陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期第九次模考数学试题

**基本信息** 高中数学月考卷，以集合、函数、数列等核心知识为载体，通过直播带货统计分析、三棱锥概率等情境设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数、二项式定理等|基础巩固，梯度合理| |多选|3/18|统计量、等比数列性质等|考查思辨能力，区分度高| |填空|3/15|向量数量积、异面直线夹角等|聚焦空间观念与运算能力| |解答|5/77|解三角形、回归分析、双曲线、导数、立体几何与概率|第16题直播带货数据考回归分析，体现数据观念；第19题立体几何与概率结合，考查创新意识|

数学试题 注意事项： 1．本考试满分分，时间分钟． 2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4．只交答题纸，不交试题卷． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若全集，集合，，则（  ） 2．已知复数满足，则（   ） 3．的展开式中的系数为（   ） 4．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（   ） 5．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） 6．若用长为，宽为的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（    ） 7．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（   ） 8．若，则（   ） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知甲组样本数据，由这组数据得到乙组样本数据，其中，则（    ） 乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的3倍 乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的3倍 乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的3倍 乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的3倍 10．记正项等比数列的前项积为，若，则下列结论正确的是（    ） 当取得最小值时， 是递增数列 使的的最小值为17 11．已知曲线与坐标轴交于两点，点在上，则（   ） 为轴对称图形 直线与有两个公共点 使得的面积为的点恰有2个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 13．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为________． 14．设，函数的极小值为，则的取值范围是_______. 四、解答题（本题共5小题, 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求． 16．小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品.在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货.他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1.5 1.8 2 2.5 3.2 4 4.6 (1)求样本的相关系数（精确到0.01； (2)用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）. 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③ 17．已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程. 18．已知函数． (1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 19．在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. (1)求事件“”的概率； (2)求事件“为偶数”的概率； (3)若，求“二面角的平面角大于”的概率 数学试卷第4页，共4页 数学试题第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $陕西师大附中高三年级第九次模考答案 选择填空答案： 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D A D AD ACD 题号 11 答案 ABD 12.√15 132 14.0<a<1 6 一、选择题详解 1.【答案】B 【详解】因为U={1,2,3,4,5,6,A={1,2,3,4},所以(C4)={5,6}, 又B={1,3,5},所以(C4A)∩B={5}。 2.【答案】C 7-i0-06-0=2-i, 【详解】因为3+)=7-1，则5=3+i8+3-) 所以三=2+i. 3.【答案】D 【详解】对（√2+31，有T,H=C41(3x)=3.Cr, 令r=2,则1，=C(W2)2(3x2=108x2, 故(W2+3x)4的展开式中x2的系数为108， 4.【答案】A 【详解】因为f(✉是周期为2的函数，所以f弓=f 因为是奇酒数，当-1长<0时，)=(+》 所以周)-f-s〔分-12=-l, 故f=-1 5.【答案】B 【详解】法1：设{a}的公差为d,由a4+4,=20,得2=20，即，=10 陕西师大附中高三年级第九次模考数学答案第1页，共13页 由Sg=63,得Sg=94=63,所以4=7· 所以d=3,所以41=4+5d=10+15=25. 6.【答案】D 【详解】若圆柱的底面周长为46，则底面半径1=2，h=2, 此时圆柱的体积V=m2h=π× x2-8 cm', 若圆柱的底面周长为2cm,则底面半径，=1 元，=4, 1)2 4 此时圆柱的体积V=π2h=π× ×4=-cm 8 圆柱的最大体积为二cm3. 2 7.【答案】A 【详解】因为直线P以，P识的斜率之积为2×（之=-1，所以PRLP吗，∠PR= 由直线P的斜率为2，可 E=2,所以PF=2P, P 因为P+P四=2a,所以P-PF。 因为+PfKf,所以学+(9-2a,即20t-4c, 9 所以e=兰 8.【答案】D sina+2cos B=-1 sin2 a+4sin acosB+4cos2B=1 【详解】由题设 cosa-2sinB=V5,则 cos2a-4cosasin B+4sin2 B=2' 所以4 snB-4 cossinB+5=3,可得sinco-cosin=sin(a-B)=-】 2 由经a-<经，则a-a=r 7 =6元，故B=a-π， 6 7 代入cosa-2sinB=V2,则cosa-2sina-π=V2, 6 所以wa12n名。，则oa2ma, 试卷第2页，共13页 所以cosa+2 2inco-2元-V5ina-V2→sna-y6 6 6 3 所以m+ sin a- π+）=-ina=-y6 6 6 3 二、多选题详解 9.【答案】AD 【详解】A选项，甲组数据的极差为x-x,则乙组样本数据的极差是 (3.xma+2)-(3Xmin +2)=3(Xanx-Xmin), 乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的3倍，故A正确； B选项，设甲组数据的中位数为x,则乙组数据的中位数为3x+2,故B错误； C选项，设甲组数据的平均数为x,则乙组数据的平均数为3无+2，故C错误； D选项，甲组数据的标准差为$，则乙组数据的标准差为√9s?=3s,故D正确， 10.【答案】ACD 【详解】设{4}的公比为q(q>0), 对于A,由题意可得 410=4q°=8=23 Z,=aa4,=d7g*2+16=a7g36=27' 解得 41=2-15 g=22=4故A正确； 对于B,Tn=215×2-19×…×22m-17=2-16m, y=n-16n是开口向上的抛物线，其对称轴为n=8,所以当n=8时，Tn取得最小值， 选项C的表述未包括“n=9”,故B错误； 对于C,a,=4g”-1=215×4-1=2n-17,故{a}是递增数列，故C正确； 对于D,令T>1,即n2-16n>0,解得n>16或n<0, 因为neN,所以使Tn>1的n的最小值为17，故D正确. 11.【答案】ABD 【详解】对于A,不妨设C与x轴交于点A,与y轴交于点B, 令x=0,则-yy=1,解得y=-1,即B(0,-1), 令y=0,则xx=1,解得x=1,即A0,O),易得直线AB:y=x-1, 陕西师大附中高三年级第九次模考数学答案第3页，共13页 则AB=V(0-1)2+(1-02=√2，故A正确： 对于B,当x>0,y>0时，C:x2-y2=1,C在第一象限内有图象（双曲线的一部分)， 当x>0,y<0时，C:x2+y=1,C在第四象限内有图象（圆的一部分)， 当x<0,y<0时，C:-x2+y2=1,C在第三象限内有图象（双曲线的一部分)， 当x<0,y>0时，C:-x2-y2=1,此时等式不成立，故C在第二象限内没有图象， 设(x,y)在C上，因为，y)关于y=-x的对称点(y,-x)也在C上， 所以C关于直线y=-x对称，C为轴对称图形，故B正确； y=x 对于C,联立-1，得0=1，无解，故C错误： 对于D, 若PAB的面积为，且A=V反，则P到AB的距离为2 若P在第四象限，此时C的轨迹是圆心为(O,0),半径为1的圆在第四象限的部分图像， 0+0-1√2 圆心0.0到4Bx-y-1=0的距离为F+ 2 则P到AB的距离的最大值为1-2 则aP1B面积的最大值为1- 2 因为Y2,1、,所以不存在满足条件的点P 因为曲线C:x2-y2=1(>0,y>0),C:y2-x2=1(x<0,y<0)的渐近线为V=x, 上1-0-2 直线y=x与直线y=x-1的距离为企+(1 2 若aPAB的面积为子，且A=V5, 则P到直线AB:y=r-1和渐近线y=x的距离都为√ 如图，满足题意的点P恰有两个，故选项D正确， 三、填空题详解 12.【答案】√15 试卷第4页，共13页 【详解】la+6=V屁+2ab+6=,4+2×2x3x+9=V15 6 13.【答案】 6 【详解】作AD LBC,因为AB=AC=3,所以D是BC的中点， 过D作DD IIBB,由直三棱柱性质得DD⊥面ABC, 如图，作出符合题意的图形，以D为原点建立空间直角坐标系， B A 因为BC=BB=2,所以BD=CD=1,由勾股定理得AD=2√2， 则A22,0,0),B(0,-1,0),B(0,-1,2),C(0,1,0), 可得AB=(-2√2，-1,0)，BC=(0,2,-2), 设异面直线AB与BC所成角为6， AB.BC 2√2 则cos6= ABBC3x26 14.【答案】0<a<1 【详解一】因为f(x)的极小值为0，令f(x)=0,则x=a或x=1, 故x=a或x=1为f(x)的极小值点 若a=1,即x=1为∫(x)的极小值点 由题设f")=mx}+2x-)nx_血x-(xhx+2x-2) 令g(x)=xnx+2x-2,x>0,则g'(x)=lnx+3, 当x∈(0，e3)时，g(x)<0,当x∈(e3,+m)时，g'(x)>0, 故g(x)在(0，e3)上递减，(e3,+w)上递增， 陕西师大附中高三年级第九次模考数学答案第5页，共13页 而e3<1且8)=0，故x∈(e3,1)时g(x)<0,x∈(1，+∞)时8(x)>0, 而x∈(e3,1)时，nx<0,x∈1，+o)时lnx>0, 故x∈(e3,1)时，f'(x)>0,xe1,+∞)时f'(x)>0, 此时x=1不是f(x)的极小值点，与题设矛盾； 若a≠1， 若x=a为f(x)的极小值点，故"(a=0, 由题设f'(x)=m2+2(x-@lnx_lhx-(xinx+2x-2a) 因lna≠0，故必有alna+2a-2a=0,故ahna=0即a=1,与a≠1矛盾； 若x=1为f(x)的极小值点， 因为fw-血x(血x+2x-2a@,且0<x<1时，nx<0,x>1时nx>0, 故v(x)=xnx+2x-2a在x=1的附近总有v(x)>0, 由局部保号性可得v(1)=2-2a>0即0<a<1. 综上，0<a<1. 【详解二】 由f(x)=(x-nx)=0得，x=a,x3=1。由于x=1是方程的二重根，所以可以分 为三类。 当α=1时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图 试卷第6页，共13页 2 观察图像，不满足极小值为0，故舍去。 当α>1时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图 观察图像，不满足极小值为0，故舍去。 当0<α<1时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图 陕西师大附中高三年级第九次模考数学答案第7页，共13页 1416 观察图像，满足极小值为0，故0<a<1。 综上，0<a<1. 四、解答题详解 15.【详解】(1)d2-b2=ac-c2变形为：d2+c2-b=ac, 所以cosB=+c2-B1 3分 2ac 因为8E0,0,所以B=; 6分 (2)因为sC=语，且Ce0,所以C=M-osC-75 10 9分 由正孩定理得：品。c,即，解得6店 5 13分. 310 3 16.【详解】(1)由题意，得x=1+2+3+4+5+6+7=4, 1 =1.5+1.8+2+2.5+3.2+4+4.6=2.8 3分 7 ∑(x-x2=1-42+(2-4④2+3-4)2+4-42+(5-4④2+(6-4)2+(7-4④2=28 0-X影-月-g-7m-933-7x4×28=1496分 2s-)(y-) 14.914.9 所以T= 2年-列空g-列 √28×8.2615.21 0.98,8分 所以样本(，y)(=1,2…,7)的相关系数约为0.98 (2)因为∑-)(，-)=14.9，∑（飞-=28，所以 试卷第8页，共13页 6-盈-0g列 14.9 ≈0.53 11分 会年到 28 又7=4，万-15+18+2+25+32+4+46-28， 7 所以à=-b=2.8-0.53x4=0.68, .14分 所以回归方程为y=0.53x+0.68, 当.x=8时，少=0.53×8+0.68=4.92，所以预测第8天的销售额为4.92万元15分 17.【详解】(1)因为双曲线C的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线C为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程x2-y2=m(m≠0)，2分 又双曲线C经过点P(2,-√2)， 所以4-2=，即m=2, 所以双曲线的方程为2-少=2，即上 =1. 4分 22 (2) 法一： 根据题意可知直线1的斜率存在，又直线1过点Q(0,2), 所以直线1的方程为y=c+2, 2 所以原点O到直线1的距离d= Vk2+1 ，6分 y=k+2 联立 x2-=2得2-10x2+4x+6=0, 设点E(x1,y1),F(x2,y3) -4k x1+x2= k2-1 6 xX2=k2-1 所以k2≠1且△=16k2-24(k2-1)=24-8k2>0, 所以k2<3,且k2≠1， 9分 所以PFM+R.4-4-少x6-+F.256-尺 1k2-1 1k2-1 陕西师大附中高三年级第九次模考数学答案第9页，共13页 以a0B的面积为F1d=1+及.2·。三22.w k-1√2+1 所以3-2 =1,解得k2=2,所以k=±√5， .14分 k2-1 所以直线的方程为y=√2x+2或y=-√2x+2.15分 法二：根据题意可知直线1的斜率存在，又直线1过点Q(0,2), 所以直线的方程为y=x+2, 联立=+2 x2-y2=2,得k2-02+4+6=0, 设点E(x1,y),F(x2,y3) -4 +x=k-1 6 xx=k-1 所以k2≠1且△=16k2-24(k2-1)=24-8k2>0, 所以k2<3,且k2≠1，… 7分 由SAOEF=SAo2+SAo2,所以 Smo0*+与o0*=号og*kx2xV*)产-4 -4-25 12分 k2-1 -25 解得2=2，所以k=±√2， 14分 所以直线l的方程为y=√2x+2或y=-√2x+2…。 15分 试卷第10页，共13页 18.【详解】(1)f'(x)=a+ x2x’ 1分 则/"0=a+b-2=f0=a-b=, 2分 则a=5 = 1 .4分 4 (2)当b=1时，依题意有ax-}2x>0对于任意x>1恒成立，则a>2hnr+ 设->0.m(=24-2之 x3 h(x)=2x=2xlnx -2,h(x)=-2lnx, 由x>1得：Y()<0,则h()在(L,+0)上单调递减，7分 且h(1)=0,则h(x)<0在(1，+∞)上恒成立，即m'(x)<0,m(x)在(1，+o)上单调递减， m(1)=1,则m(x)<1,则a≥19分 (3)由(2)可知，当x>1时，x->2hx=nr2, 令x=i,则f->>1),因为2n+ >1, t 2n-1 令ts2n+1 则 2n+1 2m-1 2n+1 In 2n-1V2+1 2-1’ 1 In 2n+1 即 2n-1 13分 3 5 >n+n2++ 累加得：- 22 1 4 wi-3 3 2n+1=ln(2n+1) 2n-1 1 气>h(2n+1),(i=l,2…,n∈N) 成立17分 19.【详解】(1)由于f(C)、f(D)是从8个数字中选取两个不同的数字， 若f(C)=1,则f(D)有7种；若f(C)=2,则f(D)有7种；依此类推， 可得样本空间的个数为56个1分 又因为满足f(C)-f(D)=2的基本事件有 (1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(46),(6,4),(5,7),(7,5),(68),(8,6), 共12个样本点， 3分 陕西师大附中高三年级第九次模考数学答案第11页，共13页 根据古典概率知识得： 5G=; (2)用M,表示“f(C)、f(D)均为奇数”的事件， 若f(C)=1,则f(D)有3种；若f(C)=3,则f(D)有3种；依此类推 可知事件M1包含12个样本点， 用M表示“f(C)、f(D)均为偶数的事件， 同上可知，事件M,也包含12个样本点， .7分 又从1~8个数字中任取两个数字标签贴在C,D顶点的样本空间有56个样本点， 根据古莫顿率知识得：P心M)一号品P4)一品音， 记“f(C)+f(D)为偶数为事件O,则O=M+M, 故B=P4)+PM,)=3+3=3 141479分 (3)如图，取边CD的中点F,连结BF,AF,EF, 因为△BCD.、△ACD均是边长为a的正三角形， 所以AF⊥CD,BF⊥CD, 因AF∩BF=F,AF,BFC平面ABF,因此CD⊥平面ABF, 因EFC平面ABF,则CD⊥EF,从而∠AFE是二面角E-CD-A的平面角6,11分 又AF=8r-a=AB,则∠Am=∠F4=∠4B- 3 在△AEF中利用正弦定理得AE_,EF sin6sin☑BAr,则AE= EF.sine Ssin∠BAF 同理在△BBF中利用正弦定理得，BB= EF.sin (3 sin∠ABF B 试卷第12页，共13页 当二面角2Cn-4的平面角0大于号时，至0背则1<m0三5,1B分 f(A)AE到 sine sine 2 -=√3+1 则f(B)BE sin 2c0s61 2313一Z 3 tan 当f(B)=1时，f(A)≥3，则f(A)可取3,4,5,6,7,8共六个值； 当f(B)=2时，f(A)≥6，则f(A)可取6,7,8共三个值； 当f(B)≥3时，f(A)≥9，则f(A)不存在， 从18个数字中任取两个数字标签贴在A,B顶点的样本空间有56个样本点，16分 其中使得三面角B-CD-A的平面角0大于的样本点有9个，所以P 17分 陕西师大附中高三年级第九次模考数学答案第13页，共13页