精品解析：安徽省合肥市肥东圣泉中学2025--2026学年上学期九年级数学期中试卷

肥东圣泉中学2025~2026年度第一学期数学期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 2. 下列各点中，在函数y＝图象上的是（ ） A. （－2，6） B. （3，－4） C. （－2，－6） D. （－3，4） 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案． 【详解】解：∵y=， ∴xy=12 A．（-2，6），此时xy=-2×6=-12≠12，不符合题意； B、（3，-4），此时xy=3×（-4）=-12≠12，不符合题意； C、（-2，-6），此时xy=2×6=12，符合题意； D、（-3， 4），此时xy=-3×4=-12≠12，不合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，有理数乘法，属于基础题 3. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移的规则，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：，再向下平移5个单位为：，即． 故选：A． 4. 已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x＋m上的点，则（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y1＝y2＞y3 D. y1＞y2＝y3 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，该二次函数对称轴是直线x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y3），进而可判断对应的函数值的大小． 【详解】解：∵y＝﹣2x2﹣4x＋m＝﹣2（x＋1）2＋2＋m ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1 ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小 ∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x＋m上的点 ∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y3） ∵1＜5 ∴y1＝y2＞y3 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质的知识． 5. 如图，已知，，，则的长等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 6. 如图，某公园为了使残疾人的轮椅行走方便，设想拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过，此公园门前的台阶高出地面米，则斜坡的水平宽度至少需（ ）（精确到米，参考值：） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，然后代入即可求解，掌握正切的含义是解题的关键． 【详解】∵台阶共高出地面米，斜坡的坡角不得超过， ∴斜坡的坡角为时，， ∴， ∴斜坡的水平宽度至少需米， 故选：． 7. 如图，在矩形中，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的四个角都是直角以及对边平行，利用勾股定理与相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：因为矩形中，，与平行， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相关性质与计算公式并熟练应用． 8. 如图，是边上一点，且．若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先证明得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：A． 9. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断． 【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上， ∴x=ax2+bx+c， ∴ax2+（b-1）x+c=0； 由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根． ∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点， 又∵-＞0，a＞0 ∴-=-+＞0 ∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0， ∴A符合条件， 故选A． 10. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，，，四条线段成比例，其中、，，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查成比例线段．根据四条线段成比例，列出比例关系，借助比例的基本性质，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵，，，四条线段成比例， ∴， ∵、，， ∴ 故答案为：． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为__________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，二次根式的计算，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 13. 如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点D，E，F分别在的边，，上，，，． （1）________； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则________．（填数字） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质． （1）由得出，则可得出答案； （2）过点F作交于点G，证明，得出，由（1）得，即可证出． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，过点F作交于点G， ∵点M是的中点， ∴N是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9题，第15、16、17、18每题8分，第19、20题每题10分，第21、22每题12分，第23题14分． 15. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先计算各项，再计算乘法，即可得． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，解题的关键是正确计算． 16. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将条件变形为，进而代入即可求值. 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，根据条件所给代数式进行变形后代入结论代数式求值是解题的关键. 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； （2）以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出的坐标为_______． 【答案】（1）作图见详解，点的坐标为 （2）作图见详解，的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图象的旋转，作位似图形等知识． （1）连接，根据旋转三要素得到，即可确定位置，依次确定位置，即可得到，并确定点的坐标为； （2）连接并延长两倍，即可确定位置，依次确定位置，即可得到，并确定点的坐标为． 【小问1详解】 解：如图，绕原点顺时针旋转得到，即为所求： ， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，的坐标为． 18. 【阅读与思考】 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，，，，是线段上一点，且，过点作交于点，使以，，为顶点的三角形与相似，求的长． 如图，过点作，交于点，则 ． 这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论． 【解决问题】 （1）写出正确的比例式及后续解答． （2）请将另一种情况画出相应图形并解答． 【答案】（1），； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得出结论； （2）另一个错误是没有进行分类讨论，过点作，则，可得出结论． 【小问1详解】 正确比例式为：， ， 【小问2详解】 另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点作， ，则， ， ， 综上可得：DE为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 19. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】（1）B处到灯塔P的距离为海里 （2）海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【小问1详解】 解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． 【小问2详解】 解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或． ∴不等式的解集为或． 21. 某商店购进一批成本为每件30元的小商品．经调查发现，当销售价为35元时，平均每天能销售90件；当销售价每涨2元时，平均每天就能少销售4件，设每件小商品售价x元，平均每天销售y件． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得利润w元最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为50元时，使得销售该洗手液每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 【解析】 【分析】（1）根据销售价是35元时，平均每天销售量是90件，而销售价每降低2元，平均每天就可以多售出4件，即可得出关系式； （2）由题意得，即可求解，注意的范围． 【小问1详解】 解：设每件小商品销售单价元，平均每天销售件， 与间的函数关系式为：， ； 【小问2详解】 解：由题意，得： ， ， ， 当时，随着的增大而增大． 又， 当时，有最大值，此时． 销售单价定为50元时，使得销售该洗手液每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确利用销量每件的利润得出函数关系式． 22. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 （1）求此二次函数的解析式； （2）点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 （3）若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：把和代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 23. 已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． （1）如图（1），求证：； （2）如图（1），若，求的值； （3）如图（2），连结交于G，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明两对角相等，来证明； （2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得； （3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 四边形矩形，， ，， 为的中点， ， ， ， ； 【小问3详解】 延长交于点， ， ，， ， ， 设，，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肥东圣泉中学2025~2026年度第一学期数学期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在函数y＝图象上的是（ ） A. （－2，6） B. （3，－4） C. （－2，－6） D. （－3，4） 3. 抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 4. 已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x＋m上的点，则（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y1＝y2＞y3 D. y1＞y2＝y3 5. 如图，已知，，，则的长等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，某公园为了使残疾人的轮椅行走方便，设想拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过，此公园门前的台阶高出地面米，则斜坡的水平宽度至少需（ ）（精确到米，参考值：） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在矩形中，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，是边上一点，且．若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，，，四条线段成比例，其中、，，则___． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为__________．（结果保留根号） 13. 如图，点A是反比例函数（）图象上一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是______． 14. 如图，点D，E，F分别在的边，，上，，，． （1）________； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则________．（填数字） 三、解答题（本题共9题，第15、16、17、18每题8分，第19、20题每题10分，第21、22每题12分，第23题14分． 15. 计算：． 16. 若，求的值． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； （2）以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出的坐标为_______． 18. 【阅读与思考】 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，，，，是线段上一点，且，过点作交于点，使以，，为顶点的三角形与相似，求的长． 如图，过点作，交于点，则 ． 这个解答有两处错误，一处是比例式写错了，另一处是解答过程不完整，没有分类讨论． 解决问题】 （1）写出正确的比例式及后续解答． （2）请将另一种情况画出相应图形并解答． 19. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数（）的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集为______； 21. 某商店购进一批成本为每件30元的小商品．经调查发现，当销售价为35元时，平均每天能销售90件；当销售价每涨2元时，平均每天就能少销售4件，设每件小商品售价x元，平均每天销售y件． （1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得利润w元最大？最大利润是多少？ 22. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 （1）求此二次函数的解析式； （2）点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 （3）若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 23. 已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． （1）如图（1），求证：； （2）如图（1），若，求的值； （3）如图（2），连结交于G，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $