精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期12月份联合考试数学试题

辽宁省名校联盟2025年高三12月份联合考试 数学 审题人：大连市第二十四中学 张宁 陈宇 鞍山市第八中学 程明 阜新实验中学 陈志海 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性化简集合，即可根据补集和交集的定义求解. 【详解】由集合， 得. 故选:C 2. 若复数（其中 为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘方求出 ，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，，则， 所以 的共轭复数的虚部为 . 故选：B 3. 已知函数的定义域为 ，则是有最小值2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式、对钩函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时， 函数有最小值2，所以充分性成立； 令，得，要使，则 且 ，所以必要性不成立. 综上，是函数有最小值2的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再根据两圆恰有三条公切线可得两圆外切，从而得，化简即可. 【详解】由两圆的标准方程分别为和，得圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆恰有三条公切线，所以两圆外切， 所以，则，即， 故选：C 5. 已知在等腰三角形中， ， ， 是 的中点，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以 为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式计算可得结果. 【详解】在等腰三角形中， 是 的中点， 所以，所以， 以 为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，所以，， 则. 故选：D. 6. 过原点作曲线的两条切线，，切点分别为 ， ，则 的面积为（ ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：先设出切点坐标，再对求导找到切线的斜率，再根据切点在曲线上得出，由点斜式写出切线方程，又因为切线过点，求出，得到切点坐标，进而可求线段及 到 的距离最后计算出 的面积； 解法二：先设出切线方程与曲线方程联立通过得出切线的斜率进而得到切点坐标，进而可求线段及 到 的距离最后计算出 的面积. 【详解】解法一：因为，所以， 设切点，所以在 处的切线斜率， 所以在 处的切线方程为， 又点 在曲线上，所以， 所以在 处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线 的方程为， 整理得，又到 的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为 易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为 ，切点为，，联立， 整理得0，令，得 或， 由，得，所以， 当 时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线 的方程为，即0， 又到 的距离，则. 故选：A 7. 已知数列满足，， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把递推关系式化简得到，再计算出数列的前几项，即可得到数列是周期为6的周期数列，根据周期性计算即可. 【详解】因为，且， ， 故， 所以， 所以数列都是以6为一个周期的周期数列. 又，则，A项错误； 因为，所以，B项错误； 因为，所以，C项错误； 因为，所以，D项正确. 故选：D 8. 设、分别是函数与的零点，其中 ，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出关于的等式，然后根据对称性列出两者的关系式，然后构造新函数，求导判断单调性，最后根据的范围求出结果即可. 【详解】由 ，依题有， 即，同理， 因为函数与的图象关于直线 对称，函数的图象也关于直线 对称， 所以点与关于直线 对称，所以， 令，此时为，所以， 所以， 因为函数在内单调递减，所以. 故选：B. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个 B. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个 C. 直线与曲线 恒有公共点 D. 若曲线 为圆，则满足条件的值有且只有2个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、直线与圆锥曲线交点的有关知识分别分析每个选项. 【详解】对于A项，焦点在 轴上的椭圆条件为，且， 当 时，，满足； 当 时，，满足； 当时，，满足； 随着增大，指数函数增长快于多项式，故时均能满足，A项错误； 对于B项，焦点在 轴上的椭圆条件为且， 当 时，，满足； 其他值：时不满足，时，因此满足条件的仅有 个，B项正确； 对于C项，直线与曲线 联立，得：， 所以， ，因此直线与曲线恒有公共点，C项正确； 对于D项，曲线为圆的条件为， 当时，，满足； 当时，，满足； 其他值均不满足，因此满足条件的仅有 个，D项正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为， B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的单调递减区间是， 【答案】BD 【解析】 【分析】先化简函数解析式，然后根据正切函数的定义域、值域、周期和单调性逐项计算判断即可. 【详解】易知. 对于A项， 由题意得则定义域为且且，A项错误； 对于B项，的值域为 ，B项正确； 对于C项，因为没有意义，所以最小正周期不是，C项错误； 对于D项，由函数图象可知的单调递减区间是，D项正确. 故选：BD. 11. 如图， 是棱长为2的正方体的侧面上的一个动点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点 与点重合，则异面直线 与 所成角的大小为 B. 若点 满足，则动点 的轨迹长度为2 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当直线 与平面所成角为时，点 的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A, 先证明 平面，再证；对于B，如图②，取的中点的中点 ，连接，可证 ，再证，平面，由，得点 的轨迹为四边形中的边，即可求解；对于C， ，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点 到平面的距离最大，点 是正方体侧面内到平面距离最大的点，点 到平面的距离，进而可求解；对于D，如图③，易知为直线 与平面所成角，所以2，则点 的轨迹是以 为圆心， 半径的圆，即为弧，即可求解 【详解】对于A，当点 与点重合时， 如图①，连接，由正方形，知，由正方体知 平面，又 平面，所以，又， 平面，所以 平面，又 平面，所以，所以异面直线 与 所成角的大小为，A正确； 对于B，如图②，取的中点的中点 ，连接，由，得， 则，所以， 由 平面平面，得， 而 平面，所以平面，由，得点 的轨迹为四边形中的边，则动点 的轨迹长度为2，B正确； 对于C，显然为正三角形，，而，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点 到平面的距离最大，点 是正方体侧面内到平面距离最大的点，又三棱锥是棱长为的正四面体，所以点 到平面的距离， 则，C错误； 对于D，如图③，由平面，易知为直线 与平面所成角，所以2，则点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，即为弧，所以点 的轨迹长度为 ，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】左右同时平方，利用及二倍角公式即可得答案. 【详解】因为，左右同时平方得：， 所以，则， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题. 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 14. 已知函数，在上可导，其导数为，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：根据题意先求出，进而得到，最后利用裂项相消法计算得到结果； 解法二：对题干的恒等式进行求导，以及两边分别乘3得到两个式子，对比式子结构从而得到，化简得到，最后利用裂项相消法计算得到结果. 【详解】解法一： 设， 则， 记，，则， 又，所以，所以， 所以. 解法二： 由①， 得②， 由①得③， 由②③得，则，即， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，且. （1）求角 ； （2）若，角 的平分线交 于点 ，求线段 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换化简可得结果； （2）由三角形面积公式可得，再由等面积法可得，最后结合基本不等式得到线段 的取值范围. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 即， 所以，即， 又，所以 ，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 因为角 的平分线交 于点 ，则， 又，所以， 则，当且仅当时取等号， 所以线段 的取值范围为. 16. 如图，已知 是等腰直角三角形，，，平面，为 的中点. （1）若 平面 ，求 的值； （2）已知平面与平面的夹角为 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接，利用面面垂直的判定和性质可得 平面 ，进而证明四边形为平行四边形即可得到答案； （2）以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，先利用面面角的坐标公式求出 ，再利用线面角的坐标公式求解即可. 【小问1详解】 如图，取 的中点 ，连接， 因为平面， 平面 ，所以平面 平面 ， 因为 为等腰直角三角形，且 ，所以 ， 又平面平面， 平面，所以 平面 ， 又 平面 ，所以， 因为 ，为 的中点， 所以，且，所以， 又，所以四边形为平行四边形，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可知 平面 ， 平面，所以两两垂直， 故以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则即 令 ，则， 所以平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以， 设直线 与平面所成角为 ， 则， 所以直线 与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列满足，. （1）证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； （2）设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数 的最大值. 【答案】（1）证明见解析， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）将两边同时除以，令，利用数学归纳法证明，从而可得结果； （2）（i）由错位相减法计算可得结果；（ii）化简可得，令，计算可得，分析为奇数和为偶数时的单调性可知当时，有最小值，求出从而得到 的最大值. 【小问1详解】 由题意知， 令，则， 由，可得， 所以对任意，，即， 所以数列是常数列， 所以. 【小问2详解】 （i），则， ， 所以， 所以. （ii）由题意知，即. 令，则， 当为奇数时，，所以单调递减， 当为偶数时，，所以单调递增. 所以当时，有最小值，且， 所以 的最大值为. 18. 已知椭圆与椭圆，则称，为“共轭”椭圆， （1）求证：“共轭”椭圆，的交点共圆； （2）若（1）中圆的半径为，请给出离心率为的“共轭”椭圆，的方程； （3）若“共轭”椭圆的离心率为，直线与“共轭”椭圆，的交点分别为 ， 和 ， ，设，且存在 使得有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）联立两个椭圆方程即可证明； （2）根据（1）中圆的半径和（2）中给定的离心率，建立关于 的方程组，解出的值，即得答案； （3）联立直线与椭圆，用韦达定理、弦长公式求，确定其取值范围，转化不等式有解为，用导数得 的范围. 【小问1详解】 证明：联立曲线的方程， 有，则， 所以曲线的交点共圆. 【小问2详解】 由（1）可知， 而椭圆的离心率为，则有，解得， 则曲线，曲线 【小问3详解】 因为，则设曲线， 曲线， 直线 与曲线的方程联立得，即， 由题意得， 所以，则. 直线 与曲线的方程联立得，即， 由题意得，所以，则. ，即. 若有解，即有解. 设，则，当时，单调递增， 因为，所以在内单调递增，所以， 所以 的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的最小值； （2）已知 ， ，若函数有三个零点，，，且. （i）求 的取值范围； （ii）证明： . 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）证明：解法一：由题意知，又注意到 ， 所以 ，即 . 因为是的零点，所以，要证 ， 即证 ，即证 ， 令 ， 则证 . 则 ，令 ，则，令 ，则， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 而 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 而 ，则 在 上恒成立，所以 在 上单调递增， 而 ，则 在 上恒成立， 则原不等式成立. 解法二：由题意知，又注意到 ，所以 ，即 . 当 时，先证明不等式恒成立， 设， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 ， 即当 时，不等式恒成立. 由 ，可得， 即，两边同除以得 ， 又 ，所以 ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性，即可求解最值， （2）求导，得函数的单调性，结合 ，进而计算 ，构造函数判断单调性可得其正负，即可求解（i），根据 ，可得 ，进而将问题转化为 ，利用导数即可求解，或者构造，由导数求解. 【小问1详解】 当时， ， 令 ，则， 即函数 在 上单调递减，在 , 上单调递增，故函数 ，所以在 上单调递增，则在, 上的最小值为. 【小问2详解】 （i）解：由， 得 ，则 . 因为 ，当且仅当 时取等号，所以当 时， ， 所以函数在 上单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意； 当 时，令 ，得， 当 或 时， ， 当 时， ， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增， 注意到 ，当 时，， ， 所以. 又 ， 令 ，则， 当 时， ，当 时， ， 所以 在上单调递增，在 上单调递减，故 ， 所以 ，因为 ，所以 ，且 ， 则 ， ， 所以在 内恰有一个零点（即在 有一个零点），在， 内有一个零点，即 ，在内有一个零点，故有三个零点， 则 的取值范围为 . （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高三12月份联合考试 数学 审题人：大连市第二十四中学 张宁 陈宇 鞍山市第八中学 程明 阜新实验中学 陈志海 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中 为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知函数的定义域为 ，则是有最小值2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在等腰三角形中， ， ， 是 的中点，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 过原点作曲线的两条切线，，切点分别为 ， ，则 的面积为（ ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 5 7. 已知数列满足，， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别是函数与的零点，其中 ，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个 B. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则满足条件的值有且只有1个 C. 直线与曲线 恒有公共点 D. 若曲线 为圆，则满足条件的值有且只有2个 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为， B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数的单调递减区间是， 11. 如图， 是棱长为2的正方体的侧面上的一个动点，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点 与点重合，则异面直线与 所成角的大小为 B. 若点 满足，则动点 的轨迹长度为2 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当直线与平面所成角为时，点 的轨迹长度为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知函数，则不等式的解集为__________. 14. 已知函数，在上可导，其导数为，，若，则成立，英国数学家泰勒发现了一个恒等式：，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其面积为S，且. （1）求角； （2）若，角的平分线交 于点 ，求线段的取值范围. 16. 如图，已知 是等腰直角三角形，，，平面，为 的中点. （1）若 平面 ，求 的值； （2）已知平面与平面的夹角为，求直线 与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列满足，. （1）证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； （2）设，为的前项和. （i）求； （ii）若，恒成立，求实数 的最大值. 18. 已知椭圆与椭圆，则称，为“共轭”椭圆， （1）求证：“共轭”椭圆，的交点共圆； （2）若（1）中圆的半径为，请给出离心率为的“共轭”椭圆，的方程； （3）若“共轭”椭圆的离心率为，直线与“共轭”椭圆，的交点分别为 ，和 ， ，设，且存在 使得有解，求实数 的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的最小值； （2）已知 ， ，若函数有三个零点，，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $