1.4 有理数的加减（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版七年级数学上册

1.4有理数的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数的加法法则 · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 例如：；。 · 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 例如：；；。 · 一个数同0相加，仍得这个数。 例如：；。 有理数加法的运算律 · 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式：。 · 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 公式：。 有理数的减法法则 · 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：。 例如：；。 有理数的加减混合运算 · 步骤：先将减法转化为加法，再按有理数加法法则和运算律进行计算。 例如：。 · 可以统一成省略加号和括号的形式，直接按“代数和”的方法计算。 例如：（即上述例子的省略形式）。 型 习 练 题 有理数加法中的符号问题 1．如果两个有理数的和是正数，那么这两个有理数（    ） A．都是正数 B．一正一负 C．至少有一个正数 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法的符号规律，和为正时至少有一个正数，但具体符号组合需根据绝对值大小进一步判断． 根据有理数加法的性质，两个数的和为正数时，它们不可能都是负数，因此至少有一个正数． 【详解】解：两个有理数的和为正数，则它们不可能都是负数， 若都是负数，则和为负数，矛盾， 因此至少有一个数是正数， 故选：C． 2．如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 【详解】解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 3．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法交换律逐项判断即可． 【详解】A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加法运算律．注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动． 4．计算的结果是（    ） A． B．100 C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法中的去括号法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：A． 【点睛】本题考查有理数的加法，解答的关键是熟知去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号；去括号，看符号：是正号，不变号；是负号，全变号． 5．为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则化简，再判断即可． 【详解】原式=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，即括号前是“+”，去掉后，括号内不变号，括号前是“－”，去掉后，括号内变号． 有理数加法运算律 6．不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法和加法计算，减去一个数，等于加上这个数的相反数，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加，据此可得结论． 【详解】解：用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是加法结合律；同号两数相加，符号不变，绝对值相加；减去一个数等于加上这个数的相反数；不能用乘法对加法的分配律解释， 故选：C． 7．计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了加法运算律，解题关键是掌握加法交换律、加法结合律．根据加法交换律和加法结合律进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，这个运算应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 8．计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查加法运算律，根据算式特点选择合适的运算律解答是关键．根据加法结合律计算比较简便，即可选择． 【详解】解：在计算时，可以先将和结合计算，故可以运用加法结合律． 故选B． 9．下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，熟记加法交换律的定义逐项判断是解决问题的关键． 【详解】解：A、B、D三个选项中的运算运用了加法交换律，C选项中的运算没有运用加法交换律， 故选：C． 10．下图是嘉淇作业的一部分，则关于依据①、②，说法正确的是（    ） 计算： ① ② A．①表示减法法则 B．①表示加法法则 C．②表示加法交换律 D．②表示加法法则 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】①表示加法交换律，②表示加法法则， 故选：D． 省略加法和括号的形式 11．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算规则， 通过计算原始表达式，利用减去一个数等于加上这个数的相反数，再写出省略括号的形式即可． 【详解】解：， 故选：A． 12．将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，根据，故写成省略括号的和的形式为，即可作答． 【详解】解：依题意，将算式写成省略括号的和的形式 故选：A 13．把式子写成省略加号和括号的形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法中的括号问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 根据和式里可以把加号及加数的括号省略不写，进行作答即可． 【详解】解： ． 故选：A 14．把写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减混合运算中省略括号和加号的规则解答即可得． 【详解】解：， 故选：B． 15．把算式中的各个加数及前面的运算符号省略不写，可写成（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算． 通过将减法转换为加法，并省略加号，得到简写形式． 【详解】解：∵ （减去一个数等于加上它的相反数） （省略括号和加号） ∴可写成， 故选：A． 有理数的加减混合运算 16．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减，熟练掌握加减运算法则是解答的关键．先去括号，再加减运算即可． 【详解】解： ． 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算步骤及法则是解题的关键． 先把减法统一成加法，再按加法法则计算． 【详解】解：原式 ． 18．计算：． 【答案】 【分析】根据有理数的加减法解答即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 19．计算：． 【答案】20 【分析】本题主要考查的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键．本题利用有理数的加减混合运算的法则解答即可． 【详解】解：原式． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先写成省略加号和括号的形式，然后能凑整的先相加． 【详解】解： ． 有理数加减法的实际应用 21．星期六上午，淇淇与同学相约去玩．已知她当日微信钱包的初始余额为50元，当日微信钱包的账单如表所示： 交易种类 金额（元） 红包——来自爸爸 文具店支付 零食支付 转账——来自哥哥 零食屋支付 出行支付 (1)从实际角度看，账单中支出最少的交易种类是___________； (2)求淇淇当日微信钱包的最后余额． 【答案】(1) 出行支付 (2) 40元 【分析】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，绝对值，有理数的大小比较，有理数的加减运算，正确运算是解题的关键． （1）求每笔支出交易金额求绝对值，再进行比较即可求解； （2）用钱包中的出始余额加上每一笔交易帐单即可求解． 【详解】（1）解：，且， 出行支出的交易最少， 故答案为：出行支出； （2）， ， ， ． 22．有4盒火柴，以每盒100根为基准，超过的根数记为正数，不足的根数记为负数，每盒数据记录如下：，0，，．求这4盒火柴的实际根数分别是多少？ 【答案】这4盒火柴的实际根数分别是103，100，99，96根 【分析】本题考查了有理数加减法的应用和正负数的意义，理解题意是解决本题的关键． 根据以每盒100根为基准，超过的根数记为正数，不足的根数记为负数进行列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，第一盒火柴的实际根数为（根）； 第二盒火柴的实际根数为100根； 第三盒火柴的实际根数为（根）； 第四盒火柴的实际根数为（根）， ∴这4盒火柴的实际根数分别是103，100，99，96根． 23．小红和小丽做游戏，每人抽4张扑克牌，红色为正，黑色为负，数字之和结果大则胜． 小红抽到的是：红桃3，方块5，梅花3，黑桃9． 小丽抽到的是：方块4，梅花J，黑桃A，红桃6． 问：小红和小丽谁获胜？（说明：J为11，A为1，红桃、方块为红色；梅花、黑桃为黑色）． 【答案】小丽获胜 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的大小比较和有理数的加法法则的应用，解此题的关键是根据题意列出算式，并进一步求出结果． 先用正、负数表示出个数，再相加，求出结果后比较即可． 【详解】解：由题意，得 小红抽到的数字之和为， 小丽抽到的数字之和为， ∵， ∴小丽获胜． 24．某水库星期一的水位是，星期二水位下降了，星期三水位上升了，星期四水位下降了． (1)如果规定水位上升为正，下降为负，请将星期二、三、四的水位变化情况用正数或负数表示出来； (2)求星期四的水位． 【答案】(1)星期二：，星期三：，星期四： (2) 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用： （1）根据题意，水位上升为正，下降为负，据此即可表示出星期二、三、四的水位变化情况； （2）用星期一的水位加上（1）中星期二、三、四的水位变化情况即可求出星期四的水位． 【详解】（1）解：星期二水位下降了，记作， 星期三水位上升了，记作， 星期四水位下降了，记作； （2）解：星期四的水位是． 25．某日中午，气温由早晨的零下上升了，傍晚又下降，求这天傍晚的气温． 【答案】 【分析】此题主要考查正负数在实际生活中的意义及有理数的加减运算，气温上升用加，下降用减，列出算式后进行有理数的加减混合运算．熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：根据题意列算式，得：． 即这天傍晚的气温是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4有理数的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 有理数的加法法则 · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 例如：；。 · 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 例如：；；。 · 一个数同0相加，仍得这个数。 例如：；。 有理数加法的运算律 · 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式：。 · 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 公式：。 有理数的减法法则 · 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式：。 例如：；。 有理数的加减混合运算 · 步骤：先将减法转化为加法，再按有理数加法法则和运算律进行计算。 例如：。 · 可以统一成省略加号和括号的形式，直接按“代数和”的方法计算。 例如：（即上述例子的省略形式）。 型 习 练 题 有理数加法中的符号问题 1．如果两个有理数的和是正数，那么这两个有理数（    ） A．都是正数 B．一正一负 C．至少有一个正数 D．无法确定 2．如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 3．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B．100 C． D． 5．为了计算简便，把写成省略加号的和的形式，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 有理数加法运算律 6．不能用来解释有理数运算过程“”的运算法则或运算律是（   ） A．加法结合律； B．同号两数相加，符号不变，绝对值相加； C．乘法对加法的分配律； D．减去一个数等于加上这个数的相反数． 7．计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 8．计算时，可以运用（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．无法确定 9．下列算式中，没有运用加法交换律的是（　　） A． B． C． D． 10．下图是嘉淇作业的一部分，则关于依据①、②，说法正确的是（    ） 计算： ① ② A．①表示减法法则 B．①表示加法法则 C．②表示加法交换律 D．②表示加法法则 省略加法和括号的形式 11．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 13．把式子写成省略加号和括号的形式后是（   ） A． B． C． D． 14．把写成省略括号和加号的形式是（    ） A． B． C． D． 15．把算式中的各个加数及前面的运算符号省略不写，可写成（   ） A． B． C． D． 有理数的加减混合运算 16．计算：． 17．计算： 18．计算：． 19．计算：． 20．计算：． 有理数加减法的实际应用 21．星期六上午，淇淇与同学相约去玩．已知她当日微信钱包的初始余额为50元，当日微信钱包的账单如表所示： 交易种类 金额（元） 红包——来自爸爸 文具店支付 零食支付 转账——来自哥哥 零食屋支付 出行支付 (1)从实际角度看，账单中支出最少的交易种类是___________； (2)求淇淇当日微信钱包的最后余额． 22．有4盒火柴，以每盒100根为基准，超过的根数记为正数，不足的根数记为负数，每盒数据记录如下：，0，，．求这4盒火柴的实际根数分别是多少？ 23．小红和小丽做游戏，每人抽4张扑克牌，红色为正，黑色为负，数字之和结果大则胜． 小红抽到的是：红桃3，方块5，梅花3，黑桃9． 小丽抽到的是：方块4，梅花J，黑桃A，红桃6． 问：小红和小丽谁获胜？（说明：J为11，A为1，红桃、方块为红色；梅花、黑桃为黑色）． 24．某水库星期一的水位是，星期二水位下降了，星期三水位上升了，星期四水位下降了． (1)如果规定水位上升为正，下降为负，请将星期二、三、四的水位变化情况用正数或负数表示出来； (2)求星期四的水位． 25．某日中午，气温由早晨的零下上升了，傍晚又下降，求这天傍晚的气温． 学科网（北京）股份有限公司 $