专题07 证明 4大高频考点（期末真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

专题07 证明 4大高频考点概览 考点01 判断命题真假 考点02平行线的证明 考点03 平行线的判定性质综合 考点04平行线与三角形内角和综合 地 城 考点01 判断命题真假 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）在判断“对于任意实数，一定有”这一命题的真假时，同学们给出如下分析，其中正确的是（    ） A．因为当时，，所以该命题是真命题 B．因为当时，，所以该命题是真命题 C．如果取某一实数时，或，那么该命题是假命题 D．如果取某一实数时，，那么该命题是真命题 2．（24-25八年级上·山西晋中期末）下列命题是假命题的是（   ） A．8的立方根是2 B．2是8的立方根 C．4的平方根是2 D．2是4的平方根 3．（24-25八年级上·山西晋中期末）下列命题是真命题的是（　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点作直线a的垂线 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 4．（24-25八年级上·山西吕梁期末）下列四个命题中不正确的是（    ） A．对角互补的平行四边形是矩形 B．有两边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形 5．（24-25八年级上·山西临汾期末）下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西阳泉期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 二、填空题 7．（24-25八年级上·山西太原期末）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ． 地 城 考点02 平行线的证明 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，不能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，直线、被直线所截，若，要使直线，则的度数应为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 (1)基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． (2)性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． (3)尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 8．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，的顶点在的边上，且，已知和全等吗？为什么？ 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，，与相交于点，过点作射线，，与平行吗？为什么？ 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，，点B，E分别是，上的点，连接，，若，．求证：． 11．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知，连接，过点C作射线，使，那么成立吗？为什么？ 12．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知：如图，的平分线交于点F，交的延长线于点E． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义） ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴∥ （ ）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 地 城 考点03 平行线的判定性质综合 一、填空题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为 ． 二、解答题 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知，． (1)判断，是否平行，并说明理由； (2)若，，求的度数． 6．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 7．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，点D，E分别在线段，上，点F在线段上，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，请说明的理由． 8．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，点D、E在边上，点F、G分别在边、上，且，与互补． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 地 城 考点04 平行线与三角形内角和综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）用两种方法证明“三角形没有公共顶点的两个外角的和等于与它们都不相邻的一个内角加上”．如图，，是的外角．求证． (1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)根据第二种思路，完成证明． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，三角形中，D是上的点，过点D作交于点E，F是上的点，连接，． (1)证明：； (2)当，平分时，求的度数． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在小学已经通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形，求证：． 方法一：证明：如图，过点作． 方法二：证明：如图，过点作，延长到点． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图①，在平面直角坐标系中，已知．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接，点是射线上一动点 (1)填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____ (2)当点P运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点E是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程； (3)当点在线段上运动时，若，求出点的坐标； (4)点P是射线上一动点（点P不与点C、D重合），连接、，直接写出、与的数量关系， 5．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，点分别是三角形的边上的点，，， (1)求证：． (2)若平分，求的度数． 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，且． (1)从图中任找出两组全等的三角形； (2)从（1）中任选一组进行证明． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 证明 4大高频考点概览 考点01 判断命题真假 考点02平行线的证明 考点03 平行线的判定性质综合 考点04平行线与三角形内角和综合 地 城 考点01 判断命题真假 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）在判断“对于任意实数，一定有”这一命题的真假时，同学们给出如下分析，其中正确的是（    ） A．因为当时，，所以该命题是真命题 B．因为当时，，所以该命题是真命题 C．如果取某一实数时，或，那么该命题是假命题 D．如果取某一实数时，，那么该命题是真命题 【答案】C 【分析】本题主要考查了举例判断命题真假，要判断，那么所举的例子要覆盖所有实数时，成立，才能证明原命题是真命题，据此可判断A、B、D；所举例子只要存在实数满足或，那么该命题是假命题，据此可判断C． 【详解】解：A、仅举的例子成立，但未覆盖所有实数，无法证明命题为真，不符合题意． B、列举时成立，但未考虑的情况，无法证明命题为真，不符合题意． C、若存在使或，则原命题不成立，符合题意． D、存在使不能说明命题对所有成立，无法证明命题为真，不符合题意． 故选；C． 2．（24-25八年级上·山西晋中期末）下列命题是假命题的是（   ） A．8的立方根是2 B．2是8的立方根 C．4的平方根是2 D．2是4的平方根 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，立方根，平方根，错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，据此即可作答． 【详解】解：A、8的立方根是2，故该选项是不符合题意； B、2是8的立方根，故该选项是不符合题意； C、4的平方根是，故该选项是符合题意； D、2是4的平方根，故该选项是不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西晋中期末）下列命题是真命题的是（　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点作直线a的垂线 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及平行线的判定及性质、平行公理，准确掌握相关知识点是解题的关键．根据以上知识点，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”错误，平行公理中强调“过直线外一点”有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，故本选项不符合题意； B、“两直线被第三条直线所截，同位角相等”错误，只有两直线平行时同位角才相等，否则不成立，故本选项不符合题意； C、“过一点作直线a的垂线”表述不完整，命题应为陈述句，而此句为祈使句，无法判断真假，若改为“过一点存在一条直线与直线a垂直”，则为真命题，但原句不符合命题形式，故本选项不符合题意； D、“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”正确，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·山西吕梁期末）下列四个命题中不正确的是（    ） A．对角互补的平行四边形是矩形 B．有两边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的判定定理判断． 【详解】解：A、对角互补的平行四边形是矩形，说法正确，不符合题意； B、邻边相等的平行四边形是菱形，本说法错误，符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题与定理，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的判定定理以及正方形的判定定理是解题的关键． 5．（24-25八年级上·山西临汾期末）下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题的举反例，要说明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子． 【详解】解：选项A：， ，满足条件， ，满足结论，不是反例； 选项B：， ，满足条件， ，满足结论，不是反例； 选项C：， ，不满足条件，无法作为反例； 选项D：， ，满足条件， ，不满足结论，符合反例要求； 综上，只有选项D满足条件但结论不成立， 故选D． 6．（24-25八年级上·山西阳泉期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题，三角形内角和定理、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故不是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； B、∵，， ∴，则，角度不确定，则不一定是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； C、∵，令，，， ∴，故是直角三角形，说法正确，是真命题，符合题意； D、∵，令，， ∴， ∴，则故不是直角三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山西太原期末）将命题“对顶角相等”改为“如果…，那么…”的形式为： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查命题的概念；将命题改为“如果…，那么…”的形式，需要先找出命题的条件和结论，“如果”后面接条件，“那么”后面接结论. 【详解】解：∵原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 地 城 考点02 平行线的证明 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是刻度尺的一段，为判断有刻度的一边（）与它的对边（）是否平行，启航小组的四位同学分别给出以下四种方案，其中不可行的方案是（   ） A．度量刻度尺左边的两个角是否都是直角，若是，则平行 B．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对内错角，若相等，则平行 C．画一条直线，分别与，相交，度量其中一对同位角，若相等，则平行 D．将直角三角板的直角顶点F放置于刻度尺内部，三角板两直角边，分别与刻度尺的两条边，相交于点M，N，度量与，若相等，则平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由同旁内角互补，两直线平行判定，故A不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行判定，故B不符合题意； C、由同位角相等，两直线平行判定，故C不符合题意； D、如图所示， ∵与不是同位角，也不是内错角， ∴两角相等不能判定，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，不能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键 根据平行线的判定依次判断即可 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行得出，故不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行得出，故不符合题意； C、，不能判定，故符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行得出，故不符合题意； 故选：C 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，直线、被直线所截，若，要使直线，则的度数应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质、对顶角的性质；根据对顶角相等得出，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 三、解答题 6．（24-25八年级上·山西临汾·期末）阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 (1)基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． (2)性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． (3)尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—作与已知角相等的角，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用角的和差定义求解； （2）根据平行线的性质以及一对等角线的定义证明即可； （3）以A为顶点，为边，在左侧作，交于点N． 【详解】（1）（1）解：如图2中，由题意， ． 故答案为：； （2）证明：是的一对等角线， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，射线即为所求． 7．（24-25八年级上·山西大同·期末）请补全下面推理过程： 已知：如图，．求证：． 证明：，（______________） ______________________（等式性质）， 即∠_________=∠_________ （______________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，先根据，则，即，结合内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】证明：（已知）， （等式性质）， 即． （内错角相等，两直线平行）． 8．（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，的顶点在的边上，且，已知和全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】先利用平行线性质得角相等，再由线段相等推出边相等，最后根据判定三角形全等．本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 在和中， ∴ . 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，，与相交于点，过点作射线，，与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行内错角相等得到，再结合题意通过等量代换得到，最后根据同旁内角互补两直线平行得出结论． 【详解】解：平行，理由如下： ， ， ， ， ． 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，，点B，E分别是，上的点，连接，，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．根据，，证得，根据平行线的性质证得，再根据证得，进而得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，已知，连接，过点C作射线，使，那么成立吗？为什么？ 【答案】成立，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，先证明，结合，可得，从而可得答案． 【详解】解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知：如图，的平分线交于点F，交的延长线于点E． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义） ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴∥ （ ）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，根据平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（ 两直线平行，内错角相等 ）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义） ∴（等量代换）． 又∵（已知）， ∴∥ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；． 地 城 考点03 平行线的判定性质综合 一、填空题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，利用平行线的性质求出和，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， 由题意可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，，． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定（内错角相等、同位角相等判定两直线平行）与性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）．解题思想与方法：转化思想，将角的相等关系转化为直线的平行关系，再将平行关系转化为角的数量关系；方程思想，通过设未知数，利用角的数量关系列方程求解．解题关键：熟练运用平行线的判定定理和性质定理，准确找到角之间的关联，建立方程求解角度．易错点：在运用平行线的判定和性质时，容易混淆角的位置关系（如内错角、同位角、同旁内角的识别），导致推理错误；设未知数时，角的比例关系对应错误，影响方程的建立． （1）要证明，先看已知角的关系．由，根据“内错角相等，两直线平行”，得出．再由，利用“两直线平行，内错角相等”，得到．又因为，通过等量代换得到，最后根据“同位角相等，两直线平行”，证明． （2）已知，可设，则．由（1）知，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知．又因为，所以列方程，求解得，进而得出． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ， ． （2）解：设． ， ． ， ， ， 解得， ∴． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，有下列三个条件：①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】(1)一共能组成三个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么 (2)见解析 【分析】本题考查了命题的含义，平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系；故要求一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）根据命题的定义与组成部分写出命题的题设与结论即可； （2）根据平行线的性质或判定进行证明即可. 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么 ； （2）解：如果，，那么， 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴． 如果，，那么； 理由如下：∵， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么 ； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，即可得到结论； （2）由折叠知，，根据平行线的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 由折叠知，， ， ， ． 5．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知，． (1)判断，是否平行，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）根据平行线的性质及已知说明，再根据平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的性质解答即可； 解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 6．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，点D，E分别在线段，上，点F在线段上，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，请说明的理由． 【答案】(1)，理由见解析部分 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是通过角的关系推导直线平行，再利用平行得到角的关系，逐步解决问题． （1）由题意，得到，证得结论； （2）由题意，易得，有，，结合已知条件，得到结果． 【详解】解：（1），理由如下： ，， ， ； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， , 8．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，点D、E在边上，点F、G分别在边、上，且，与互补． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及判定． （1）根据平行线的性质及判定进行证明即可； （2）根据（1）中，可知，即可求得：． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ． 与互补， ， ， ∴； （2）解：， ， ∵， ， ， ． 地 城 考点04 平行线与三角形内角和综合 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）用两种方法证明“三角形没有公共顶点的两个外角的和等于与它们都不相邻的一个内角加上”．如图，，是的外角．求证． (1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)根据第二种思路，完成证明． 【答案】(1)①；②三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③；④ (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键． （1）根据三角形的内角和以及外角的性质填写即可； （2）过过作，利用平行线的性质，得、，通过即可得证． 【详解】（1）解：，是的外角， ，， ． 故答案为：①；②三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③；④． （2）解：如图，过作， ，， 由（1）得：，， ． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，三角形中，D是上的点，过点D作交于点E，F是上的点，连接，． (1)证明：； (2)当，平分时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线． （1）根据平行线的性质得到，可知，即可证明； （2）由平分可知，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）我们在小学已经通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形，求证：． 方法一：证明：如图，过点作． 方法二：证明：如图，过点作，延长到点． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义，选择方法一：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证；选择方法二：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】方法一：证明：如图，过点作， ∴，， ∵， ∴； 方法二：证明：如图，过点作，延长到点， ∴，， ∵， ∴． 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图①，在平面直角坐标系中，已知．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接，点是射线上一动点 (1)填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____ (2)当点P运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点E是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程； (3)当点在线段上运动时，若，求出点的坐标； (4)点P是射线上一动点（点P不与点C、D重合），连接、，直接写出、与的数量关系， 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据坐标平移的特点填空即可； （2）由平移的性质可知，，，得到，再结合角平分线的定义，得出，即可得出结论； （3）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式求得，结合题意，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在延长线上时，过点作，根据平行线的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点C，点的对应点为点D， 则点C的坐标是，点D的坐标是， 故答案为：；； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可知，，， ， ， 平分， ，即， ， ． （3）解：∵，， ∴， ∴， 又∵在线段上运动，点D的坐标是， ∴， ∴． （4）解：①如图，当点在线段上时，过点作交于点， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ； ②如图，当点在延长线上时，过点作， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ，即； 综上可知，，与的数量关系为或． 5．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，点分别是三角形的边上的点，，， (1)求证：． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）根据角平分线得出，再由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴； （2）解：平分 ∵， ． 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，且． (1)从图中任找出两组全等的三角形； (2)从（1）中任选一组进行证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题目所给条件可分析出①；②；③； （2）根据已知条件得出，进而根据，即可证明；根据平行线的性质得出，，进而得出，根据，即可证明，得出，，则，结合，即可证明． 【详解】（1）解：①；②；③ （2）选① 证明： 在和中 ②； 证明： ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ③ 证明：∵ ∴， ∴即 ∵ ∴ 在和中 ∴ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $