值为0，求k的值． 地 城 考点05 一次函数解析式 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知直线，现将其向上平移2个单位长度，平移后的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）将正比例函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知一次函数的解析式为，将该一次函数的图象沿x轴方向向右平移1个单位长度得到新的一次函数的图象，则新的一次函数的解析式为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上山西朔州·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)这个一次函数的表达式． (2)当时，函数y的值． (3)当时，自变量x的取值范围． 5．（24-25八年级上山西临汾·期末）一次函数的图象经过点和点，O为坐标原点． (1)求该一次函数的表达式，并画出图象； (2)点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由． 地 城 考点06 一次函数与方程不等式 一、 单选题 1．（20-21八年级上·山西运城·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知y是x的函数，该函数具有如下特征：①它的图象是一条不经过原点的直线；②它的图象经过第二、四象限．写出一个满足以上两个特征的函数解析式： ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）综合与实践我们已经知道，描述函数的方法通常有三种：“列表法”、“图象法”、“表达式法”，这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中常常会结合使用，以便更好地理解和研究函数的性质解决实际问题、现在就用我们所学过的函数知识来解决下面问题： 问题情境：如图1，红雨学习小组在测浮力的实验中，将一圆柱体金属块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动逐渐浸入到水里，研究发现从金属块刚接触水面到恰好完全浸入水中时，弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数与金属块浸入水中的深度得到如下表： cm 0 1 2 3 4 5 6 … N 6 5.5 4.75 4.5 4 4 4 … (1)在处理数据时，组员小明同学发现在上表的数据中有一组数据记录错误．请在图2中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一组数据是错误的，并求出正确的值； (2)由物理学知识可知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，；当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度． 6．（24-25八年级上·山西朔州·期末）项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）规定：若一次函数满足，则称该函数为“简约函数”．例如，在一次函数中，所以，一次函数是“简约函数”． (1)判断：一次函数是否是“简约函数”，并说明理由． (2)如图为两个简约函数的图象：直线与直线，这两条直线交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 地 城 考点07 一次函数实际应用 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（ ） A．y是x的正比例函数 B． C．当时， D．当时， 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．小乐比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C．小乐的速度为 D．小文比小乐提前到达客人位置 3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 5．（24-25八年级上·山西大同·期末）小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）我国航天事业发展是日新月异，我们走进“天宫课堂”，在中国空间站航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解太空的兴趣和对科学知识的探索热情，七（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度t/℃ 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/（m/s） 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高______． (3)某日气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践 小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店．买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是__________米，小明在书店停留了__________分钟． (2)本次上学途中，一共用了__________分钟，小明一共骑行了__________米． (3)我们认为骑自行车的速度不超过300米/分为安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 8．（24-25八年级上·山西大同·期末）2025年4月23日第四届全民阅读大会的主题是“培育的读书风尚  建设文化强国”．某文化馆借此机会推出两种阅读收费方式． 方式一：先购买年卡，每张年卡100元，仅限本人一年内使用，凭卡阅读，每次再付费5元； 方式二：不购买年卡，每次付费10元． 设小华在一年内来此文化馆阅读的次数为x次，选择方式一的总费用是（元），选择方式二的总费用是（元）． (1)请你直接写出，与x之间的函数解析式． (2)若小华计划一年内来此文化馆的消费金额为220元，则选择哪种方式阅读的次数更多？ (3)请你帮助小华思考，选择哪种方式更省钱？ 地 城 考点08 一次函数与几何图形综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，根据图象，解决下列问题： (1)根据图象直接写出方程组的解． (2)设直线与轴交于点，连接，求的面积． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，直线：()经过点和． (1)求直线的解析式； (2)若将直线l向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)请直接写出的面积． 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点C，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)_______，________； (2)若直线轴且在y轴右侧，直线与直线，分别交于点D和点E，，求点D的坐标； (3)若点P是直线上一点，是否存在点P使得三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 8．（24-25八年级上山西大同·期末）如图，直线与轴交于点，与轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线与轴负半轴交于点，且，求的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数 8大高频考点概览 考点01 函数及其图象 考点02 从函数的图象获取信息 考点03 正比例函数图象和性质 考点04一次函数的图象和性质 考点05 一次函数解析式 考点06 一次函数与方程不等式 考点07 一次函数实际应用 考点08 一次函数与几何图形综合 地 城 考点01 函数及其图象 一、 单选题 1．（22-23八年级上·山西晋中期末）下列曲线中不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据函数的定义，判断对于给定的 值，是否有唯一的 值与之对应，来确定哪个曲线不能表示 是 的函数．本题主要考查函数的定义，熟练掌握函数定义中“对于自变量 的每一个确定值，函数值 有唯一确定值与之对应”是解题的关键． 【详解】解：选项A、B、C中，对于任意给定的一个 值，都能找到唯一的 值与之对应，能表示是的函数． 选项D中，存在某些 值（比如圆与 轴交点对应的 值除外的部分 ），一个 对应两个 值，不满足函数定义中 的唯一性，不能表示 是 的函数， 故选：D ． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，弹簧测力计下挂一长方体物体，将物体从盛有适量水的大水槽上方离水面某一高度缓缓下降，然后浸入水中，最后被水淹没，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与时间x（单位：s）之间的函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】根据浮力的知识可知，当物块浸入水面之前，拉力保持不变，当物块浸入水中后，但没有全部没入水中时，拉力逐渐变小，当物块浸没后，拉力保持不变， 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐减小，最后保持不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是 ． 【答案】气温 【分析】本题考查了函数自变量和因变量，根据自变量和因变量的定义：自变量是会引起其他变量发生变化的变量，是被操控的；因变量是由一些变化而被影响的量，是被测定或被记录的；进行求解即可． 【详解】解：∵气温随时间的变化而变化 ∴其中自变量是时间，因变量是气温． 故答案为：气温． 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是某学校安装的围栏平面示意图．已知每根立柱宽为a米，根据围栏中蕴含的数量关系列出了下表： 立柱根数x（根） 2 3 4 5 6 … 护栏总长度y（米） 11 … (1)自变量是______；因变量是______；______； (2)直接写出y与x之间的关系式； (3)已知围栏长度为362米，请求出立柱共有多少根？ 【答案】(1)立柱根数x（根）；护栏总长度y（米）； (2) (3)135根 【分析】本题考查用表格和函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是求出函数关系式． （1）根据题意和表格数据，得到立柱每增加1根，护栏总长度增加米，进而求出a的值即可； （2）根据（1）中的规律，写出函数关系式即可； （3）令，求出x的值即可． 【详解】（1）解：自变量是立柱根数x（根）；因变量是护栏总长度y（米）； 由题意，每两根立柱之间的距离相等， ∴每增加1根立柱，总长度增加的长度相同， 由表格可知：当立柱从2根变成3根时，总长度增加米， ∴； 故答案为：立柱根数x（根）；护栏总长度y（米）； （2）解：y与x之间的关系式为； （3）解：当时，，解得． 答：立柱共有135根． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【答案】(1)22 (2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致 (3)18分钟 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系， （1）根据表格可知从55min开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果； （2）根据表格数据描述特点； （3）结合表格数据分析求解． 【详解】（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃， ∴当天的室温大概是22℃； 故答案为：22． （2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． 地 城 考点02 从函数的图象获取信息 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（    ） A．时，物体通过的路程为 B．在整个时间内，物体运动的平均速度为 C．物体运动的总路程为 D．物体在内的速度比内的速度大 【答案】C 【分析】本题考查路程—时间图象的识别，根据图象，按照路程速度时间即可逐项判断． 【详解】解：A：由题图知，时，物体通过的路程为说法正确，不符合题意． B：整个时间内，物体通过的路程为，则物体的平均速度，B说法正确，不符合题意． C：由图可知，物体通过的总路程为，故C说法错误，符合题意； D：内物体速度， 内物体速度， 故物体在内的速度比内的速度大，D说法正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西太原·期末）光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A．草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D．草莓中有机物积累最快时的温度约为 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的信息，进行判断即可得． 【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确； 由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确； 由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确； 由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确； 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）学校组织郊外活动，两个课外兴趣小组匀速步行前进，第一组比第二组早出发10min，第一组经过20min抵达目的地．两组之间的距离y（单位：m）和第一组步行的时间x（单位：min）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．第一组步行的速度为80m/min B．第二组步行的速度为60m/min C．第二组比第一组早5min到达 D．出发点距目的地1200m 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．AB．分别根据速度=路程÷时间计算即可；C．观察图象即可；D．根据路程=速度×时间计算即可． 【详解】解：第一组步行的速度为， ∴A不正确，不符合题意； 第二组步行的速度为， ∴B不正确，不符合题意； 第二组比第一组晚到达， ∴C不正确，不符合题意； 出发点距目的地， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图1所示，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着B—C—D—A运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法正确的是（   ） A． B．长方形的面积为 C．当秒时， D．若时，x可能是3秒或10秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法不正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的面积为， 故选项B说法不正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法不正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法正确，符合题意， 故选：D． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）骑自行车是一项对健康有多重益处的运动，规律的骑行可增强心肺功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老赵某天骑自行车行驶路程（）与时间（）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（   ） A．老赵的骑行速度为 B．老赵的骑行在的速度比的速度慢 C．点P表示老赵出发，他一共骑行 D．老赵实际骑行时间为 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键． 仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，老赵骑行的路程为，老赵的骑行速度为，故A正确，不符合题意； 老赵的骑行速度为，老赵的骑行的速度为，，老赵的骑行在的速度比的速度慢，故B正确，不符合题意； 点P所对应的路程为，时间为，即表示出发，老赵共骑行，故C正确，不符合题意； 内的路程没有变化，老赵实际骑行时间为，故错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）周六上午，小颖从家出发前往早餐店用餐，随后前往图书馆阅读，最后回家．她离家的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小颖从家到早餐店用时 B．小颖在图书馆阅读了 C．小颖从图书馆出发回家的平均速度是 D．点表示小颖出发时离家的距离为 【答案】D 【分析】本题考查从图象中获取信息，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图可知，小颖从家到早餐店是段，用时为，该选项错误，不符合题意； B、由图可知，小颖在图书馆阅读是段，用时为，该选项错误，不符合题意； C、由图可知，小颖从图书馆出发回家是段，平均速度是，该选项错误，不符合题意； D、由图可知，点表示小颖出发时离家的距离为，该选项正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级上·山西吕梁期末）太阳能路灯以太阳能为动力源，白天通过太阳能电池板收集太阳光，将其转化为电能并储存起来，晚上释放电能用于照明．如图记录了某型号太阳能电池板某天从6时到18时之间，发电功率（）随时间（）变化的函数图象，下列说法正确的是（    ） A．最大发电功率和最小发电功率相差 B．8时和16时太阳能电池板的发电功率相同 C．从10时到14时太阳能电池板的发电功率逐渐增大 D．当天发电功率超过的时长为 【答案】B 【分析】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象判断出函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由图象可知，最大发电功率和最小发电功率相差，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，上午8时和下午16时，发电功率相同，故选项正确，符合题意； C．由图象可知，从早上10点到下午14点发电功率先增大后减小，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，8时至16时，发电功率超过， ∴发电功率超过的时间超过8小时，故选项正确，不符合题意； 故选：B． 二、解答题 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）全球首届机器人马拉松于2025年4月19日在北京亦庄举办，最终“天工”获得冠军．小刚和小强的小型机器人比赛跑步，两人定下规则，同时同地出发，谁的机器人先到达终点谁就获胜，已知赛道总长为，小刚的机器人性能比小强的要好，但由于小刚忘记给机器人电池充电，导致中途跑速减缓，赛道上的测速仪测得两个机器人的路程与时间的变化关系如图所示． (1)小强的机器人的平均速度为______． (2)当小强的机器人到达终点时，小刚的机器人与终点的距离为多少米？ (3)小强的机器人比小刚的机器人早到终点多少秒？ 【答案】(1) (2)9米 (3)20秒 【分析】本题考查了折线统计图． （1）根据速度＝路程÷时间求解即可； （2）根据统计图直接求解即可； （3）求出小刚还需几秒到终点即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）米． （3）， 秒． 9．（24-25八年级上·山西晋中·期末）周末，郭聪和家人一起驾车从家出发，途经加油站加了油，去乔家大院参观完后，又驾车回到家，已知汽车从家出发到乔家大院时，路上行驶的速度始终保持60千米/时．如图，表示他们离开家的距离（千米）与离开家的时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)汽车在加油站停留了________分钟，郭聪一家在乔家大院参观了________分钟； (2)加油站和乔家大院相距________千米，郭聪家和乔家大院相距________千米； (3)汽车从乔家大院返回郭聪家时的速度是多少千米/时？ 【答案】(1)； (2)； (3)千米/时 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据图象计算即可； （2）分别根据路程速度时间计算即可； （3）根据速度路程时间计算即可． 【详解】（1）解：汽车在加油站停留了（分钟），郭聪一家在乔家大院参观了（分钟）． 故答案为：，． （2）加油站和乔家大院相距（千米），郭聪家和乔家大院相距（千米）． 故答案为：，． （3）（千米/时）， 答：汽车从乔家大院返回郭聪家时的速度是千米/时． 10．（24-25八年级上·山西晋中·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：    (1)图中的自变量是 ；因变量是 ；（用文字表达） (2)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； 【答案】(1)操控无人机的时间，无人机飞行的高度 (2)5 (3)25 【分析】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． （1）根据图象信息得出自变量和因变量； （2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间分钟即可； （3）根据“速度=路程÷时间”计算即可． 【详解】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是操控无人机的时间，因变量是无人机飞行的高度； 故答案为：操控无人机的时间，无人机飞行的高度； （2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分）， 故答案为：5； （3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度（米/分）， 故答案为：25． 地 城 考点03 正比例函数图象和性质 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西大同·期末）已知点，都在正比例函数的图象上，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较正比例函数的函数值大小，根据解析式可得增减性，由增减性可得答案． 【详解】解：∵正比例函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∵点，都在正比例函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象的性质，当比例系数时，图象经过第二、第四象限，解答即可． 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象是一条过原点的直线， 当时，图象经过第二、第四象限， ∴的值可以是， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西运城期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（  ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的一般形式，当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小．通过代入点坐标验证选项，结合函数性质逐一排除错误选项即可． 【详解】A．当时，，图象不经过点，错误； B．因，函数图象经过第二、四象限，正确； C．因，随的增大而减小，错误； D．当时，，此时不小于0，错误． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知正比例函数，当x每增加1时，y的变化情况是（   ） A．增加1 B．减少1 C．增加2 D．减少2 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，将，分别代入正比例函数的解析式，求出，，再计算，即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即当x每增加1时，y减少2． 故选D． 5．（24-25八年级上·山西忻州·期末）已知在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点，则下列点也在该正比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法确定函数表达式，先利用已知点求出正比例函数的比例系数，再验证各选项是否满足函数解析式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正比例函数为常数，且的图象经过点， 将点代入，得，解得， 则函数解析式为， A、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意； B、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意； C、对于，，点不在该正比例函数图象上，选项不符合题意； D、对于，，点在该正比例函数图象上，选项符合题意； 故选：D． 二、解答题 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图像上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)不在，见解析 (3) 【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入，得到，结合点的坐标即可判断； （3）根据正比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 由题意得，，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不在，理由如下： 把代入，得． ∵， ∴点不在这个函数的图像上． （3）解：∵， ∴y随的增大而减小， ∵， ∴． 地 城 考点04 一次函数的图象和性质 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可知该函数图象经过第二、三、四象限． 【详解】解：∵函数， ∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若直线经过一、三、四象限，则图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直线经过一、三、四象限，判断出系数的正负，然后根据的系数特点，即可判断直线所过的象限． 【详解】解：∵直线经过一、三、四象限， ， ∴直线过一、二、四象限． 故选：A． 3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系； 根据一次函数的增减性和与y轴交于负半轴可得，． 【详解】解：由所给函数图象可知， 因为y随x的增大而减小， 所以， 因为一次函数的图象与y轴交于负半轴， 所以， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山西朔州·期末）一次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出y值，进而可得出一次函数的图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 一次函数的图象与y轴的交点坐标为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知一次函数图象上有两点，，若，则 （    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意得出一次函数的增减性，根据一次函数的增减性判断即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数为， ∴当增大时，随之减小； ∵， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知点都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数增减性解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数增减性是关键． 【详解】解：∵， ∴一次函数y随x的增大而增大， ∵点都在一次函数的图象上，， ∴． 故选：A． 7．（24-25八年级上·山西忻州·期末）已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的增减性，由直线解析式中的的值确定函数的增减性，进而比较两点纵坐标的大小即可. 【详解】解：∵ 直线 中， ， ∴ 函数值 随 的增大而增大； ∵ 点 的横坐标 小于点 的横坐标 ， ∴ ； 故选：B 二、填空题 8．（24-25八年级上·山西太原·期末）请写出一个一次函数解析式，使其满足如下条件： ①随的增大而增大； ②经过点； 这个一次函数的解析式是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 设一次函数的解析式为，由随的增大而增大，可得出，结合一次函数的图象经过点，可得出，取，即可得出结论． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵随x的增大而增大， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，一次函数的解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 有关“匀速变化一次函数”的研究报告智慧小组研究对象：匀速变化一次函数 研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究 研究内容： 【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值，，当到变化时，对应的y的值由到也随之变化，这时我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数． 【例题研究】根据匀速变化一次函数的概念，对函数的研究如下： 当时，；当时，． ． 当时，；当时，． ． ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数5， ∴y是x的匀速变化一次函数． 【深入探索】通过上述方法可以验证函数为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ． 发现结论：若，是函数图象上的两点，则 ■ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数． 任务 (1)填空：上述材料中的▲______，■______． (2)请说明材料中的结论是如何验证函数（k，b是常数，且）是y关于x的匀速变化一次函数的． 【答案】(1)3；k (2)见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）对于第一空，当时，，时，，据此求出的值即可得到答案；对于第二空，根据题意可得，，据此求出的值即可得到答案； （2）设，是函数图象上的另外两点，则，，求出的结果，即可验证结论． 【详解】（1）解：在中，当时，，时，， ∴， ∴该函数的平均变化速度刚好等于3； ∵，是函数图象上的两点， ∴，， ∴． （2）解：设，是函数图象上的另外两点， ∴，， ∴， ∵， ∵y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度都是k， ∴函数是y关于x的匀速变化一次函数． 10．（24-25八年级上·山西晋中·期末）综合与探究 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意． 该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽，再次注入……．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/s） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 0 3 6 3 0 … 根据以上信息，解决下列问题： (1)完善表中的数据，并根据水位和时间的关系在上图中描出反映水位高度随时间的变化而变化的部分大致图象； (2)结合表格或图象，当______时，杯中水位第一次最高，是______； (3)在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为______；当时，水位高度是______； (4)请你探究写出第二次水位最高时t的值为______；请你简要描述水位高度随时间的变化情况； (5)开始注水时，小明有事离开，那么他五分钟后回来观察水位应该是______．他接着观察到水位是上升还是下降？ 【答案】(1)如表 时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 3 6 3 0 … 如图 (2)4，6 (3)，3 (4)12，如：在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降 (5)6，下降 【分析】本题主要考查了坐标系中描点、函数的表示、函数图象、图象规律等知识点，观察表格并从中获取正确信息是解题的关键． （1）将表中数据完善后，描点连线即可解答； （2）由表格即可求解； （3）由表格即可求解； （4）观察表格和图象即可解答； （5）由，然后，可知此时水位在最高处，据此即可解答． 【详解】（1）解：完善数据后，在直角坐标系中描出表中各组已知对应值为坐标的点如下： 时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 … 水位高度（h/cm） 3 6 3 0 … 根据表格作图如下： （2）解：由表格可知： 当时，杯中水位最高，最高水位为． 故答案为：4，6； （3）解：由表格可知： 自动排水前，每经过1秒钟，水位上升，即杯中水位上升的速度为； 由函数图象可得：当时，开始注水，经过2分钟，即当时，水位高度是______ 故答案为：，3． （4）解：由函数图象可知：从开始注水，当时，水位最高，然后开始放水；当时，水位为0，然后开始注水；当时，第二次水位最高．则在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降． 故答案为：12，在，水位高度随时间逐渐上升，在，水位高度随时间逐渐下降． （5）解：， ， 所以此时水位在最高处，即，紧接着水位下降． 故答案为：6，下降． 11．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．当时，该一次函数的最小值为0，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据题意和一次函数的性质，可以计算出k的值． 【详解】解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， 随x的增大而减小，， ， 当时，该一次函数的最小值为0， 当时，， ， 解得：． 地 城 考点05 一次函数解析式 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）已知直线，现将其向上平移2个单位长度，平移后的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律． 根据“上加下减”的平移规律作答即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度后的解析式为： ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）将正比例函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律，解决本题的关键是掌握一次函数图象的平移规律； 根据函数图象平移的规则“上加下减”，将原函数表达式中的常数项进行相应的调整即可． 【详解】解：将正比例函数为的图象向上平移2个单位长度， ∴所得图象的函数表达式为． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）已知一次函数的解析式为，将该一次函数的图象沿x轴方向向右平移1个单位长度得到新的一次函数的图象，则新的一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换——平移．熟练掌握平移不改变直线解析式中的k值，x左加右减，y上加下减，是解题的关键． 平移后的直线的解析式的k不变，根据x左加右减，求得新一次函数解析式． 【详解】解：将一次函数图象沿x轴方向向右平移1个单位长度得到新的一次函数为， 即． 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25八年级上山西朔州·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求： (1)这个一次函数的表达式． (2)当时，函数y的值． (3)当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， 函数解析式为； （2）解：将代入得，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， 把代入得，， 解得：， ∴当时，， ∴当时，自变量x的取值范围为． 5．（24-25八年级上山西临汾·期末）一次函数的图象经过点和点，O为坐标原点． (1)求该一次函数的表达式，并画出图象； (2)点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)点在该函数图象的上方，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，画一次函数图象： （1）利用待定系数法求出对应的一次函数解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）求出当时y的值，若该值大于，则点在一次函数图象下方，若小于，则点在一次函数图象下方，据此可得答案． 【详解】（1）解：把点和点代入中得：， ∴， ∴该一次函数解析式为， 函数图象如下所示： （2）解：点在该函数图象的上方，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴， ∴点在该函数图象的上方． 地 城 考点06 一次函数与方程不等式 一、 单选题 1．（20-21八年级上·山西运城·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用两个一次函数的交点坐标解二元一次方程组，解题的关键在于能够准确求出P点的坐标． 首先利用一次函数的解析式求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选C． 2．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，已知一次函数与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．由一次函数和的图象交于点P的坐标是，可得二元一次方程组的解，从而可得答案． 【详解】解：由条件可得得，即， 所以，一次函数与的图象交于， 所以二元一次方程组的解是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）人体工学研究表明，使用符合人体工学的课桌、椅子可减少学生近视、脊柱侧弯等健康问题．已知符合人体工学的课桌高度h（单位：）是椅子高度x（单位：）的一次函数，部分数据如表： … 33 36 39 … … 62 67 72 … 根据以上信息可知，h关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一次函数解析式，根据表格中的数据，确定是一次函数关系，运用待定系数法求出一次函数的关系式，代入验证即可得出正确选项． 【详解】解：当x由33增加到36时，h由62增加到67（增加）；同理，x由36增加到39时，h由67增加到72，仍增加，可知h与x成一次函数， 设h与x之间函数关系式为， 把代入得，， 解得：， 所以，h关于x的函数表达式为， 当时，，满足条件， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西朔州·期末）已知y是x的函数，该函数具有如下特征：①它的图象是一条不经过原点的直线；②它的图象经过第二、四象限．写出一个满足以上两个特征的函数解析式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查函数的表示法，根据所要求的函数特征，写出符合要求的函数解析式即可． 【详解】解：由题知， 因为函数的图象是一条不经过原点的直线，且经过第二、四象限， 所以该函数的解析式可以是： 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）综合与实践我们已经知道，描述函数的方法通常有三种：“列表法”、“图象法”、“表达式法”，这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中常常会结合使用，以便更好地理解和研究函数的性质解决实际问题、现在就用我们所学过的函数知识来解决下面问题： 问题情境：如图1，红雨学习小组在测浮力的实验中，将一圆柱体金属块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动逐渐浸入到水里，研究发现从金属块刚接触水面到恰好完全浸入水中时，弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数．通过记录弹簧测力计的示数与金属块浸入水中的深度得到如下表： cm 0 1 2 3 4 5 6 … N 6 5.5 4.75 4.5 4 4 4 … (1)在处理数据时，组员小明同学发现在上表的数据中有一组数据记录错误．请在图2中，通过描点的方法画出函数图象，观察判断哪一组数据是错误的，并求出正确的值； (2)由物理学知识可知，当金属块的下表面刚好与水面接触时，；当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，画一次函数的图象，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，先描点，再依次连接，即可画出函数图象，再运用待定系数法进行求出，即可作答． （2）先求出，再结合某一时刻该金属块所受的浮力为，求出求此时金属块的，代入解析式求出浸入水中的深度，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： 观察判断这数据是错误的， ∵弹簧测力计的示数（单位：）是金属块浸入水中的深度（单位：）的一次函数． ∴设， 把分别代入， 得， ∴， ∴， 把代入， 得， （2）解：当金属块的下表面刚好与水面接触时，； ∴当时，， 当金属块入水后，，若某一时刻该金属块所受的浮力为， 即， 由（1）得， 把代入，得， 解得． ∴若某一时刻该金属块所受的浮力为，求此时金属块浸入水中的深度为． 6．（24-25八年级上·山西朔州·期末）项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 【答案】(1)一次， (2)，25 (3)长方形空地的长约为，宽约为 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据表中数据呈现的规律判断出为一次函数，设，把和代入解出即可； （2）设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，把，代入解出人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，再把，代入求解即可； （3）将代入，求解出长方形空地的长，再将代入即可求解出长方形空地的宽． 【详解】（1）解：根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的一次函数， 设， 把和代入得， 解得， 指间距离d与身高y的函数解析式为， 故答案为：一次，； （2）解：设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 故答案为：，25； （3）解：将代入，得， 解得， 所以长方形空地的长为， 将代入，得， 所以长方形空地的宽为， 答：长方形空地的长约为，宽约为． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）规定：若一次函数满足，则称该函数为“简约函数”．例如，在一次函数中，所以，一次函数是“简约函数”． (1)判断：一次函数是否是“简约函数”，并说明理由． (2)如图为两个简约函数的图象：直线与直线，这两条直线交于点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两直线与坐标轴围成的三角形面积，求两直线交点坐标，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用“简约函数”定义判断即可； （2）先利用“简约函数”定义求出待定系数的值，然后分别求出两直线交点坐标及两直线与轴交点坐标，求出面积即可． 【详解】（1）解：一次函数不是“简约函数”， 理由是：， 一次函数的图象不是“简约函数”. （2）如图过点作轴于点， 两个函数均为“简约函数”， ，， ，， 直线与直线的解析式分别是，， 解， 得， 点的坐标是，， 在一次函数中， 当时，，， 点的坐标是， 在一次函数中， 当时，，， 点的坐标是， ， 中的面积为． 地 城 考点07 一次函数实际应用 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（ ） A．y是x的正比例函数 B． C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格的数据以及利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：由表格可知：x每增加1，y增加， 是x的一次函数，且， 选项A不正确； 设， 把代入中得：， 解得， 所以y关于x的函数解析式为：， 选项B正确； 当时，， 当时，， 选项C，D不正确； 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小乐和小文从出餐口出发，准备给相距的客人送餐，小乐比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小乐行进的时间为（单位：），小乐和小文行进的路程，（单位：）与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．小乐比小文先出发 B．小文提速后的速度为 C．小乐的速度为 D．小文比小乐提前到达客人位置 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键． 根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：结合图象可知，由图象可知，小乐的图象从开始，小文的图象从开始，所以小乐比小文先出发，故A选项错误，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故B选项错误，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：， ∴， ∴， ∴小乐的速度为， ∴C选项说法正确符合题意； ∴； ∴，故D选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 二、解答题 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) (2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润 【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可； （2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可． 本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴y与x之间的函数关系式． （2）解：y与x之间的函数关系式，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大， （枝）． 答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润． 5．（24-25八年级上·山西大同·期末）小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 【答案】(1)40，70 (2)8 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由姐姐从离家到回到家，共用，即可求出，而小亮比姐姐早到家，故，即可解答； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为，根据题意列方程可解得答案． 【详解】（1）解：根据已知，姐姐从离家到回到家，共用， ∴， ∵小亮比姐姐早到家， ∴， 故答案为：40，70； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为， 根据题意得：， 解得， ∴小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）我国航天事业发展是日新月异，我们走进“天宫课堂”，在中国空间站航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解太空的兴趣和对科学知识的探索热情，七（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度t/℃ 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/（m/s） 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高______． (3)某日气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3) 【分析】本题主要考查函数的表示方法、常量与变量、一次函数的应用等知识点，理解常量与变量的定义、求出函数的关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系即可解答； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式，再求出当时，求出v，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量. 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度． （2）解：由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高. 故答案为：． （3）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 当时，， 所以小乐与燃放烟花所在地大约相距． 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践 小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店．买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是__________米，小明在书店停留了__________分钟． (2)本次上学途中，一共用了__________分钟，小明一共骑行了__________米． (3)我们认为骑自行车的速度不超过300米/分为安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)1800；4 (2)15；3000 (3)在12~15分钟小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内 【分析】（1）观察图像即可得解； （2）观察图像可知本次上学途中，一共用了15分钟．将0~6分钟，6~8分钟， 12~15分钟，小明骑车的路程相加，即可得小明一共骑行的路程； （3）将0~6分钟，6~8分钟， 12~15分钟，小明骑车的速度分别求出来即可得解． 【详解】（1）解：根据题图可知，小明家到学校的距离是1800米，小明在书店停留了分钟． （2）解：根据题图可知，本次上学途中，一共用了15分钟， 小明一共骑行了米 故答案为：15，3000 （3）解：0~6分钟，速度为米/分； 6~8分钟，速度为米/分； 12~15分钟，速度为米/分； 400米/分300米/分 ∴整个上学途中在12~15分钟时间段小明骑车速度最快，最快速度不在安全限度内． 【点睛】本题主要考查了利用图像法表示变量之间的关系，掌握数形结合是解题的关键． 8．（24-25八年级上·山西大同·期末）2025年4月23日第四届全民阅读大会的主题是“培育的读书风尚  建设文化强国”．某文化馆借此机会推出两种阅读收费方式． 方式一：先购买年卡，每张年卡100元，仅限本人一年内使用，凭卡阅读，每次再付费5元； 方式二：不购买年卡，每次付费10元． 设小华在一年内来此文化馆阅读的次数为x次，选择方式一的总费用是（元），选择方式二的总费用是（元）． (1)请你直接写出，与x之间的函数解析式． (2)若小华计划一年内来此文化馆的消费金额为220元，则选择哪种方式阅读的次数更多？ (3)请你帮助小华思考，选择哪种方式更省钱？ 【答案】(1)， (2)选择方式一阅读的次数更多 (3)若小华在一年内来此文化馆阅读的次数大于20次，选择方式一更省钱；若小华在一年内来此文化馆阅读的次数等于20次，两种方式的花费一样；若小华在一年内来此文化馆阅读的次数小于20次，选择方式二更省钱 【分析】本题考查了一次函数方案类问题，合理列出函数表达式是解题的关键． （1）根据方案内容列出函数表达式即可； （2）把总费用分别代入方案方程，求出次数进行对比即可； （3）分情况讨论，列出方程或不等式，从而求解． 【详解】（1）解：设小华在一年内来此文化馆阅读的次数为x次，由题意可得： 方式一： 方式二： （2）解：当时，，解得． 当时，，解得． ， 选择方式一阅读的次数更多． （3）解：分情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得． 综上所述，若小华在一年内来此文化馆阅读的次数大于20次，选择方式一更省钱；若小华在一年内来此文化馆阅读的次数等于20次，两种方式的花费一样；若小华在一年内来此文化馆阅读的次数小于20次，选择方式二更省钱． 地 城 考点08 一次函数与几何图形综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，根据图象，解决下列问题： (1)根据图象直接写出方程组的解． (2)设直线与轴交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、一次函数与二元一次方程组、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据函数图象可得点为两函数图象的交点，根据两一次函数图像的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解即可解答； （2）先根据待定系数法得出直线的解析式，，即；再求得点D，点C的坐标，的值，最后再运用割补法求解即可． 【详解】（1）解：点为两函数图象的交点， 方程组的解为 （2）解：把，代入中， 解得：， ． 如图，设直线与轴的交点为． 令，则， 点的坐标为． 令，则， 点的坐标为， ∴， 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，直线：()经过点和． (1)求直线的解析式； (2)若将直线l向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查一次函数，牢记采用待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图象平移的规律（上加下减）是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）先求出中点坐标，平移后的直线的解析式，将中点坐标代入移后的直线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：把点和分别代入中，得， ∴， ∴与函数解析式为； （2）解：∵， ∴的中点坐标为， ∵直线l向上平移n个单位， ∴平移后的直线的解析式为， 把代入中，则， 解得：， ∴的值为6． 3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点是该直线上一点，且纵坐标为，过点的直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出的解析式即可． （2）先求出点A的坐标，然后再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 解得：， ∴， 把代入， 即， 解得：， 则， 令，则， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则的解析式为： （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴ 4．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ， ． ， ，解得， ∴点， ， ∴． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点C，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)_______，________； (2)若直线轴且在y轴右侧，直线与直线，分别交于点D和点E，，求点D的坐标； (3)若点P是直线上一点，是否存在点P使得三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，9； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式即可得b，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的长； （2）设点D的坐标为，则点E的坐标为，由，可列出关于m的含绝对值的一元一次方程，解之可求出m的值，再将其代入点D的坐标中，即可求出结论； （3）存在，设点P的坐标为，根据三角形的面积为9，可列出关于n的含绝对值符号的一元一次方程解之可求出n的值，再将其代入点P的坐标中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 将代入得：， 解得：， 直线的函数解析式为， 当时，， 解得：， 点的坐标为； ； 故答案为：，9； （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ， 又， ， 解得：， 因为在轴右侧，所以舍去 当时，； 点的坐标为； （3）解：存在，设点的坐标为， ， 解得：或， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是∶(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；(2)根据，列出关于m的含绝对值的一元一次方程；(3)根据三角形的面积为9，列出关于n的含绝对值符号的一元一次方程． 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 【答案】(1)直线：； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，勾股定理，利用平方根解方程． （1）设直线表达式为，将点，代入即可求出的表达式为：；当时，，结合图像即可判断自变量x的取值范围； （2）联立两方程求解即可； （3）先求出，再分两种情况讨论即可； （4）分两种情况根据勾股定理列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得： ∴的表达式为：； 当时，， 即 观察图象可知，当直线在x轴上方时，； （2）解：∵，交于点A， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：在直线：中，当时，，即 当时， 当经过A时，即， 解得， 当经过C时，， 即； 当时，直线 与y轴负半轴相交，不符合题意； 综上所述，； （4）解：当E在线段上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 当E在线段的延长线上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先利用待定系数法求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再根据建立方程，解方程即可得； ②先设点的坐标为，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， 故答案为：，． （2）解：①由题意，画出图形如下： 由（1）已得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或，均符合题意， ∴点的坐标为或． ②∵点坐标是，是直线上一点，轴， ∴可设点的坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得或， 此时点的坐标为或； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 8．（24-25八年级上山西大同·期末）如图，直线与轴交于点，与轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线与轴负半轴交于点，且，求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为，则点B的坐标为 (2)12 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数与x轴，y轴的交点，直线围成时三角形面积，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）分别令x，y为0即可得出点A，B两点的坐标； （2）画图结合三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 解得：， 则点A的坐标为， 当时，，则点B的坐标为． （2）解： 当点P在x轴的负半轴上时，如图， ∵， ∴， ∴的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $