精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

武安一中2025——2026学年第一学期12月考试 高二数学 一、单选题 1. 若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为，必有， 若原点在圆的外部， 则有，则有， 综合可得：； 故选：C. 2. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 3. 直线关于对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设所求直线上任意一点是关于直线的对称点，根据对称关系求得,代入直线的方程整理即得所求. 【详解】解：设所求直线上任意一点是关于直线的对称点， 则，解得, 由对称性得在直线上，, 即, 故选：A 【点睛】根据“一垂直二中点”列出方程组，求得是解决问题的关键，利用轨迹方程思想方法求直线的方程也是重要的思想之一. 4. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 【答案】C 【解析】 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 5. 已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求得通项公式判断. 【详解】由，可知是以18为首项，以-3为公差的等差数列， 所以 ，即， 所以通过数列图象上所有点的直线方程为， 故选：D 6. 已知各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，其同学通过讨论，有下面一些观点，与周边同学议一议，看看这四位同学的观点谁的正确（ ） A. 以上四个都正确 B. 只有（2）（4）正确 C. 只有（4）错 D. 只有（1）（2）正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据不同截面截三棱锥和球所得图形可确定（1）（2）（3）均可得到，但无法得到圆内接三角形的截面图形，由此可得结论. 【详解】以过球心且平行于底面的平面截三棱锥，交分别于点，如下图所示，所得截面如图（1）所示； 若分别为上的点，且与不平行，为上的动点，球心平面，且与不平行，与不平行，如下图所示，则截面如图（2）所示； 若分别为上的点且，为上的动点，球心平面，且与不平行，与不平行，如下图所示，则截面如图（3）所示； 不论怎样作截面，所得三角形都不可能是圆内接三角形，即无法得到面（4）. 故选：C. 7. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出正四面体外接球半径，再根据勒洛四面体的特征求出其内切球的半径. 【详解】由对称性知勒洛四面体内切球球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质知在上，而， 则，， 由，得， 又，所以该勒洛四面体内切球的半径. 故选：B 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案. 【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系， 由，结合对称性、圆的切线性质， 令，且， 所以， 所以，可得，故， 故选：D． 二、多选题 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 数列与数列是同一数列 B. 数列是递减数列 C. 数列的一个通项公式是 D. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【解析】 【分析】由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D. 【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD 10. 四面体中，点P，Q满足，则下列选项中正确的是（ ） A. 点P是的重心 B. 点Q在内 C. 直线AQ与DP是异面直线 D. 线段AQ与DP必相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】取中点，利用平面向量求和的平行四边形法则，可以得到，代入已知条件，得到，根据重心的性质，得到点P是的重心；根据已知的系数和为1，利用四点共面的性质得到点Q在内；根据已知和得到，从而得到三点共线，即得线段AQ与DP必相交. 【详解】取中点，连接， ， ， ，点P是的重心，选项A正确； ，又， 四点共面，点Q在内，选项B正确； ，在上， ， 三点共线，线段AQ与DP必相交； 综上可得，选项C错误，选项D正确. 故选：ABD 11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 ，（*） ，故A正确； ，故B正确； （*）两式相加，可得，故C不正确； 由（*）可得 ，两式相乘可得 ， ，故D正确. 故选ABD 【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简. 三、填空题 12. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 13. 双曲线的光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图所示，是它的一条对称轴，F是它的左焦点，光线从焦点F发出，经过镜面上点P，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，依题意可得、、三点共线，根据双曲线的定义计算可得. 【详解】设双曲线的右焦点为，依题意可得、、三点共线， 因为，，所以， 所以为等腰直角三角形， 所以， 由，即 所以. 故答案为： 14. 四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程为，给出下列结论正确的有__________ ①曲线有2条对称轴 ②曲线上两点之间最大距离为 ③曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） ④四个叶片围成的区域面积小于 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据对称性的判定方法，可判定①错误；设曲线上点到原点的距离为，结合基本不等式和不等式的解法，求得，再由曲线的对称性，可判定②正确；利用列举法，求得整点的个数，可判定③正确；根据以原点为圆心，半径为的圆的面积为，可判定④正确. 【详解】对于①，由曲线的方程， 用代换，方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，用代换方程不变，所以曲线关于轴对称； 用代换，用代换方程不变，所以曲线关于轴对称， 所以曲线有4条对称轴，所以①错误； 对于②，设曲线上点到原点的距离为， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 又因为， 所以，解得，所以， 用代换，代换，方程不变，所以曲线关于原点对称， 所以曲线上两点的距离为，即最大距离为，所以②正确； 对于③，由曲线经过点，共计5个整点，所以③正确； 对于D，因为以原点为圆心，半径为的圆的面积为， 其中四个叶片围成的区域在以原点为圆心，半径为的圆内， 所以四个叶片围成的区域的面积小于，所以④正确. 故答案为：②③④. 四、解答题 15. 在等差数列中， （1）若，求； （2）已知，求. 【答案】（1）9 （2）16 【解析】 【分析】根据等差数列的性质：若，则求解. 【小问1详解】 在等差数列中, ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴. ∴. 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）先设出点Q和点P坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程. 【小问1详解】 因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 17. 如图，是圆的直径，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 因为是圆的直径，在圆上，所以， 又平面平面，且平面与平面相交于， 平面，且，所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面，且与相交于点， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 以为原点，以为轴，以为轴，过平行于为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，所以， 所以，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以， 又平面，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系后写出，再设出点，则，写出，再运用向量夹角公式列出方程，即可求得，继而求得； （3）利用这个二次函数，求出取得最小值时的，则两点确定，再求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值，再转换为正弦值即可. 【小问1详解】 在矩形中，分别是的中点， 所以和是全等的正方形， 所以. 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设，则， 所以，而， 设直线与所成角为， 则， 解得或（舍去）.所以， 所以线段的长度为. 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取平面的一个法向量为. 设是平面的一个法向量， 则即， 取平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 19. 已知椭圆的焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （1）若，求的周长； （2）①若，求椭圆的方程； ②根据①中所求椭圆方程，在轴是否存在异于的定点Q，使为定值(其中为直线QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐标;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）①=1；②存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对称性及两点间距离公式求出三角形周长. （2）①根据给定条件，利用椭圆定义、结合三角形相似及斜率坐标公式求得即可；②设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解即可. 【小问1详解】 依题意，，则点关于x轴对称， 所以的周长为. 【小问2详解】 ①设，由，得， 又，则，又， 因此，解得，则，不妨令点， 直线的斜率，过点B作x轴的垂线，垂足为点P，则， 于是，，又，则， 由点在椭圆方程上，得，， 所以椭圆的方程为. ②由直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为， 由消去并整理得，设， 则，， 假设点存在，设，则 当时，而，则，， 所以存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武安一中2025——2026学年第一学期12月考试 高二数学 一、单选题 1. 若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 3. 直线关于对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 5. 已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，某同学画出四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，其同学通过讨论，有下面一些观点，与周边同学议一议，看看这四位同学的观点谁的正确（ ） A. 以上四个都正确 B. 只有（2）（4）正确 C. 只有（4）错 D. 只有（1）（2）正确 7. 数学中有许多形状优美､寓意独特几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列四个选项中，正确的是（ ） A. 数列与数列是同一数列 B. 数列递减数列 C. 数列的一个通项公式是 D. 数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 10. 四面体中，点P，Q满足，则下列选项中正确的是（ ） A. 点P是的重心 B. 点Q在内 C. 直线AQ与DP是异面直线 D. 线段AQ与DP必相交 11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则 A. B. C. D. 三、填空题 12. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为______． 13. 双曲线的光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图所示，是它的一条对称轴，F是它的左焦点，光线从焦点F发出，经过镜面上点P，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为______. 14. 四叶草曲线是数学中的一种曲线，其方程为，给出下列结论正确的有__________ ①曲线有2条对称轴 ②曲线上两点之间的最大距离为 ③曲线经过5个整点（横、纵坐标都是整数的点） ④四个叶片围成区域面积小于 四、解答题 15. 在等差数列中， （1）若，求； （2）已知，求. 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 17. 如图，是圆的直径，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 19. 已知椭圆的焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （1）若，求的周长； （2）①若，求椭圆的方程； ②根据①中所求椭圆方程，在轴是否存在异于定点Q，使为定值(其中为直线QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐标;若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $