3.1方程（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

3.1方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 方程的概念 · 定义：含有未知数的等式叫做方程。 · 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 · 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 等式的性质 · 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。 即：如果，那么，（(c)为整式）。 · 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 即：如果，那么；如果且，那么 型 习 练 题 判断是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 3．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 列方程 6．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 7．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 8．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 9．如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 10．根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 11．笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 已知方程的解求参数 12．若关于的方程的解是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 14．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 15．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 等式的性质 16．已知，则下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 17．若，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 18．若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 19．已知，根据等式的性质下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 20．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 方程的概念 · 定义：含有未知数的等式叫做方程。 · 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 · 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 等式的性质 · 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。 即：如果，那么，（(c)为整式）。 · 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 即：如果，那么；如果且，那么 型 习 练 题 判断是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 2．下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是方程的定义，解题关键是熟练掌握方程的定义． 方程是指含有未知数的等式．根据该定义判断即可得解． 【详解】解：、不是等式，不符合方程定义，该选项错误； 、是含有未知数的等式，符合方程定义，该选项正确； 、没有未知数，不符合方程定义，该选项错误； 、不是等式，不符合方程定义，该选项错误． 故选：． 3．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 4．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 5．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查方程的概念，解题关键在于掌握含有未知数的等式叫做方程． 由方程的概念可知，是方程则需满足以下条件：①方程中必须含有未知数；②是等式． 依据方程的概念对所给式子逐一进行判断，从而得出正确答案的． 【详解】解：①不含未知数，故①不是方程； ③④不是等式，故③④不是方程； ②⑤⑥⑦中含有未知数且是等式，符合方程的概念，故②⑤⑥⑦是方程． 综上所述，所给式子中是方程的有②⑤⑥⑦，共4个． 故选：C． 列方程 6．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 7．某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 8．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 9．如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． 10．根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】根据题意列方程，在于理解题意，理解多多少，少多少来确定是加减法. 【详解】根据题干可知“18比少6”，也就是“比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比即可． A、表示“18比多6”，与题干不符； B、表示“减去6就是18”，即“比18多6”，与题干相符合； C、表示“比18多6”，与题干相符； 正确的有2个 故答案为：B . 已知方程的解求参数 11．笑笑在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了．老师告诉她方程的解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将方程的解代入原方程，通过计算即可求出被污染的常数． 【详解】解：∵ 方程的解为， ∴ 代入方程得：， ∴， ∴， ∴， 故被污染的常数是3． 故选：C． 12．若关于的方程的解是，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解． 将代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵方程的解是， ∴代入方程得：， 解得：． 故选：B． 13．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得 故选：A 14．下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若，则关于x的方程的解为； ③若，且，则一定是方程的解． 其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：①把代入得：，故结论正确； ②若，关于x的方程，移项，得：， 则，则原结论错误； ③把代入方程得，方程一定成立， 则一定是方程的解，结论正确． 故选：B． 15．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，将代入一元一次方程，再求出代数式的值即可． 【详解】解：因为一元一次方程的解是， 所以， 整理，得， 所以． 故选：A． 等式的性质 16．已知，则下列等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于选项A：左右两边同时得：，成立； 对于选项B：左右两边同时得：，故不成立； 对于选项C：左右两边同时得：，成立； 对于选项D：左右两边同时得：，成立； 故选：B 17．若，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，关键是熟练掌握知识点解题；根据等式的性质注意判断． 【详解】解：对于A：∵ ， 当 时，两边同除以 得 ； 但当 时， 与 可能不相等， ∴ 不一定成立。 对于B：两边同加2，得 ，一定成立； 对于C：两边同乘 ，得 ，一定成立； 对于D：两边同减，得 ，一定成立． 故选：A． 18．若，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（或整式），等式仍然成立（除法时除数不能为零）.据此逐项判断即可. 【详解】解：A选项：当 时，，，等式不成立，故A错误，不符合题意； B选项：若 成立，又 ，则 ，需 才成立，故B错误，不符合题意； C选项：当 时，，，等式不成立，故C错误，不符合题意； D选项：∵ ， ∴ （等式两边同时乘以）， ∴ （等式两边同时加上2），D正确，符合题意. 故选：D. 19．已知，根据等式的性质下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，关键是熟练应用； 对给定等式 进行变形，判断各选项是否正确，等式性质包括：等式两边同时加、减、乘、除（除数不为零）同一个数，等式仍然成立. 【详解】解： ，两边同时减 得：，即：选项A错误； ，两边再同时除以得：，选项B正确； 由两边同时减得：，选项C错误； 由两边同时乘以得：，选项D错误. 故选：B 20．根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $