4.3.1等比数列第一课时教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该教案聚焦“等比数列的概念及通项公式”，通过类比等差数列，结合细菌分裂、《庄子·天下》“一尺之棰”等生活与文化实例，引导学生观察数列运算规律，自主建构等比数列概念。 融入《庄子·天下》内容增强文化自信，学生经历类比推导通项公式（不完全归纳法、叠乘法）的过程，培养逻辑推理素养，辨析含0数列、常数列等巩固概念，例题渗透分类讨论思想，助力学生提升数学思维，便于教师开展启发式教学。

课时教学设计 课题 4.3.1 等比数列的概念及通项公式 授课时间： 课型：新授课 课时：第一课时 1. 教学目标 情境与问题：教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。 知识与技能 ：理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系并能用有关知识解决相应的问题。； 思维与表达 ：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力； 交流与反思： 通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 2. 学习重点难点 重点：等比数列的概念，等比数列的通项公式的推导过程及应用。 难点：理解等比数列“等比”的特点及通项公式的含义。理解等比数列是一种函数模型。 3.教学准备：教材，课件，黑板 4.课程思政：《庄子·天下》里这段话可以看出中华传统文化中蕴藏着丰富的数学智慧，并非只有西方数学体系才有严谨的逻辑与规律探索，以此增强学生对中华优秀传统文化的认同感与文化自信，树立 “传承中华文脉、汲取传统智慧” 的意识。 （一）概念的引入 问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 问题2：“请看下面几个问题中的数列”，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 1 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,… 2 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 如果将“一尺之棰”看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： . 3 某人存入银行元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是: 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： 根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问． 追问：（1）你能用自然语言归纳每组数列的特征吗？（从相邻两项间的关系分析） （2）请归纳概括上述四个具体例子的共同特点． （类比等差数列的过程） （3）类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？可以用符号语言表示吗？ 生成概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 追问 1 如果一个数列是等比数列，它至少有几项？ 追问 2 结合等差数列的定义式，将等比数列的文字定义转化为数学符号语言。 巩固练习 例 判断下列数列是否是等比数列，若是，则公比是多少，若不是，请说明理由. 1）1，3，9，27，…； 是 2） 是 3） 1，0，1，0，…； 不是 4） 2，2，2，2，…； 是 5） 4，-8，16，-32，64，-128…； 是 6） 不一定 注意事项（1）等比数列中各项均不能为0 （2）非零的常数列既是等差数列又是等比数列 学生活动： 师生活动：学生独立思考、讨论交流． 该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念 师生活动：学生总结等比数列的定义式，教师点评注意事项。 师生活动：通过类比等差数列归纳探究等比数列的通项公式。 设计意图：让学生经历概念的自主建构过程，并让学生体会知识的完备性与纯粹性。 环节二： 问题3：结合等比数列的定义，观察等比数列的相邻三项，你有什么新的发现？ 方法有两种，分别是不完全归纳法和叠加法，类比等差数列的通项公式的推导方法，等比数列的通项公式也有两中推导方法。教师和学生共同完成等比数列的两种推导方法： 设等比数列，首项为，公比为 不完全归纳法： 叠乘法 ，共有（n-1）个等式 将这（n-1）个等式左右两边相乘得到 生成概念2 等比数列的通项公式：问题7 回忆等差中项的定义？ 追问1 类比等差中项的定义，能否总结出等比中项的定义？ 生成概念3 如果三个数组成等比数列，那么叫做的等比中项. 追问2 如何求等比数列的通项公式? 师生活动 习题：下列两个数是否有等比中项？ （1）1，9 （2）-1，-4 （3）-1，1 师生活动 按照等比中项的定义，（1）有，答案是；（2）有，答案是 （3）没有 师生活动：让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己的新发现． 师生活动：类比等差数列通项公式的推导方法，感受数学知识生产的过程，激发学生进一步学习的动力。 师生活动：让学生先独立思考，教师展示学生推导并规范解答． 师生活动：通过问题 通过类比等差数列的相关知识，进一步解析等比数列。 师生活动：引导学生观察思考，类比等差数列的性质，推导等比数列的性质． 设计意图：通过等差数列与等比数列之间的联系，把等差数列的一些性质迁移到等比数列中，发展学生的数学抽象，数学运算、逻辑推理的数学素养．引导学生类比等差数列通项公式的推导过程进行推导，并得到等比数学的通项公式．这是一个提升学生数学抽象的时机． 环节3： 例1 若等比数列的第项和第项分别为和，求的第项． 例2 已知等比数列的公比为，试用的第项表示． 师生活动：学生分析解题思路，给出解答并讨论交流，教师进行展示总结． 师生活动：学生独立思考，教师给出解答示范． 师生活动：学生独立思考，教师给出解答示范． 设计意图：例1与4．4节的例7类似，也给出了两个独立的条件．根据两个给定条件得到的关于首项和公比的方程组的解法往往不唯一，有时会得到两个的值，也就是得到两个不同的等比数列．此例题可以让学生掌握分类讨论的方法．例1也可以直接利用等比中项的定义进行解决，鼓励学生从多角度思考问题． 4. 板书设计 作业：完成本节课课后习题1，2，3． 6.教学反思与改进（教与学的经验性总结，基于学情分析和目标达成度进行对比反思，教学自我评估与改进设想。重点围绕情感态度价值观目标是否有效落实） 优点： 不足： 改进措施： 学科组长签字（盖章） 教研室签字（盖章） 教学副校长签字（盖章） 学科网（北京）股份有限公司 $