专项训练01分式方程的应用（知识点总结+ 9大题型+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级上册易错点重难点培优专题复习

专题01 分式方程的应用 【题型1】销售利润问题（进价、售价、销量） 1.题型考点总结 考查，结合进价变化、销量倍数关系构建方程。 涉及打折销售、补货进货等实际场景，需注意单位统一与解的合理性。 2.解题攻略 设商品进价或售价为未知数，用“总金额÷单价”表示销量。 根据“销量倍数”“利润达标”等条件列方程，验根时排除进价为负、售价低于成本等情况。 【例题1】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20％，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个． (1)该商店A款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【答案】(1)款产品的购进单价为30元 (2)款产品降价2元时，每天可获利192元 【分析】本题考查一元二次方程的应用和分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设商店A款产品的购进单价为元，则商店B款产品的购进单价为元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可； （2）设A款产品降价元，则每日多售出件，根据每天利润为192元建立一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设款产品的购进单价为元，则款产品的购进单价为元 解得： 经检验，是原分式方程的解． 答：款产品的购进单价为30元． （2）解：设款产品降价元． ， 不符合题意，应舍去． 答：款产品降价2元时，每天可获利192元． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． (1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； (2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 【答案】(1)甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元 (2)最少需购买4盒甲种茶叶礼盒 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，理解题意列出方程与不等式是解题关键； （1）设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元，根据等量关系：用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同，列出方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒，根据不等关系式：总金额不超过1100元，列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元； （2）解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为4． 答：最少需购买4盒甲种茶叶礼盒． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，③ (2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元，过程见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所列方程和题意即可得到答案； （2）解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，建立方程求解即可；解法二，设甲种商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， 故答案为：①，③； （2）解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元． 【题型2】和差倍分与比值问题 1.题型考点总结 考查利用和差关系、倍数关系、比例关系列分式方程。 侧重间接设元，将比例中的未知量表示为(为比例系数)。 2.解题攻略 若含比例，设比例系数为，用表示相关量；若含和差，直接设较小量为。 根据题干中的“多/少”“是几倍”等关键词找等量关系。 检验解是否满足比例或和差的实际情境。 【例题2】．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 【变式题2-1】．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 【变式题2-2】．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天”列方程求解即可． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 【题型3】行程问题（相遇、追及、顺逆水） 1.题型考点总结 核心考查的数量关系，结合速度变化、时间差构建分式方程。 重点检验方程解的实际意义，排除速度为负、时间不合理等情况。 2.解题攻略 设关键量为未知数（通常设速度），用含未知数的式子表示路程或时间。 根据“路程相等”“时间差固定”等条件列方程，解后必验根，确保符合实际场景。 【例题3】．（2025·江苏宿迁·三模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设善行者走里时就赶上了不善行者，当善行者开始出发到善行者追上不善行者时，不善行者所走的路程为里，当善行者走100里时，不善行者走了里，据此列出方程即可． 【详解】解：设善行者走里时就赶上了不善行者， 根据题意得， 故选：A． 【变式题3-1】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走苏伊士运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国上海港出发，原来走苏伊士运河航线海运里程约公里，取道北极航线海运里程缩短公里，时间节省天，因北极航线临近大陆，风浪较小，平均速度是原来的倍．求集装箱货轮走北极航线平均每天航行多少公里？ 【答案】集装箱货轮走北极航线平均每天航行600公里 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并列出分式方程是解题的关键；设集装箱货轮原来走苏伊士运河航线平均每天航行公里，则走北极航线平均每天航行公里，表示出走两条航线的时间，根据“时间节省20天”列出分式方程，解分式方程，最后检验即可． 【详解】解：设集装箱货轮原来走苏伊士运河航线平均每天航行公里，则走北极航线平均每天航行公里． 走苏伊士运河航线里程20000公里，航行时间为天； 走北极航线里程为（公里），航行时间为天； 时间节省20天，故列方程：， 化简， 即，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 北极航线平均每天航行里程：（公里）． 答：集装箱货轮走北极航线平均每天航行600公里． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 【答案】(1)千米/小时 (2)千米 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数的运算的实际应用，精确度，掌握相关知识解决问题的关键． （1）设“云鹗”仿生飞行器的速度为千米/时，则“信鸽”的速度为千米/时，表示出各自飞5千米的时间，以“信鸽”仿生飞行器飞行5千米比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟为等量关系列方程即可； （2）将3小时5分30秒换算为以小时为单位，分别计算两者飞行的路程，然后做差即可，最后按题目要求进行精确． 【详解】（1）解：设“云鹗”仿生飞行器的速度为千米/时，则“信鸽”的速度为千米/时， 解得 经检验，是原方程的解， 则“信鸽”的速度为千米/时； 答：“信鸽”仿生飞行器的速度是千米/时． （2）解：3小时5分30秒小时， “信鸽”飞行的路程：千米， “云鹗”飞行的路程：千米， 多飞行的路程：千米． 答：“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行约千米． 【变式题3-3】．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 【题型4】工程问题（单独/合作完工） 1.题型考点总结 围绕，涉及单人完工时间、多人合作效率等关系。 常以“总工作量为”为隐含条件，考查分式方程的建立与检验。 2.解题攻略 设单独完工时间为未知数，推导各主体工作效率（）。 根据“各部分工作量之和=总工作量”列方程，注意合作时间与单独工作时间的关联。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换公里钢轨比一个人工工作队更换公里钢轨所用时间少小时． (1)求一辆型快速换轨车每小时更换钢轨多少公里； (2)现在有一个紧急维修任务，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台型快速换轨车和多个人工工作队同时协同作业，假设每个人工工作队的速度相同，求至少需要多少个人工工作队才能完成这个紧急维修任务？ 【答案】(1)2 (2)8 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆型快速换轨车每小时更换钢轨公里，用总量除以速度表示时间，根据时间差列方程求解． （2）设需要y个人工工作队，使用1辆换轨车和y 个人工队同时作业总速度为每小时公里，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，根据速度乘以时间为完成的工作总量要不小于公里列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆型快速换轨车每小时更换钢轨公里 解得 经检验是原方程的解， 公里， 答：一辆型快速换轨车每小时更换钢轨2公里； （2）解：设需要y个人工工作队， ， ∴至少需要 8 个人工工作队． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： (1)解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； (2)解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； (3)根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 【答案】(1)①， (2)②， (3)选解法一，甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 【分析】该题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意即可解答； （3）选择一种方法解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，解法一所设的未知数表示甲工人每天加工零件的个数；根据等量关系可列出方程为． 故答案为：①；． （2）解：根据题意，解法二所设的未知数表示甲工人加工2000个零件所用的天数， 根据等量关系可列出方程为：， 故答案为：②；． （3）解：选解法一：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 选解法二：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 【题型5】方案设计问题（经费/数量限制） 1.题型考点总结 结合分式方程求解基础量（如单价、效率），再根据经费、数量限制设计最优方案。 考查方程与不等式的综合应用，需筛选符合条件的整数解。 2.解题攻略 先通过分式方程求出关键量（如单价、人数），再设方案中变量（如进货数量）。 根据“总费用≤预算”“数量关系限制”列不等式，枚举整数解得到所有可行方案。 【例题5】．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【答案】(1)> (2)，理由见解析 (3)①，；②小李加油方式平均油价更低 【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先求出，再根据除法的计算法则即可求解； （2）化简，由且，可得，进而求解； （3）①根据：加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量，列代数式即可；②用小李的平均油价减去小刘的平均油价，如果大于0则小刘的省钱，如果小于0则小李的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：>； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵，且 ∴， ∴， ∴， 即； （3）①小李两次所加油的平均单价为： （元/升）； 设小刘每次加油量为V升． ∴小刘两次加油的平均单价为： （元/升）； 故答案为：，； ② ， ∵,,且， ∴， ∴， ∴， 即， 答：小李加油的平均单价低． 【变式题5-1】．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同． (1)分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用． (2)若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？ (3)在（2）的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？ 【答案】(1)租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元 (2)共3种租车方案：中客车0辆，大客车12辆；中客车7辆，大客车7辆；中客车14辆，大客车2辆； (3)租用大客车12辆最优惠． 【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设租用m辆中客车，n辆大客车，根据题意列二元一次方程得到，再根据m、n 为非负整数，进而得到满足条件的m、n值即可解答； （3）分别求得（2）中方案所花费用，然后比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车元 由题意得： 解得 经检验是所列方程的解，且符合题意 中客车：（元） 答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元； （2）解：设租用m辆中客车，n辆大客车 由题意得：，即， ∴， ∵m、n 为非负整数， ∴或或， 共3种租车方案：方案一：租用中客车0辆，大客车12辆；方案二：租用中客车7辆，大客车7辆；方案三：租用中客车14辆，大客车2辆； （3）解：租用中客车0辆，大客车12辆费用：（元）， 租用中客车7辆，大客车7辆费用：（元）， 租用中客车14辆，大客车2辆费用：（元） ∵ ∴租用大客车12辆最优惠． 【变式题5-2】．（24-25七年级下·浙江·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【答案】(1)机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元 (2)机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为 (3)共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程和方程组是解题的关键． （1）设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元，根据购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元建立方程组求解即可； （2）设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为，根据运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同建立方程求解即可； （3）设购买a只机器狗，购买b台无人机，根据总费用为160万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设机器狗的采购单价为x万元，无人机的采购单价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：机器狗的采购单价为12万元，无人机的采购单价为10万元； （2）解：设机器狗的单次最高载货量为，则无人机的单次最高载货量为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：机器狗的单次最高载货量为，无人机的单次最高载货量为； （3）解：设购买a只机器狗，购买b台无人机， 由题意得，， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机； 方案一的单次最高载货量为， 方案二的单次最高载货量为， ∵， ∴方案二的单次载货总量最高， 答：共有两种采购方案：方案一，购买5只机器狗，10台无人机；方案二、购买10只机器狗，4台无人机；方案二的单次载货总量最高． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 【题型6】增长率/减少率问题 1.题型考点总结 核心公式：，涉及连续增长/减少或正反转化（如增长率与减少率互求）。 考查对“原量”“新量”的辨析，避免变量对应错误。 2.解题攻略 设原量或增长率为未知数，明确两次变化中“原量”的切换（如增长后的量为下一次变化的原量）。 根据“新量与原量的倍数关系”列方程，验根时确保增长率在合理范围（）。 【例题6】．（24-25八年级下·吉林长春·期中）2024年3月14日是“第五个国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品、在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔费60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔的单价． (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，求学校最多购买了钢笔作为奖品的支数． 【答案】(1)前期电话询问时钢笔的单价是8元 (2)学校最多购买了62支钢笔作为奖品 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据数量=费用单价，结合题意“花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支”，即可得到等量关系，列出分式方程求解，并检验解即可； （2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据费用=单价数量，找到题目中的数量关系：购买自动铅笔费用+购买钢笔费用1250元，列出不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：前期电话询问时钢笔的单价是8元； （2）解：由（1）可知：自动铅笔的单价是5元， 设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为62， 答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品． 【变式题6-1】．（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【答案】(1)“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱 (2)本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． (3)购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准数量关系，正确列出一元一次不等式组：(3)正确列式计算． (1)设“妃子笑”的进价为x元/箱，则“荔枝王”进价为元/箱，根据“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高，“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱，结合进货单中的总金额，列出分式方程，解分式方程即可； (2)设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱，根据费用不超过5060元.且“荔枝王”数量需大于50箱，结合(1)的结论，列出一元一次不等式组，解不等式组即可； (3)分别计算出各方案的利润，进行比较即可． 【详解】（1）解：设“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“妃子笑”的进价为元/箱，则“荔枝王”的进价为元/箱； （2）解：设购进“荔枝王”y箱，则购进“妃子笑”箱， 由题意得：’ 解得：， ∵y为正整数， ∴或或， ·本次进货方案有3种： ①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱； ②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱； ③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱； 答：本次进货方案有3种：①购进“荔枝王”51箱、“妃子笑”49箱；②购进“荔枝王”52箱、“妃子笑”48箱；③购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱． （3）解：①方案的利润为： (元)， ②方案的利润为：（元）， ③方案的利润为： (元)， ∵， ∴③方案利润最大，最大是1424元， 答：购进“荔枝王”53箱、“妃子笑”47箱的方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大，最大是1424元． 【变式题6-2】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 【答案】(1)款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用等知识，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元，根据两款摩托车共120辆建立方程，解方程即可得； （2）先求出9月份，款摩托车的售价和销量，再根据两款摩托车的总销售额是8月的倍还少万元建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以， 答：款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元． （2）解：由（1）可知，在8月份，款摩托车的销量为辆，款摩托车的销量为辆， 则在9月份，款每辆售价为万元，销量为辆；款每辆售价为万元，销量为辆， 由题意得：， 解得， 答：的值为20． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 【答案】(1)1600元 (2)30辆 【分析】本题主要考查了列分式方程和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找准等量关系和不等关系． （1）设今年售价为元，则去年售价为元，根据数量相等列出方程求解即可； （2）设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据利润列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：设今年售价为元，则去年售价为元，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴今年A型车每辆售价为1600元； （2）解：设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据题意得， ， 解得， ∴A型车至多进30辆． 【题型7】浓度问题（溶液稀释/浓缩） 1.题型考点总结 围绕，涉及两种溶液混合、加水稀释等场景。 考查溶质质量不变的隐含条件，需区分溶液、溶质、溶剂的关系。 2.解题攻略 设溶液质量或浓度为未知数，保持溶质质量不变为核心等量关系。 列方程时注意浓度的表示形式（如化为)，验根排除浓度超范围()的情况。 【变式题7-1】．（2025·安徽滁州·二模）用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 【答案】蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 【分析】本题考查分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍．根据前后的浓度关系列出方程求解即可，注意检验． 【详解】解：设蒸发掉克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍． 依题意，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解 答：蒸发掉20克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍 22．（25-26八年级上·河北保定·期中）医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 设需要加水，根据稀释前后酒精质量不变，列出方程求解． 【详解】初始酒精质量为 ． 加水后总质量为 ，酒精质量不变，浓度为 ，即 解方程得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 故需要加水． 故答案为：． 【变式题7-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）随着人们对生命健康的关注度的提高，医用酒精也逐渐成为家庭中的必备品．药店可以买到和两种浓度的酒精，人们通常选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将2浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据稀释前后溶质保持不变进行列式即可．本题考查了列分式方程解应用题，关键是了解浓度问题中的等量关系：浓度溶质质量溶液质量． 【详解】解：2浓度为的酒精中溶质的质量为， 加水后，溶液质量为，溶质质量保持不变， ∵浓度变为， ∴． 故选：C． 【变式题7-3】．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【题型8】购物优惠问题(满减、折扣叠加) 1.题型考点总结 涉及“满减后单价”“折扣叠加后总价”，结合构建分式方程。 考查对优惠规则的解读，区分“满减门槛”“折扣适用范围”。 2.解题攻略 设商品原价或购买数量为未知数，根据优惠规则表示实付款金额。 结合“单价相等”“总价达标”等条件列方程，验根排除原价为负、数量非正整数的情况。 【例题8】．（2025·广东深圳·二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费元，其中购买A型号“文房四宝”花费元． (1)求每套型号的“文房四宝”的标价． (2)该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满套送一套的优惠价，已知，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为元和元，学校购买了A型号“文房四宝”套，若通过此单生意，该店获利不低于元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？ 【答案】(1)每套型号的“文房四宝”的标价为100元； (2)该校至少买了套型“文房四宝”． 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系正确列方程，找出数量关系正确列不等式． （1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可； （2）设该校至少买了套型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每套型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套型号的“文房四宝”的标价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， 答：每套型号的“文房四宝”的标价为100元． （2）解：设该校至少买了套型“文房四宝”， 由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元）， 当 时，根据题意，得： ， 解得：（舍去）， 当时，根据题意，得： ， 解得： ∵为整数， ∴最小取， 综上，该校至少买了套型“文房四宝”． 答：该校至少买了套型“文房四宝”． 【变式题8-1】．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）某鲜花店销售A种鲜花每束的单价比B种多6元，张阿姨发现：用720元购得的A种鲜花与用600元购得的B种鲜花的束数一样多．母亲节前夕，该鲜花店推出优惠活动方案：购买A种鲜花，前10束（含10束）按原价销售，购买超过10束的部分可以按原价的五折销售；购买B种鲜花，每束都按原价的七五折销售． (1)求该鲜花店A、B两种鲜花的单价各是多少元？ (2)某公司准备购进 m 束（）同种鲜花，请问该如何购买更合算？请通过计算说明． 【答案】(1)该鲜花点A种鲜花的单价是36元，B种鲜花的单价是30元； (2)当购买数量大于10束，少于40束时，都购买B种鲜花；当恰好购买40束时，购买A种或B种鲜花费用相等；当购买超过40束时，都购买A种鲜花 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出分式方程和不等式是解题的关键． （1）设该鲜花点A种鲜花的单价是x元，根据用720元购得的A种鲜花与用600元购得的B种鲜花的束数一样多列分式方程求解； （2）分别计算出都购买A种鲜花和都购买B种鲜花的费用，再分三种情况求出m的值即可． 【详解】（1）解：鲜花店A种鲜花的单价是x元，则B种鲜花的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：该鲜花点A种鲜花的单价是36元，B种鲜花的单价是30元； （2）解：都购买A种鲜花，费用元， 都购买B种鲜花，费用元， 当时，解得，故当时都购买B种鲜花合算； 当时，解得，此时都购买A种鲜花或都购买B种鲜花，费用相等； 当时，解得，此时都购买A种鲜花合算； 综上，当购买数量少于40束时，都购买B种鲜花；当恰好购买40束时，购买A种或B种鲜花费用相等；当购买超过40束时，都购买A种鲜花． 【变式题8-2】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 【答案】（1）慢车的速度为（2）当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）设慢车的速度的速度为，根据快车的速度是慢车速度的1.2倍，慢车先行，出发后，快车前行，两车同时到达游览区，列出方程进行求解即可； （2）根据两种方案分别列出代数式，进行求解判断即可． 【详解】解：（1）设慢车的速度的速度为，由题意，得： ， 解：， 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：慢车的速度为； （2）按照方案一付费：元； 按照方案二付费：； 当，即：时，两种付费方式费用相同； 当，即：时，按照方案二付费更优惠； 当，即：时，按照方案一付费更优惠； 答：当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费． 【变式题8-3】．（2025·广东深圳·二模）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 【答案】任务1：红粉西红柿进价为每千克5元，有机西红柿进价为每千克7.5元；任务2：每千克10元；任务3： 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元，根据同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多建立方程求解即可； 任务2；设标价（白天的售价）为每千克元，分别求出白天和晚上的销售额，再根据利润不低于建立不等式求解即可； 任务3：可计算得到九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱，那么在八折时刚好卖完即可或者最大利润，据此求解即可． 【详解】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克元，则有机西红柿进价为每千克元 由题意可得：， 解得： 经检验，是方程的根，且符合题意 答：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元 任务2：设标价（白天的售价）为每千克元， 由题意可得：， 解得：， 标价（白天的售价）最低价为每千克10元； 任务3： 九折和八折有利润，七折，六折和五折时亏钱 ， 每天进货时利润最大． 【题型9】数字问题(分数、整数数位) 1.题型考点总结 涉及分数的分子分母变化、整数的数位调整(如两位数)，构建与原数相关的分式方程。 考查数位表示方法与分数性质的结合应用。 2.解题攻略 设分子、分母或数位上的数字为未知数，用代数式表示变化前后的数(如分子加后为)。 根据“新数与原数的和/差/倍关系”列方程，验根确保数字为整数且符合数位规则(个位数字，十位数字)。 【例题9】．（25-26九年级上·重庆·期中）对于任意一个四位数，如果它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数为“勤思数”，记的各数位上的数字之和为． 若是“勤思数”，且，则四位数是 ，， 均为“勤思数”，，（，，且，，，，，均为整数），若 ，且为整数，则满足条件的所有的值和为 ． 【答案】 1936 5453 【分析】本题考查了整式加减的应用、解二元一次方程组、分式的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用枚举法是解此题的关键． 对于第一部分，根据“勤思数”的定义和数字和条件，列方程求解得到四位数；对于第二部分，根据“勤思数”的定义和给定条件，推导出参数关系，通过枚举可能值并验证条件，得到唯一的值，求和即可． 【详解】解：第一部分：根据“勤思数”定义，有，即， 数字和，即， 联立，解得：，， 故四位数为1936． 第二部分：， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为4，个位数字为． 根据“勤思数”定义，有，， 数字和， ． ， ． 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，， 此时，则，不符合实际； 只有当，时，符合题意． ． ． 为整数，， ，解得． ， ． ． 只有这一种情况符合题意， 故答案为：1936，5453． 【变式题9-1】．（25-26九年级上·重庆·期中）若一个四位数的千位数字与百位数字之差等于2，十位数字与个位数字之差等于4，则称这个四位数为“二四数”，若四位数的千位数字与百位数字之差等于3，十位数字与个位数字之差等于6，则称这个四位数为“三六数”．则最大的三六数与最小的二四数的差是 ；若数p、q分别为“二四数”和“三六数”，它们的个位数字均为3，p、q 的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，则此时的最大值为 ． 【答案】 7653 【分析】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是理解“二四数”和“三六数”的定义．依据题意，由已知，根据“二四数”和“三六数”的定义求解即可． 【详解】解：最小的“二四数”：百位数字为0，千位数字最小为2； 十位数字与个位数字之差为4，个位数字最小为0，十位数字为4，故为2040； 最大的“三六数”：千位数字最大为9，百位数字为6；十位数字与个位数字之差为6，十位数字最大为9，个位数字为3，故为9693； 差：； 设数的百位数字分别为， 则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为7，9， ，， ， ∵为整数，都是整数， ∴或， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴时，存在最大值， 满足条件的有或或或或， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 其中最大， ∴的最大值为． 故答案为：7653；． 【变式题9-2】．（24-25八年级下·重庆·期末）若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则 ；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的分式运算． 根据“梦幻数”的定义取符合条件的最小的数求出是，代入计算即可；根据“梦幻数”的定义得到，，可得，由E是整数可知为2的倍数且为5的因数，即可得到，计算即可． 【详解】解：∵是最小的“梦幻数”， 百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1， ∴是， ∴； ∵是“梦幻数”， 且满足的千位数字为，十位数字为8， ∴是即（）， ∴， ∵是“梦幻数”， 的百位数字为6，十位数字是， ∴是即（或）， ∴， ∴ ， ∵为整数， ∴为2的倍数且为5的因数（c、a均为正整数且，或） 当为5的因数时，或或， ∵为2的倍数，且取最大值，，或， 当时，，当时，； 当时，，当时，； 当时，，当时，； 综上所述，当时，取最大值， ∴，， ∴． 故答案为：；． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·福建厦门·期末）一个各数位均不为0的三位自然数，满足，则称这个三位数为“双倍数”．例如：三位数147，因为，所以147是“双倍数”． (1)若，且，求这个“双倍数”M的值； (2)若是一个“双倍数”，且满足，是整数．求满足条件的W的最大值． 【答案】(1) (2)W的最大值是22 【分析】本题考查了新定义下的三位数问题、二元一次方程组的应用以及整数的性质．解题的关键是理解“双倍数"的定义，结合数位特征列出关系式，通过代数式化简和整数整除性分析求解，同时注意数位上数字的取值范围及整数除法的准确性． （1）根据"双倍数"定义和已知条件列出关于a、c 的方程组；解方程组得到a、c的值，确定三位数 M． （2）由"双倍数"定义和，用b表示a、c；根据数位数字范围确定b的可能取值；表示出M和W的表达式，结合W是整数的条件筛选b 的值；求出W的最大值． 【详解】（1）已知三位数是"双倍数"， ∵，且，． ∴联立方程组：，解得， 因此，“双倍数”． （2）∵，， ∴， ∴， 代入W的表达式：， 因为W是整数，所以能被14整除． ∵a、b、c是各数位上的数字（，且均不为0）， ∴，即，即，因此b的取值为，分别代入验证： 当b为奇数时，必为奇数，而分母14中包含因数2，此时W不是整数，排除； 当时，，不是整数，排除； 当时，，是整数，满足条件． 因此，符合条件的W的最大值为 22． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 故选B． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（    ） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【详解】解：设第一次分钱的人数为 ，则第二次分钱的人数为． 第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ． 对比乐乐所列方程 ， 可得 ，即 ， 表示第二次分钱的人数． 故选：B． 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设原计划平均每天生产台机器，则现在平均每天生产台机器， 根据题意得，， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·期中）学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，根据实际平均每人制花数量比原定多15朵，列出分式方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，则原定全班平均每人制作朵红纸花．实际有10名同学因排练节目未参加，因此实际参加劳动的同学有人，平均每人制作朵． 根据题意，实际平均每人制花数量比原定全班平均每人数量多15朵，故可得方程 ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是，根据整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，列出分式方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，但不符合题意，舍去， 答：整治后车辆通过该路段的平均时间是． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖南常德·期中）某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元．根据购进金额和进价，可求得A和B水果的数量。再根据A水果数量比B水果数量少的关系，列出方程． 【详解】设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元． 花费元购进A水果的数量为件，花费元购进B水果的数量为件． 由题意，A水果数量比B水果数量少，即A水果数量是B水果数量的，因此有：． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 12．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元 (2)该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元． （2）解：设购进乙种商品个，则购进甲种商品个， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或25， 该商场购进甲、乙两种商品有2种方案： ①购进甲种商品67个，乙种商品24个； ②购进甲种商品70个，乙种商品25个． 13．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【分析】本题考查的是分式方程的工程问题，工程问题中三个量的关系为工作量工作效率工作时间，工作全部完成工作量是，理解题意列出方程是问题求解的关键． 先设乙队单独完成这项工程需要天，结合题目已知条件得甲队每天可完成工程的，乙队每天可完成工程的，列方程，求解方程得到，进而完成求解． 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意列方程，， 解得：． 答：乙队单独完成这项工程需要天． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）一艘轮船从A港口向B港口行驶，以在本航线航行时的常规速度走完全程的，此后航速减小了10海里/时，并以此速度一直行驶到B港口．这样，本次航行减速后行驶所用的时间和减速前行驶所用的时间相等．那么，这艘轮船在本航线上的常规速度是多少？ 【答案】海里时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用（行程问题），熟练掌握“路程速度时间”的关系，并根据时间相等的条件建立方程是解题的关键． 设常规速度为未知数，根据“减速后行驶时间与减速前时间相等”，结合路程、速度、时间的关系列方程求解． 【详解】解：设轮船在本航线上的常规速度为海里/时，全程为．由题意可得， ， 解得， 经检验是原分式方程的解， 答：这艘轮船在本航线上的常规速度是海里时， 15．（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1)元；元； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； (3)超过． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据表格信息解答即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （3）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 燃油车每千米行驶的费用为元，新能源车每千米行驶的费用为元； 故答案为：元；元； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ，解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （元），（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得：，解得， 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式方程的应用 【题型1】销售利润问题（进价、售价、销量） 1.题型考点总结 考查，结合进价变化、销量倍数关系构建方程。 涉及打折销售、补货进货等实际场景，需注意单位统一与解的合理性。 2.解题攻略 设商品进价或售价为未知数，用“总金额÷单价”表示销量。 根据“销量倍数”“利润达标”等条件列方程，验根时排除进价为负、售价低于成本等情况。 【例题1】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20％，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个． (1)该商店A款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【变式题1-2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． (1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； (2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2) 请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【题型2】和差倍分与比值问题 1.题型考点总结 考查利用和差关系、倍数关系、比例关系列分式方程。 侧重间接设元，将比例中的未知量表示为(为比例系数)。 2.解题攻略 若含比例，设比例系数为，用表示相关量；若含和差，直接设较小量为。 根据题干中的“多/少”“是几倍”等关键词找等量关系。 检验解是否满足比例或和差的实际情境。 【例题2】．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【变式题2-1】．（25-26九年级上·重庆江北·期中）某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【变式题2-2】．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【题型3】行程问题（相遇、追及、顺逆水） 1.题型考点总结 核心考查的数量关系，结合速度变化、时间差构建分式方程。 重点检验方程解的实际意义，排除速度为负、时间不合理等情况。 2.解题攻略 设关键量为未知数（通常设速度），用含未知数的式子表示路程或时间。 根据“路程相等”“时间差固定”等条件列方程，解后必验根，确保符合实际场景。 【例题3】．（2025·江苏宿迁·三模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】．（25-26九年级上·云南昆明·期中）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走苏伊士运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国上海港出发，原来走苏伊士运河航线海运里程约公里，取道北极航线海运里程缩短公里，时间节省天，因北极航线临近大陆，风浪较小，平均速度是原来的倍．求集装箱货轮走北极航线平均每天航行多少公里？ 【变式题3-2】．（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 【变式题3-3】．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【题型4】工程问题（单独/合作完工） 1.题型考点总结 围绕，涉及单人完工时间、多人合作效率等关系。 常以“总工作量为”为隐含条件，考查分式方程的建立与检验。 2.解题攻略 设单独完工时间为未知数，推导各主体工作效率（）。 根据“各部分工作量之和=总工作量”列方程，注意合作时间与单独工作时间的关联。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·课后作业）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换公里钢轨比一个人工工作队更换公里钢轨所用时间少小时． (1)求一辆型快速换轨车每小时更换钢轨多少公里； (2)现在有一个紧急维修任务，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台型快速换轨车和多个人工工作队同时协同作业，假设每个人工工作队的速度相同，求至少需要多少个人工工作队才能完成这个紧急维修任务？ 【变式题4-3】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： (1)解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； (2)解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； (3)根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 【题型5】方案设计问题（经费/数量限制） 1.题型考点总结 结合分式方程求解基础量（如单价、效率），再根据经费、数量限制设计最优方案。 考查方程与不等式的综合应用，需筛选符合条件的整数解。 2.解题攻略 先通过分式方程求出关键量（如单价、人数），再设方案中变量（如进货数量）。 根据“总费用≤预算”“数量关系限制”列不等式，枚举整数解得到所有可行方案。 【例题5】．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【变式题5-1】．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同． (1)分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用． (2)若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？ (3)在（2）的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？ 【变式题5-2】．（24-25七年级下·浙江·期末）某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物．已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元，购进4只机器狗和1台无人机需58万元． (1)求机器狗和无人机的采购单价． (2)满载情况下，每只机器狗比每台无人机单次多载，运送货物所需的机器狗数量恰好与运送货物所需的无人机数量相同，求机器狗和无人机的单次最高载货量． (3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完，请根据上述信息列出所有的采购方案．并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·北京房山·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【题型6】增长率/减少率问题 1.题型考点总结 核心公式：，涉及连续增长/减少或正反转化（如增长率与减少率互求）。 考查对“原量”“新量”的辨析，避免变量对应错误。 2.解题攻略 设原量或增长率为未知数，明确两次变化中“原量”的切换（如增长后的量为下一次变化的原量）。 根据“新量与原量的倍数关系”列方程，验根时确保增长率在合理范围（）。 【例题6】．（24-25八年级下·吉林长春·期中）2024年3月14日是“第五个国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品、在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔费60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔的单价． (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，求学校最多购买了钢笔作为奖品的支数． 【变式题6-1】．（24-25八年级下·河北保定·期末）荔枝是岭南四大佳果之一，北宋诗人苏轼为之写下“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”的绝句．大润发超市购进“荔枝王”和“妃子笑”两种荔枝的进货单已被污染（如图）． 商品采购员王阿姨和仓库管理师傅张师傅对采购情况回忆如下： 王阿姨：我记得“荔枝王”进价比“妃子笑”进价每箱高． 张师傅：“荔枝王”比“妃子笑”的数量多40箱． (1)分别求出“荔枝王”和“妃子笑”的进价． (2)若大润发超市计划再次购进这两种荔枝共100箱，费用不超过5060元．且“荔枝王”数量需大于50箱，则本次进货方案有哪几种？ (3)在（2）的条件下且不计损耗，“荔枝王”和“妃子笑”在进价的基础上分别提高和定价，哪种方案能够使大润发超市在销售完这批荔枝后获得利润最大？最大是多少？ 【变式题6-2】．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 【题型7】浓度问题（溶液稀释/浓缩） 1.题型考点总结 围绕，涉及两种溶液混合、加水稀释等场景。 考查溶质质量不变的隐含条件，需区分溶液、溶质、溶剂的关系。 2.解题攻略 设溶液质量或浓度为未知数，保持溶质质量不变为核心等量关系。 列方程时注意浓度的表示形式（如化为)，验根排除浓度超范围()的情况。 【例题7】．（2025·安徽滁州·二模）用蒸发的方法可以提高溶液的浓度．某化学实验室里有一瓶质量为40克的食盐水，其中含食盐4克，蒸发掉多少克水，可把食盐水的浓度提高到原来的两倍？ 【变式题7-1】．（25-26八年级上·河北保定·期中）医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水 ． 【变式题7-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）随着人们对生命健康的关注度的提高，医用酒精也逐渐成为家庭中的必备品．药店可以买到和两种浓度的酒精，人们通常选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将2浓度为的酒精，稀释为的酒精，设需要加水．根据题意，下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-3】．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【题型8】购物优惠问题(满减、折扣叠加) 1.题型考点总结 涉及“满减后单价”“折扣叠加后总价”，结合构建分式方程。 考查对优惠规则的解读，区分“满减门槛”“折扣适用范围”。 2.解题攻略 设商品原价或购买数量为未知数，根据优惠规则表示实付款金额。 结合“单价相等”“总价达标”等条件列方程，验根排除原价为负、数量非正整数的情况。 【例题8】．（2025·广东深圳·二模）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费元，其中购买A型号“文房四宝”花费元． (1)求每套型号的“文房四宝”的标价． (2)该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满套送一套的优惠价，已知，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为元和元，学校购买了A型号“文房四宝”套，若通过此单生意，该店获利不低于元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？ 【变式题8-1】．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）某鲜花店销售A种鲜花每束的单价比B种多6元，张阿姨发现：用720元购得的A种鲜花与用600元购得的B种鲜花的束数一样多．母亲节前夕，该鲜花店推出优惠活动方案：购买A种鲜花，前10束（含10束）按原价销售，购买超过10束的部分可以按原价的五折销售；购买B种鲜花，每束都按原价的七五折销售． (1)求该鲜花店A、B两种鲜花的单价各是多少元？ (2)某公司准备购进 m 束（）同种鲜花，请问该如何购买更合算？请通过计算说明． 【变式题8-2】．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 【变式题8-3】．（2025·广东深圳·二模）“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务． 西红柿销售方案 素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的倍． 素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多． 素材3 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿，其中白天（7：00-19：00）可销售，剩下打折销售，其折扣分5个时段进行，如图． 素材4 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克． 问题解决 任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？ 任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） 任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是），则每天进货多少时利润最大？ 【题型9】数字问题(分数、整数数位) 1.题型考点总结 涉及分数的分子分母变化、整数的数位调整(如两位数)，构建与原数相关的分式方程。 考查数位表示方法与分数性质的结合应用。 2.解题攻略 设分子、分母或数位上的数字为未知数，用代数式表示变化前后的数(如分子加后为)。 根据“新数与原数的和/差/倍关系”列方程，验根确保数字为整数且符合数位规则(个位数字，十位数字)。 【例题9】．（25-26九年级上·重庆·期中）对于任意一个四位数，如果它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数为“勤思数”，记的各数位上的数字之和为． 若是“勤思数”，且，则四位数是 ，， 均为“勤思数”，，（，，且，，，，，均为整数），若 ，且为整数，则满足条件的所有的值和为 ． 【变式题9-1】．（25-26九年级上·重庆·期中）若一个四位数的千位数字与百位数字之差等于2，十位数字与个位数字之差等于4，则称这个四位数为“二四数”，若四位数的千位数字与百位数字之差等于3，十位数字与个位数字之差等于6，则称这个四位数为“三六数”．则最大的三六数与最小的二四数的差是 ；若数p、q分别为“二四数”和“三六数”，它们的个位数字均为3，p、q 的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，则此时的最大值为 ． 【变式题9-2】．（24-25八年级下·重庆·期末）若一个四位数，各个数位上的数字均不为零且互不相等，且满足百位上的数字比千位上的数字小1，十位上的数字比个位上的数字小1，则称为“梦幻数”，例如，因为，，所以3245是一个“梦幻数”．对于一个“梦幻数”，规定，若是最小的“梦幻数”，则 ；已知、是“梦幻数”，且满足的千位数字为，十位数字为8，的百位数字为6，十位数字是，规定，当为整数且取最大值时，则 ． 【变式题9-3】．（24-25七年级下·福建厦门·期末）一个各数位均不为0的三位自然数，满足，则称这个三位数为“双倍数”．例如：三位数147，因为，所以147是“双倍数”． (1)若，且，求这个“双倍数”M的值； (2)若是一个“双倍数”，且满足，是整数．求满足条件的W的最大值． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 4．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（    ） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 5．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，则可列方程为 ． 7．（25-26八年级上·上海·期中）学校 “930” 艺术节需用红纸花 3000 朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有x名同学，根据题意可得方程 ． 8．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 9．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 10．（25-26八年级上·湖南常德·期中）某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 12．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 13．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）（列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 14．（2025八年级上·全国·专题练习）一艘轮船从A港口向B港口行驶，以在本航线航行时的常规速度走完全程的，此后航速减小了10海里/时，并以此速度一直行驶到B港口．这样，本次航行减速后行驶所用的时间和减速前行驶所用的时间相等．那么，这艘轮船在本航线上的常规速度是多少？ 15．（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车油箱容积： 油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量： 电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用） 学科网（北京）股份有限公司 $