青海省大通回族土族自治县朔山中学2025-2026学年高三上学期第三次阶段检测数学试卷

大通县朔山中学2025~2026学年度第一学期第三次阶段检测 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：正余弦定理，平面向量与复数，立体几何与空间向量第1节一第4节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数z满足x=1十3(i是虚数单位)，则z的虚部是 A.-3i B.-3 C.3i D.3 2.已知△ABC的直观图△A'B'C'是直角三角形，如图所示，其中OB' =A'B'=B'C'=2,则AC的长度为 A' A.8 B.43 C.4√2 D.4 3.一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A.27元π B.24元 C.18π D.12π 4.在△ABC中，若AC=√6，C=45°，AB=2,则△ABC解的个数为 A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 5.已知向量a,b满足a=1,a+2b=2,且(b-2a)⊥b,则|b= A司 吗 D.1 6.已知之是复数，则“z∈R”是“z2∈R”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【高三第三次阶段检测·数学第1页（共4页）】 26-T-329C 7.已知□ABCD中，EC=2DE,FC=2BF,F心=2GE,则AG= A.哥A+子Aò B号A店+子Aò C号A迹+8ò D号店+动 8.斗笠起源于汉代，兴盛于明清.斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而 成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠 示意图如图所示，大致呈圆锥形.某款尖顶斗笠底部圆的半径为 20cm,母线长为48cm,点P是斗笠底部圆周上一点.为了装饰这 个斗笠，现要镶嵌一条从点P出发绕斗笠外部一周后回到点P处 的金属条，则这个金属条的最短长度为 A.20πcm B.48√3cm C.24(6+√2)cm D.96 cm 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,b,c是三条不同的直线，α，3，Y是三个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若a∥B,y∩a=a,y∩B-b,则a∥b B.若a∥3∥y,c∥y,aCa,bC3,则a∥b∥c C.若a⊥a,aLB,a⊥y,则a∥B∥Y D.若aLB,a⊥y,aCa,a⊥B,cCy,则a⊥c 10.已知，之2为复数，则下列说法正确的是 A.若引|=|x2|,则好= B.1·2=·2 C.若十号=0，则川|=|2|=0 D.11·x2=|11·|21 11.已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中能确定C为锐角的有 A.bsin A=2csin B B.AC.CB>0 C.A,B均为锐角，且sinA>cosB D.a=n,b=n+1,c=n+2,n∈N且n>3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知x=一1一i,则x= 13.已知向量a=(0,-3),b=(1,m),若b在a上的投影向量为- 2a,则m= 14.已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=c,则sin B sin C的取值范围为 sin A 【高三第三次阶段检测·数学第2页（共4页）】 26-T-329C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数-2+-bi(bER),千是实数，i是虚数单位， (1)求复数： (2)在复平面内，若复数（十2十x)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,四边形ADEF为正方形， (1)若O,N分别是AE,CF的中点，求证：ON∥平面ABF; (2)若CD=ED,M为CE的中点，平面CDE⊥平面ADEF,求证： DM⊥平面CEF. M D --0 17.(本小题满分15分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acos C+5 asin C-b-c=0. (1)求A: (2)若a=2,则△ABC的面积为3，求b,c. 【高三第三次阶段检测·数学第3页（共4页）】 26-T-329C 18.(本小题满分17分)》 如图，某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是正四棱锥P-ABCD和长方体 ABCD-AB C D,AB=BC=30 cm,BP=BB=25 cm. (1)求这种“笼具”的表面积： (2)求这种“笼具”的体积 19.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°，D是边AB上一点. (1)若CD平分∠ACB,求CD1: (2)若AD=入AB,E是边CB上一点，满足BE-ABC. (1)当入=7时，求A正.CD: (ⅱ)是否存在非零实数入，使得AE⊥CD?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由. 【高三第三次阶段检测·数学第4页（共4页）】 26-T-329C大通县朔山中学2025~2026学年度第一学期第三次阶段检测 高三数学答题卡 条形码粘贴处 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名，准考 准 考 证 号 注 证号填写清楚。 2.选择题使用2B铅笔填涂：如需改动.用橡皮擦干 意净后，再选择其他答案标号：非选择题使用黑色 事 碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序 [0] [0[0[0][0][0][0][0 [0 在各题日的答题区域内作答，超出答题区域书写 项 1][1[1][)[1J[1J1][1] 的答案无效：在草稿纸，试卷上答题无效。 [2][2][2][2][21[2][2][21 3.保持卡面清洁，不折叠，不破损 [3][3][31[3][3][31[3] [3 3 [4][4][41[4][4][41[4] 4 管 正确填涂：■ [5 [5] [5J][5][5 [5J [5 [5] 错误填涂：白这☐p [61 [6] [6][6][6] [6 [6] [6] 6 范 [7J [7J [7][7] [7 7J [71 缺考 [8][8][8][8][8][81[8][8] 例 标记 [9][91[91[9][9][9191[9][9 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】 12.(5分)】 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三第三次阶段检测·数学第1页（共2页）26-T-329C 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 、 、D 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高三第三次阶段检测·数学第2页（共2页）26-T-329C ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效刻 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！大通县朔山中学2025~2026学年度第一学期第三次阶段检测·高三数学 参考答案、提示及评分细则 1.D之的虚部是3.故选D. 2.B因为△A'B'C'是直角三角形，OB'=A'B=B'C'=2,所以OA'=22,画出 △ABC如图所示，OC=4,OA=4√2，所以AC=√OA2+OC区=45.故选B. 3.A因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体 的体对角线，即球的半径，一区-39所以球的表面积为标×(3)厂 =27元.故选A. 4C由正弦定理，得气品所以气=后即mB=,又6>所以>冬，B=吾皮等所以 sin B ② △ABC解的个数为2.故选C. 5.B因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b=2a·b,又因为|a=1,a+2b|=2,所以1+4a·b+4b =1十6方=4，从面61-号放选B 6.A设之=a十bi(a,b∈R).若x∈R,则b=0,所以2=a∈R,所以“z∈R”是“2∈R”的充分条件；若之=i满 足2=一1∈R,但是氏R,所以“之∈R”不是“2∈R”的必要条件.综上，“∈R”是“2∈R”的充分不必要条 件.故选A. 7.A如图所示，因为D成=号式，B萨=号F元，所以庇=元+C成=号心 号D心-号市-号A丽，又F心=2成，所以G=+萨+元-A成+ò +号市=+市+号（号A市-子）=号A市+日A立故选A 8.C作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为PP,由 题意知0P=48.圆弧PP的长为2x·20=40x,所以∠P,OP-袋-吾，由余弦 定理，得PB=0P+0F-2.0P.0R·o∠P0P=48+48-2X48X48xX(-号）=48(2+5)， 所以PP=√/48(2+3)=24(W6+2).故选C. 【高三第三次阶段检测·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-329C 9.AC若a∥3，y∩a=a,y∩B=b,则a∥b,A正确；若a∥B∥y,c∥y,aCa,bCB,直线c与直线a,b可能异面， 可能平行也可能相交，B错误：由a⊥a,a⊥3，得a∥B,同理可得β∥y,所以a∥3∥ H G Y,C正确；如图，长方体ABCD-EFGH中，取平面ABCD,DCGH,ADHE依次为 D 平面a,B,Y,取BC为直线a,EH为直线c,显然满足a⊥B,a⊥Y,aCa,a⊥B,cCY, 但a∥c,D错误.故选AC. 10.BD若1=1,2=i,则|刘1|=2=1，而号=1，号=一1，号≠号，故A错误；设=a十bi,2=c十di,a, b,c,d∈R,所以1·2=(a+bi)·(c+di)=ac-bcl+(ad+bc)i,·=ac-bl-(ad+bc)i,·2= (a一bi)·(c一di)=ac-bd-(ad十bc)i,故B正确；若刘=1,2=i,显然满足+=0，但|1|=|2|= 1,故C错误；设x1=a+bi,2=c+di,a,b,c,d∈R,所以1·2=(a+bi)·(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,所 以|1·2|=/(ac-bd)2+(ad+bc)z=/(a2+6)(c2+d),又|x|·|x2|=√a2+b·√c2+df =√(a十b)(c2+),所以|·2=1·|，故D正确.故选BD. 11.ACD对于A,因为bsin A=2 csin B,由正弦定理得ab=2bc,所以a>c,则A>C,所以C为锐角，故A正 确：对于B,因为AC.C30,所以AC1C1cos(x一C)>0,所以cosC<0,所以C为钝角，故B错误：对 于C,因为A,B均为锐角，且sinA>cosB,所以sinA>cosB=sin(受-B),所以A>受-B,可得A+B >受，则C为镜角，放C正确；对于D.因为0sC=+上_++2-"30，所以C 2ab 2m(1+1) 21 为锐角，故D正确.故选ACD. 12.2若x=-1-i,则|x=√/(-1)2+(-1)=2. 21 14.(一1,1)根据余弦定理a2=+c2-2 beeos A,得a2=(b-c)2+2k(1-cosA),令p=in B sin C= sin A 二S,所以b-c=a,因此a2=p2d2+2a2(1-cosA),即F=2cosA-1,由题意可知A是锐角，所以0< a cosA<1,因此0≤2<1，所以-1<p<1. 15.解：(1)因为之=-2+bi(b∈R), 所片帚-骨-心2士+-号+生 2 2 i…3分 又因为1千是实数，所以.-0，所以b=一2.… ……4分 【高三第三次阶段检测·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-329C 所以x=一2-2i. …6分 (2)因为g=-2-2i,m∈R,所以(m十2+x)2=(m-2i)2=m2一4mi+42=(m2-4)-4mi..…8分 m2-4>0, 又因为复数(m十)在复平面内对应的点在第一象限，所以 …10分 -4m>0, 解得m<一2，即实数m的取值范围是（一o∞，一2）.… 13分 16.证明：(1)连接DF,因为四边形ADEF为正方形，O是AE的中点，所以O是DF的中点， 又N是CF的中点，所以ON∥CD,又AB∥CD,所以ON∥AB,…3分 又ABC平面ABF,ON平面ABF,所以ON∥平面ABF.……6分 (2)因为CD=ED,M为CE的中点，所以DM⊥CE,… 8分 因为四边形ADEF为正方形，所以EF⊥DE, 10分 又平面CDE⊥平面ADEF,平面CDE∩平面ADEF=DE,EFC平面ADEF,所以EF⊥平面CDE.··12分 又DMC平面CDE,所以EF⊥DM…13分 又DM⊥CE,CE∩EF=E,CE,EFC平面CEF,所以DM⊥平面CEF.…15分 17.解：(1)根据正弦定理及acos C+√3 asin C-b-c=0,得sin Acos C+√3 sin Asin C=sinB+sinC,…2分 所以sin Acos C.+√3 sin Asin C-=sin(A+C)+sinC, 即sin Acos C+5 sin Asin C-=sin Acos C+sin Ccos A+sinC,…4分 整理，得/5sinA-c0sA=1,即sin(A-30)=7,所以A-30°=30，即A=60 ，…6分 （2)由A=60,S=2 csinA-=5,得c=4.…8分 由余弦定理，得a2=b2+c2一2 bccos A=(b十c)2-2bc-2bcc0sA,所以b+=4,…11分 又bc=4,所以b=c=2. 15分 18.解：(1)如图，取BC的中点Q,连接PQ, 由正四棱锥P-ABCD知PB=PC,所以PQ⊥BC, BC=30 cm,BP=PC=25 cm, 所以PQ=√/BP2-BQ=√25-15=20(cm),…2分 所以S△度=号BCxPQ--号×30×20=300(am),放正四棱锥P-ABCD的 侧面积为4S△c=1200(cm2).… …4分 【高三第三次阶段检测·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-329C 又长方体ABCD-A1B1CD的侧面积为4×30×25=3000(cm),底面积为30×30=900(cm), 所以这种“笼具”的表面积为1200十3000十900=5100(cm).…7分 (2)连接AC,BD,设AC,BD的交点为O,连接PO, 由正四棱锥P-ABCD知OP⊥平面ABCD, 又OBC平面ABCD,所以OP⊥OB, 因为AB=BC=30cm,所以OB=15/2cm,又BP=25cm,所以OP=5√7cm,…10分 所以正四棱锥P-ABCD的体积V=号AB·BC.0P=号X30X30X5万=15007(cm2)..13分 长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V2=AB·BC·BB1=30×30×25=22500(cm3). 所以这种“笼具”的体积为V=V+V2=(1500√7+22500)(cm3).…17分 19.解：(1)由S△BC=S△cD+S△D得， 号×1X2×sm60'=7×1×CDXsin30+7×2 XCDXsin30, 解得D-2,即市- 31 …4分 (2)(1)A=2时，AD=AB,B=子C,所以D,E分别是AB,BC的中点， 所以A花=AC+C市-AC+之C苏.C市=(Ci+Ci,… 6分 所以A花.cD=(AC+2C)·2Ci+CB)=2AC.Ci+2AC.Ci+1c第.Ci+1C ×1+×12×cos120+×2×1×c0s60+×2=. …9分 (川)假设存在非零实数入，使得A正⊥CD, 由AD=λAB,得AD=(C市-C), 所以CD=Ci+AD=CA+x(C弦-CA)=AC3+(1-A)CA 10分 又B=AB武，所以A正-AB+B配=-(Ci-CA)十(-Ci)=(1-A)C第-C,…12分 所以A龙.CD=(1-)C序-AC第.CA+(1-A)2C第.Ci-(1-)C =4(1-1)-入+（1-入)2-(1-λ)=-32+2入=0，… …15分 解得X=号或X=0(不合题意，合去)，即存在非零实数=号，使得正1成 …17分 【高三第三次阶段检测·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-329C