精品解析：四川省内江市威远中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

威远中学校2025-2026学年高二上期12月月考 数学 2025.12.12 数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 4. 如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为( ) A. 1 B. C. D. 与点的位置有关 6. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则下列说法正确的有（ ） A. 边上的高所在直线的方程； B. 的外接圆的方程为； C. 过作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为； D. 的面积为. 10. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 11. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为正三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 14. 圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为_________. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 求满足下列条件的直线方程： （1）过点，且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程； （2）已知两直线，求过两直线交点，且平行于直线的直线方程． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2. （1）证明:AC1⊥A1B； （2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1－AB－C的余弦值. 19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2025-2026学年高二上期12月月考 数学 2025.12.12 数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求斜率，再求倾斜角. 【详解】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为， 则，，所以. 故选：B 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 4. 如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，可知直线与所成角即为直线与所成角，求出，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】取上靠近的三等分点F，取上三等分点， 连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以直线与所成角即直线与所成角， ， 由正方体的性质可得：平面，平面， 所以平面，所以，， ，， ， 在中，， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 5. 在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为( ) A. 1 B. C. D. 与点的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】作出图像，观察可知，点P到平面的距离是到平面距离的，为定值，据此即可求出体积. 【详解】∵， ∴点P到平面的距离是到平面距离的，即为＝1. ， ＝××1＝. 故选：B. 6. 已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，显然平面平面， 直线平面，则直线在平面内的射影为直线， 从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以直线与平面所成的角的正切为. 故选：C 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列说法正确的有（ ） A. 边上的高所在直线的方程； B. 的外接圆的方程为； C. 过作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为； D. 的面积为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对选项，利用直线垂直时斜率的关系可求得高线方程；对选项，用待定系数求圆的方程；对选项，根据直线从点到点的过程中斜率的变化求得；对选项，的面积利用点到直线的距离求得中边的高，然后根据面积公式即可. 【详解】对选项，直线的斜率为： 则边上的高的斜率为： 则高的方程为：，即 故不正确； 对选项，设的外接圆的方程为 则有： 解得：，， 所以△的外接圆的方程为： 故正确； 对选项，， 则过点作直线与线段相交时，则直线斜率的取值范围为： 故正确； 对选项，易知所在直线的方程为： 点到直线的距离为： 又 则的面积为： 故正确 故选： 10. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为正三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：设点A在底面投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：因为侧面是正三角形，故A正确； 对于选项B：由题意可知：，， 则，可知. 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以， 同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为，其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 【答案】. 【解析】 【分析】求出球半径即可. 【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上， 所以球的直径为正方体的对角线， 所以， 所以， 故球的表面积：. 故答案为：. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14. 圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为_________. 【答案】28 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，构造直角三角形求出四边形的对角线长度，则四边形面积为对角线乘积的一半，结合基本不等式即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，如图所示： 设， 则，且， 则四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最大值为28. 故答案为：28. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 求满足下列条件的直线方程： （1）过点，且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程； （2）已知两直线，求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分两种情况，过原点时设直线方程为，不过原点时设直线方程为，代入点即可求解； （2）联立、，解出交点坐标，再结合与直线平行，利用点斜式即可求解． 【小问1详解】 分两种情况， 当直线过原点时，设，代入，得，方程为， 当直线不过原点时，设截距式，代入，得，方程为， 综上，直线方程为或． 【小问2详解】 联立、方程，解得交点为， 直线斜率为，所求直线与之平行，斜率也为，又因为过， 所以直线方程为， 整理得． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. 小问2详解】 ①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2. （1）证明:AC1⊥A1B； （2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1－AB－C的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）二面角A1-AB­-C的余弦值为. 【解析】 【分析】(1) 由条件证明，，由线面垂直判定定理证明平面，由此证明；(2) 建立空间直角坐标系，结合条件直线AA1与平面BCC1B1的距离为，确定相关点的坐标，利用向量方法求二面角A1－AB－C的余弦值. 【小问1详解】 ∵ 点A1在平面ABC内的射影D在AC上， ∴ 平面，又平面， ∴ ，∵ ,，平面， ∴ 平面，平面， ∴ ， ∵ ，四边形为平行四边形， ∴ 四边形为菱形，故， 又，平面， ∴ 平面，平面， ∴ ； 【小问2详解】 以C为坐标原点，以为x轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，由题设有，， 设平面BCC1B1的法向量，则，因，所以， 所以，又，即， 所以点到平面的距离为，又依题设，直线AA1与平面BCC1B1的距离为，所以.代入①得（舍去）或，于是， 设平面的法向量，则，所以，所以 ，又为平面的法向量，故， 所以二面角A1-AB­-C的余弦值为. 19. 已知圆的圆心在直线上，且经过点和. （1）求圆的标准方程； （2）设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，且定点为 【解析】 【分析】（1）设点，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，求出圆的半径长，即可得出圆的标准方程； （2）（i）设点、，根据平面向量的坐标运算得出，代入等式化简可得曲线的方程； （ii）假设存在满足题设条件的点，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设点， 由题意得，即，解得， 所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设点、，由可得， 所以，解得， 因为点在上，所以（*）， 将代入等式（*）得，即， 故曲线的方程为； ②假设存在满足题设条件的点，设点、， 若直线的斜率为零，则直线与轴重合，不合乎题意， 设直线的方程为，联立, 可得， ， 由韦达定理可得，， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 所以 ， 即对任意的恒成立，故，解得， 故在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $