专题03 有理数运算技巧与新定义压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴挑战”为框架，系统整合有理数运算技巧与新定义压轴题，提炼可迁移的解题方法，构建从基础到高阶的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4要点|定符号优先、定顺序、选技巧、查易错点|从运算规则到易错规避，夯实基础逻辑| |题型归纳|4题型（含典例13+变式20）|常规运算符号优先，简便运算凑整/裂项，新定义符号替换，规律探究找周期|从基础运算到技巧应用，再到抽象与推理，层层递进| |压轴挑战|选择5+填空5+解答7|新定义迁移、规律周期应用、跨学科建模|对接中考压轴，强化创新意识与推理能力|

专题03 有理数运算技巧与新定义压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数常规混合运算 题型二、简便运算（凑整、分配律逆用、裂项） 题型三、新定义运算【压轴重点】 题型四、规律探究压轴（数字规律，裂项、循环乘方） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 定符号优先：先判断每一项符号，再算绝对值；乘方重点区分 与 2. 定顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号；同级从左往右 3. 选技巧：观察式子结构，优先使用交换律、结合律、分配律简化，不硬算 4. 查易错点：负号、分数约分、乘方底数、0与-1的特殊幂次 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数常规混合运算 【典例1】．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）计算： 【典例2】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2) 题型模版 1.特征：含乘方、分数、小数、括号； 2.解题要点：符号优先，小数化分数，能简算就简算。 3.易错：−12026=−1，(−1)2026=1 【变式1-1】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）计算： (1) (2) 【变式1-2】．（23-24七年级上·安徽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 题型二、简便运算（凑整、分配律逆用、裂项） 【典例3】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【典例4】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【典例5】．计算 (1) (2) (3) (4) 题型模版 1.考试高频：计算题大题；看到重复公因数优先逆分配；分式连加优先裂项。 【变式2-1】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）阅读计算：的方法． 【解析】 原式        ， 上图这种解题方法叫做拆项法，再用这种方法计算下面的小题． 计算：； 【变式2-2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式2-3】．阅读材料，回答问题． 计算：． 方法一：原式． 方法二：原式的倒数为：，故原式． 用适当的方法计算：． 题型三、定义新运算【压轴重点】 【典例6】．现规定一种新运算“*”：，如，计算（    ） A． B． C． D． 【典例7】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算：________； （2）若，则的值为________． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【典例9】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）我们定义一种新运算：对任意两个有理数，有． (1)求的值； (2)求的值． 题型模版 1.核心思想：照猫画虎，把题目给的陌生符号，替换成课本有理数运算。 【变式3-1】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 【变式3-2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）定义一种运算符号“◎”：如：． （1）计算：________； （2）计算：________． 【变式3-3】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： (1)归纳*运算的法则，并用符号语言直接表示： (2)计算：___________． (3)是否存在有理数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【变式3-4】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，例如：． (1)______； (2)化简； (3)若，求r的值． 【变式3-5】．阅读材料，并完成相关问题． 小张定义了一种新的运算： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※运算的运算法则： 两数进行※运算时，同号得_______，异号得_______，并把这两个数的绝对值________．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果_________________； (2)计算：； (3)若，求a的值． 题型四、规律探究压轴（数字规律，裂项、循环乘方） 【典例10】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【典例11】．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们平常用的数都是十进制的，如：，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数7；二进制数，等于十进制数25，那么二进制数11011等于十进制数（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【典例12】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式：，根据其中的规律可得： （1）计算：，则个位上的数字为______； （2）若，则的个位上数字为______． 【典例13】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 题型模版 1.通法：找循环周期，求余数定结果。 【变式4-1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）不知从何时起，二维码已悄然渗透进我们生活的每个角落．浏览网页需扫码解锁，添加好友靠扫码相连，就连楼下菜场里的老爷爷，也早已亮出专属的支付二维码，让便捷融入烟火气．二维码到底是什么呢？其实就是把一些黑、白小方块填在一个大方块里．某信息技术兴趣小组查阅大量资料，制作出图1这个简易二维码，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，e那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）如图1第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，1，序号为，其表示该生为5班的学生．根据上述理解，图2是______班的学生．    【变式4-2】．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为______； （2）每一行第9和第10个数的总和是____ 【变式4-3】．某数学活动小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前方第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1；并计算出结果．第1位同学报（），计算结果为2；第2位同学报（），计算结果为；第3位同学报（），计算结果为；…； 观察后，请完成下列问题： （1）第10位同学报的数的计算结果为__________ （2）按此规律，这样得到的2022个数的积为________ 【变式4-4】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂成就，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．我们常用的数是十进制数，如．（规定：当时，） 八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是． （1）将八进制数换算成十进制数为______． （2）若十进制数1012转化为八进制数为，则m的值为______． 【变式4-5】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 【变式4-6】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； … (1)按以上规律，第④个等式为：________：第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算；的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．若 与 互为相反数，则的值为（   ） A．23 B．27 C．8 D．24 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是（      ） A．46 B．45 C．44 D．43 4．[新定义题]符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，… （2），，，… 利用以上规律计算：等于（   ） A． B． C． D． 5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知等式：，，，…，（a，b均为正整数），则______． 7．（1）算式的值为______． （2）观察下列各算式：，，，，，，通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是______． 8．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 9．定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 10．对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为______； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为_____． 三、解答题 11．计算：． 12．计算． (1)； (2)． 13．计算下面各题．（能简便的要简便计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 14．定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 15．观察下列等式：，，… (1)仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______； (2)直接写出下面算式的结果：______； (3)探究并计算：． 16．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 17．数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数运算技巧与新定义压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数常规混合运算 题型二、简便运算（凑整、分配律逆用、裂项） 题型三、新定义运算【压轴重点】 题型四、规律探究压轴（数字规律，裂项、循环乘方） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 定符号优先：先判断每一项符号，再算绝对值；乘方重点区分 与 2. 定顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号；同级从左往右 3. 选技巧：观察式子结构，优先使用交换律、结合律、分配律简化，不硬算 4. 查易错点：负号、分数约分、乘方底数、0与-1的特殊幂次 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数常规混合运算 【典例1】．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）计算： 【答案】4 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算的运算法则和运算顺序是解题关键．先计算乘方，然后计算乘法和除法，最后计算加减法． 【详解】解：原式 ． 【典例2】．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)4 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则和运算顺序，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型模版 1.特征：含乘方、分数、小数、括号； 2.解题要点：符号优先，小数化分数，能简算就简算。 3.易错：−12026=−1，(−1)2026=1 【变式1-1】．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)25 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）利用乘法分配律进行简便运算即可得出答案； （2）先计算乘方、绝对值，再计算乘法、除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： . （2）解： . 【变式1-2】．（23-24七年级上·安徽·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用、乘方与绝对值的运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，有绝对值先算绝对值）是解题的关键． （1）利用有理数加减运算法则，将减法转化为加法后计算； （2）先算乘除，再算加减； （3）运用乘法分配律展开计算； （4）先算乘方、绝对值、括号内的运算，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)8 (2)49.9 (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）从左到右依次计算即可． （2）先算乘法，再算加法． （3）先算乘方，再计算括号里面的，然后算乘法，最后再计算加减法． （4）先算乘方，再计算括号里面的，然后算乘法，最后再计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二、简便运算（凑整、分配律逆用、裂项） 【典例3】．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算、化简多重符号、相反数的应用 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，化简多重符号，相反数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简多重符号，再结合相反数的性质进行运算，即可作答． （2）先整理原式，再运算括号内的加法，然后运算括号外的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【典例4】．（24-25七年级上·安徽六安·阶段检测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）除法转化成乘法，再根据乘法分配律计算； （2）逆用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例5】．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 题型模版 1.考试高频：计算题大题；看到重复公因数优先逆分配；分式连加优先裂项。 【变式2-1】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）阅读计算：的方法． 【解析】 原式        ， 上图这种解题方法叫做拆项法，再用这种方法计算下面的小题． 计算：； 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据提供的方法，拆项计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式2-2】．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握乘法分配律计算法则是解题的关键， （1）根据乘法分配律计算； （2）先运用乘法分配律计算后边括号，再应用乘法分配律计算 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【变式2-3】．阅读材料，回答问题． 计算：． 方法一：原式． 方法二：原式的倒数为：，故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，先求出原式的倒数，即可确定出原式的值．熟练掌握运算法则及运算律是解题的关键．也考查了倒数的意义． 【详解】解：∵ ， ∴． 题型三、定义新运算【压轴重点】 【典例6】．现规定一种新运算“*”：，如，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算 【分析】此题考查了新定义运算，有理数的减法，根据新定义运算列式求解即可． 【详解】． 故选：C． 【典例7】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）定义一种新运算“”，规定：．例如：． （1）计算：________； （2）若，则的值为________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了代数运算和整体代入思想，对新定义运算的理解和应用能力，解题的关键在于读懂新定义运算的运算法则． （1）直接根据新运算法则计算； （2）先根据新运算法则化简代数式，再整体代入求值． 【详解】（1）根据新运算规定 ， ． 故答案为． （2） ． 已知，代入得： ． 故答案为． 【典例8】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）已知，均为有理数，现在我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解定义的新运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）先求出，再列出算式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【典例9】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）我们定义一种新运算：对任意两个有理数，有． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查有理数的混合运算，正确理解新定义列出算式是解题的关键 （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列式计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解： 题型模版 1.核心思想：照猫画虎，把题目给的陌生符号，替换成课本有理数运算。 【变式3-1】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）定义一种新运算：，如，则的值为（    ） A． B． C．11 D．29 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算， 根据新运算的定义，直接将和代入公式 计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：B． 【变式3-2】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）定义一种运算符号“◎”：如：． （1）计算：________； （2）计算：________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义问题，正确理解新的定义是解题的关键． （1）比较a和b的大小，选择相应的公式计算； （2）先计算内层运算，再根据结果计算外层运算即可． 【详解】（1）解：因为、，且， 则， 故答案为：； （2）解： 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： (1)归纳*运算的法则，并用符号语言直接表示： (2)计算：___________． (3)是否存在有理数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)存在， 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】题目主要考查新定义运算，规律总结，理解题意是解题关键． （1）根据题意总结新的运算法则即可； （2）根据（1）中运算法则计算即可； （3）根据题意得出且，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： （2）， 故答案为：17； （3）存在，理由如下： ，且 当时，且 存在有理数使得 此时且， 解得：． 【变式3-4】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，例如：． (1)______； (2)化简； (3)若，求r的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据新运算法则得出，再根据有理数混合运算法则计算即可； （2）根据新运算法则得出，再计算即可； （3）根据新运算法则得出，再解方程即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ； （3） 即 ． 【变式3-5】．阅读材料，并完成相关问题． 小张定义了一种新的运算： ；； ；； ；． 问题： (1)请归纳※运算的运算法则： 两数进行※运算时，同号得_______，异号得_______，并把这两个数的绝对值________．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果_________________； (2)计算：； (3)若，求a的值． 【答案】(1)负，正，相加，都得这个数的绝对值 (2) (3) 【知识点】有理数加减混合运算的应用、求一个数的绝对值 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的加减，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义下的运算，即可解答； （2）根据新定义下的运算进行计算即可； （3）先求出，再根据两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加，得，继而推导出，即，求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加．特别的，0和任何数进行※运算，或任何数和0进行※运算，结果都得这个数的绝对值． 故答案为：负，正，相加，都得这个数的绝对值． （2） ． （3）∵， ∴， 根据两数进行※运算时，同号得负，异号得正，并把这两个数的绝对值相加，得 ， ∴， ， ． 题型四、规律探究压轴（数字规律，裂项、循环乘方） 【典例10】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键． 根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， 点所对应的数为， ， 数轴上所对应的顶点是． 故选：C． 【典例11】．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们平常用的数都是十进制的，如：，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．电子计算机中用的二进制只有两个数码：0，1．二进制数可以转化为十进制数，如：二进制数，等于十进制数7；二进制数，等于十进制数25，那么二进制数11011等于十进制数（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，熟练掌握二进制数按位权展开求和的方法是解题的关键． 根据二进制转十进制的方法，将二进制数按位权展开后求和． 【详解】二进制数 ， 故选：B． 【典例12】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式：，根据其中的规律可得： （1）计算：，则个位上的数字为______； （2）若，则的个位上数字为______． 【答案】 1 7 【知识点】数字类规律探索、乘方的应用 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的乘方； （1）通过观察7的幂次的个位数字循环规律，周期为4，计算指数除以4的余数确定个位数字； （2）每个循环周期内个位数字之和的个位为0，因此完整循环不影响和的个位，只需考虑剩余项的个位和. 【详解】解：（1）∵的个位数字按7，9，3，1循环，周期为4， ∴，对应循环中第4个数字1， ∴的个位数字为1. （2）∵个位数字循环周期为4，每个循环个位数字之和为，个位为0， 又∵共2025项， 余1，即前2024项（506个循环）的个位数字之和的个位为0，剩余一项的个位数字为7， ∴的个位数字为7. 【典例13】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)1630 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律是解答本题的关键． （1）根据已知算式特点写出答案即可； （2）观察已知算式的特点写出等式即可； （3）根据（2）中总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 题型模版 1.通法：找循环周期，求余数定结果。 【变式4-1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）不知从何时起，二维码已悄然渗透进我们生活的每个角落．浏览网页需扫码解锁，添加好友靠扫码相连，就连楼下菜场里的老爷爷，也早已亮出专属的支付二维码，让便捷融入烟火气．二维码到底是什么呢？其实就是把一些黑、白小方块填在一个大方块里．某信息技术兴趣小组查阅大量资料，制作出图1这个简易二维码，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，e那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为（规定）如图1第一行数字从左到右依次为0，0，1，0，1，序号为，其表示该生为5班的学生．根据上述理解，图2是______班的学生．    【答案】11 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及有理数的乘方，理解所给计算方式是解题的关键．根据所给计算方式，求出学生所在班级即可． 【详解】解：由题知，， 所以图2是11班的学生． 故答案为：11． 【变式4-2】．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究． 第一行：1，，4，，16，，… ； 第二行：，4，，16，，64，… ； 第三行：3，，9，，33，，… ； （1）第一行第10个数为______； （2）每一行第9和第10个数的总和是____ 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方和加减运算，解题的关键是找出数字的规律． （1）找出数字的规律为，然后运用有理数的乘方法则求出第10个数即可； （2）找出每一行数字的规律，分别求出第9和第10个数的和，最后求出总和即可． 【详解】解：（1）根据给出数列的规律可得，第一行第个数为， ∴当时，， 即第一行第10个数为， 故答案为：； （2）第一行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第二行第个数为， ∴第二行第9个数为，第10个数，和为； 根据给出数列的规律可得，第三行第个数为， ∴第三行第9个数为，第10个数，和为； ∴每一行第9个数和第10个数的总和为， 故答案为：． 【变式4-3】．某数学活动小组的10位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前方第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1；并计算出结果．第1位同学报（），计算结果为2；第2位同学报（），计算结果为；第3位同学报（），计算结果为；…； 观察后，请完成下列问题： （1）第10位同学报的数的计算结果为__________ （2）按此规律，这样得到的2022个数的积为________ 【答案】 /1.1/ 【知识点】倒数、多个有理数的乘法运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据游戏规则即可得出结论； （2）表示出各位同学所报的数并用假分数表示，然后相乘计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：第10位同学报的数为， 前2022个数的积为． 故答案为：，． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，用假分数表示出各位同学所报的数是解题的关键． 【变式4-4】．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂成就，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．我们常用的数是十进制数，如．（规定：当时，） 八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数换算成十进制数是． （1）将八进制数换算成十进制数为______． （2）若十进制数1012转化为八进制数为，则m的值为______． 【答案】 1055 1764 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查不同进制数之间的转换，解题的关键是掌握八进制数与十进制数的互化规则（八进制转十进制：按位权展开相加；十进制转八进制：除8取余逆序排列）． （1）根据八进制转十进制的规则，将八进制数按位权展开计算； （2）通过＂除8取余＂的方法，将十进制数1012转化为八进制数，进而得到的值． 【详解】解：（1）将八进制数转换为十进制数，按位权展开： ， 故答案为：1055； （2）将十进制数1012转化为八进制数，用“除8取余”法： ，余数为4， ，余数为6， ，余数为7， ，余数为1． 将余数从下到上排列，得到八进制数为，因此． 故答案为：1764． 【变式4-5】．（24-25七年级上·安徽六安·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④_____________； (2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（n为正整数） (3)请利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)5000 【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）将，写成，再根据（2）得出的一般规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）解：原式 ． 【变式4-6】．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； … (1)按以上规律，第④个等式为：________：第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算；的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （2）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （3）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； 本题考查数字变化类规律探究，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 第个等式为：， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．若 与 互为相反数，则的值为（   ） A．23 B．27 C．8 D．24 【答案】B 【分析】由互为相反数的定义，得绝对值与平方和为零，根据非负性，两者均需为零，从而解出a和c的值，再代入所求表达式计算． 本题考查了相反数的性质，绝对值的非负性，平方的非负性，求代数式的值，熟练掌握相反数，非负性是解题的关键． 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴， ∵且， ∴ 且 解得 ，， 故， 故选：B． 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：8． 3．任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，按此规律，若分裂后，其中有一个奇数是2023，则的值是（      ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2023的是从3开始的第1011个数，然后确定出1011所在的范围即可得解． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数和，底数为3的分裂成3个奇数和，底数为4的分裂成4个奇数和， ∴分裂成m个奇数， 所以，从到的奇数的个数为：， ， ， ∴奇数2023是从3开始的第1011个奇数， ，， ∴第1011个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了数字变化规律，有理数的混合运算，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式． 4．[新定义题]符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，… （2），，，… 利用以上规律计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求代数式的值，有理数的运算，根据已知条件推出和的值，即可求解．解题的关键在于理解新定义． 【详解】解：∵，，，…， ，，，… ∴， ∴， ∴等于． 故选：A． 5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物㳔刻朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 0 艮 1 坎 2 巽 3 例如：“艮”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是，“巽”卦所表示二进制数为，转化为十进制数是．（规定）依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 此题考查了有理数的混合运算．根据题意得到“”表示的二进制数为，再转化为十进制数即可． 【详解】 解：“”表示的二进制数为，转化为十进制数是． 故选：B 二、填空题 6．已知等式：，，，…，（a，b均为正整数），则______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的规律问题． 观察给定等式的规律，对于每个正整数n，等式为，进而将代入，求出a和b的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， 当时，方程为， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（1）算式的值为______． （2）观察下列各算式：，，，，，，通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】 7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字类的变化规律． （1）先计算乘方和乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）通过观察可知每4次运算的个位数字循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：（1） （2）由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为4，且 ∴的个位数字是7， 故答案为：7． 8．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．依此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【分析】（1）根据题中给出的示例，二进制数转化为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加即可； （2）将十进制数转化为二进制数，可采用“除2取余法”，即不断用2去除该数，直到商为0为止，然后将余数倒序排列即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 9．定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 根据题意可得到，然后把原式变形为，即可求解． 【详解】解：，，，…… 由此发现：， ∴ 故答案为： 10．对于有理数x，y，a，m，若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，，则5和3关于2的“和谐关联数”为4． （1）和4关于3的“和谐关联数”为______； （2）若和关于2的“和谐关联数”为和关于3的“和谐关联数”为和关于10的“和谐关联数”为．则的最小值为_____． 【答案】 5 55 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，数字类的规律探索，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算即可求解； （2）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得：和4关于3的“和谐关联数”为：； 故答案为：5； （2）解：∵和关于2的“和谐关联数”为1， ∴， 当时，则，即， 当时，则，即， ， ， 当时，则，即， ， ； 当时，则，即， ∴的最小值为3； 同理的最小值为， 以此类推，可得的最小值为， ∴的最小值； 的最小值； 的最小值； 的最小值是， ∴的最小值为． 故答案为：55． 三、解答题 11．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，首先根据有理数的乘方的定义把算式中的乘方计算出来，再根据有理数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 12．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算技巧是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （2）原式先根据有理数减法法则进行计算，再根据有理数加法交换律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 13．计算下面各题．（能简便的要简便计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)2 (2)7.8 (3)90 (4)1000 (5)4 (6)9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将除法化为乘法，约分计算即可； （2）先利用乘法分配律计算括号内乘法，再计算括号内加减法，最后计算乘除法即可； （3）利用加法交换律和结合律简便计算即可； （4）将拆分为，再根据乘法交换律和结合律简便计算即可； （5）利用乘法分配律简便计算即可； （6）利用乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 14．定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【答案】(1)，，“※”不具有交换律，理由如下： ※ ， ※ ， 则“※”不具有交换律，理由是4※※； (2) 【分析】（1）根据定义的新运算列式计算，然后猜想是否具有交换律并说明理由即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：略； （2）解：※※ ※ ※ ※ 15．观察下列等式：，，… (1)仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______； (2)直接写出下面算式的结果：______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律，解题的关键是理解题干中的拆项方法． （1）观察题干中所给的式子可得结果； （2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果； （3）将原式变形为，再利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ． 16．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②略 17．数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)甲 (2)丙 (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察三种解法，找出出错的即可； （2）观察三种解法，找出简捷的即可； （3）利用简便方法求出原式的值即可． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故甲同学计算错误； 乙和丙的计算没有问题； 故答案为：甲； （2）解：观察计算过程，丙的解法最简捷， 故答案为：丙； （3）解：先求原式的倒数： ， ∵为的倒数， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $