精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

哈三中2025-2026学年度上学期高二学年 12月月考数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的右焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 6. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点，点为的重心，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，圆分别是圆上两个动点，点是直线上动点，则的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. “用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，圆心分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若过点作圆的切线有且只有1条，则 B. 若圆与圆有且只有2条公切线，则 C. 当时，两圆的公共弦所在直线的方程为 D. 当时，过点作圆的切线，切点为，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知是随机变量，则 B. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 C. 随机变量服从正态分布，若，则 D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变， 11. 已知点，直线为坐标原点，动点到点的距离是点到直线的距离的一半．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 满足的点有且仅有4个 D. 若点形成的轨迹为曲线，且矩形内接于曲线，则矩形面积的最大值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 的展开式中的系数为______（用数字作答）． 13. 已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为______． 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，为坐标原点，斜率为1且过的直线交椭圆于两点，的内切圆圆心为点，且，若为椭圆上一点，且满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的右焦点为，且长轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 16. 如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向处，岛在岛的正东方向处．已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系． （1）写出暗礁所在区域边界的圆的方程； （2）现有一船在岛的南偏西方向距岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 17. 2023年10月6日，哈三中举行百年校庆活动，在活动期间统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校仅开放1号门和2号门，校友从中随机等可能选择一个进入，且出学校与进学校选择相同门的概率为．假设校友从1号门、2号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月6日回母校参加活动，设为4人中从2号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差． 附：参考数据：． 参考公式：回归直线方程，其中． 相关系数． 18. 已知椭圆过点，分别是椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）已知点是轴上异于的一点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线分别交直线于两点． （i）若直线垂直于轴，且，求点坐标； （ii）是否存在点，使得？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量 （1）求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； （2）已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点； （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由； （ii）在（i）的条件下，过点的直线与曲线交于两点，过点的直线与曲线交于两点，且，求以四点为顶点的四边形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网命组卷网 哈三中2025-2026学年度上学期高二学年 12月月考数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题)和第IⅡ卷（非选择题)两部分，满分150分，考试时 间120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. x2.y2 =1 1.椭圆43的右焦点坐标为() A.(1,0) B.(2,0) c.(0,2) D. 0, 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标. x2.y2 =1」 【详解】椭圆43可知，a=2,b=V3,所以c=√a2-b2=1. 又a>b,所以该椭圆焦点在x轴上，故右焦点坐标为(，0) 故选：A 2已知直线尔mx+y-1=0,:+(m+y+1=0,若1马，则m=《) A.-1 B.2 C.2 D.2 【答案】C 第1页/共29页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可 【详解】由1，可知ml+1(m+)=0 m=- 解得 2, 故选：C +被圆+少2=2 3.直线y=x+1 截得的弦长为() 哈 2 A.6 B.2 C.2 D.√2 【答案】A 【解析】 【分析】应用点线距离公式及几何法求圆的弦长即可： 【详解1由+y=2的圆心为0,0)，半径为2 10-0+1川1 所以圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离为V12+(-)2 2, 所以直线y=1黄+少-2发得的造长为2×不-（分-6 故选：A 4.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是() 2y=1 x2,y2 =1 A.910 B.810 + =1 C.710 D.610 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率公式，分别求出四个椭圆的离心率，比较大小，分析即可得答案. 第2页/共29页 6学科网命组卷网 【详解】椭圆的离心率e=C- a a2,则ee0,) x2.y2 V10 选项A:9+01,离心率91-10 10 85V20 选项B:8+0=1,离心率%=1-10=5=10， x2,y2 1730 选项C:7+0,离心率100 父+y 项D:601,离心率8=-i05三0 所以9<6<6<e, 2=1 因为越小，椭圆越接近圆，所以这四个椭圆中，更接近于圆的为910 故选：A 5.哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿 活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5名教师志愿者分为4组，再将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，结合分 步计数原理，即可求解。 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组， C=10种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有 A4=24 种情况， 则有10×24=240种分配方案 第3页/共29页 命学科网命组卷网 故选：C 6日知桶题C。+y )+了1的左，右焦点分别为B,乃，点P为骺圆C上位于第一象限内的一点，点 G(o,%)为△FPE的重心，且 FP℉，=3，则yo的值为（了 5v5 5v5 ,5v5 5v5 A.6 B.9 C.12 D.18 【答案】D 【解析】 【分析】通过稀圆中焦点三角形面积公式可求出△P的面积，再通过面积求出P点纵坐标，最后由重 心坐标公式可得结果. 【详解1由题意得在椭圆C:9+5=1中，a=3,b=V5,c=2,设P(x,y.(:>0,片>0)。 放(20)E(20.在FPR中.FP5=胥. 所以5.5%=ban2=5x5_55 2 33· 南S=)EEx42y=，,解容方、3 6, 由于G(,%)为△FPS的E心，所以%=当=5 318, 故选：D. 7.已知圆C(x+3)+y=1,圆C(x-4+少=4，M,N分别是圆CC,上两个动点，点P是直 线y=x上动点，则PW-PM的最大值是《) 第4页/共29页 6学科网 命组卷网 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【解析】 【分析】根据PW≤PC+2PM≥PC-1,结合对称，可得PG,G三点共线时取到最大值 【详解1由题，|PN≤PC+2,PM≥PC-L,所以PM-PM≤PC-PC+3 设点C关于直线y=t的对称点为G(0,4),则PC,=PG 当P,G,G三点共线时，PC-PC最大，最大值为GC=V32+4=5 所以PNM-PM的最大值为8. 故选：D 2 8.“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲 线”，利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）·图2是射 灯投影的直观图，圆锥PO的轴截面APB是等腰直角三角形，椭圆O所在的平面与平面APB垂直，且点 M为线段PB中点，则椭圆的离心率为() 第5页/共29页 6学科网组卷网 B 图1 图2 5 3 √2 A. 6 B.5 C.3 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆维P0的轴截面性质找出椭园O的长轴和短轴所在位置，利用勾服定理和余弦定理以及三 角形相似性质，分别求出短轴和长轴，再由离心率定义计算可得结果. 【详解】设4B=2r,由于圆锥PO的轴截面APB是等腰直角三角形， 因此可得PA1PB,所以PB=V2,PO=r 又点M为线段PB中点，所以PM=2, 2 由勾股定理可得MM=VPP+PM=i0, 2 由椭圆对称性可知10=M0,=0, 4',连接PO,O0,延长PO,交B于点C,如下图所示， 第6页/共29页 6学科网列组卷网 由于O4是中点，防以在A1中.o0-BM-, 在RaPM中，OA-M=Mo, rm-or0心og+文 310 在△OPO 中，由余弦定理可得 2OP OP 10.10, 2r× 4 又在RuOPC，中os∠0P0=O=y=3i0 PGPG10,可得PC=, 3r: V10 r 3 因此可得PCV10。 3 4, 设椭圆O的短轴的两个端点为D,E,连接PD,P 并延长分别交圆锥底面于点尸，G】 PD OP3 易知APDE -APFG,所以PFPC4, 因为F为圆懂得线，所以PA=PA=V万r.因使PD=3 4 在RPOD中，山约股定可a0小-0-Q-号， 所以在椭圆。中， 0 因此可得c=Va-bF=V2 4 第7页/共29页 6学科网命组卷网 2 e= C_4 可得椭圆离心率a V10 5. 4 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知圆C:(x-+y=1与圆C:(x-3+(y+m°=4，圆心分别为CC,则下列结论正确的是 ) A若过点G作圆C的切线有且只有1条，则m=0 B.若圆与圆C2有且只有2条公切线，则-5<m<5 c当m=-2时，两圆的公共弦所在直线的方程为 x+4y-9=0 D.当m=2时，过点C作圆C的切线，切点为A,则4C=2 【答案】AC 【解析】 【分析】对A,由思可得点C在国C上，代入运算得解：对B,分折可知，两圆相交，根据圆与圆的位 置关系求出m的取值范围，可判断；对C,将两圆方程相减得解；对D,利用勾股定理求出切线长 【详解】由题，圆G:(x-+y=1的圆心为C(,0）,半径1=1， 圆C:(x-3+(0+m=4的圆心为C(3,-m）,半径5=2， 对于A,若过点C作圆C的切线只有1条，则点C在圆C,上，所以(1-3+m=4,得m=0,故A 正确； 第8页/共29页 命学科网命组卷网 对于B,若圆C与圆C2有且只有2条公切线，则两圆相交，且CC=V(1-3)}'+m2=V4+m2, 所以2-1<V4+m<2+1,解得一V5<m<5,故B错误 对于C,当m=-2时，圆C:(x-3+(y-2}=4 (x-1}+y2=1 联立(x-3)2+(y-2)2=4,得4x+4y-9=0: 4x+4y-9=0 即两圆的公共弦所在直线的方程为 ,故C正确： 对于D,当m=2时，C2(3,-2),则CC2=V(1-3)2+(0+2)2=22, 所以4C=VCC,-片=V8-1=V万，故D错误 故选：AC 10.下列说法正确的是( A已知X是随机变量，则E(X2)≥E2(X) B.一组样本数据的散点图中，若所有样本点(，少)都在直线y=0.95x+1上，则这组样本数据的样本相 关系数为0.95 C随机变量X服从正态分布N(,o),P(X>15)=0.34,若P(X<)=0.34,则a=0.5 D.在2×2列联表中，若a6,cd每个数据均变成原来的2倍，则X不变， n(ad-be)2 -(a)(c+d)(ate)bd)atb+c+d 【答案】AC 【解析】 【分析】A应用方差的求法判断：B由相关系数和拟合直线的意义判断；C应用正态分布的对称性判断；D 第9页/共29页 6学科网列组卷网 由卡方公式求数据变化后的卡方值判断。 【详解】A:令X对应数据为，，，平均值为=E(X), 则数据，…，的平均值为EX）, 方发D(x)=伍-++区-号+…+-26++5+底 n 5++-2m+m-++父-2=E(X）(X)20,对 n B:由相关系数是描述各样本点与直线的拟合程度和变化方向，与拟合直线的斜率大小无关， 如拟合直线的斜率为0.95，若所有样本点都在直线上时相关系数r=1,错， C:由题设及正态分布的对称性知P(X<0.5)=P(X>1.5)=0.34 故P(X<=0.34,即为a=0.5,对. D:数据变为原来的2倍后 2n(4ad-4be)2 32n(ad-be)2 -a+2b)2e+2d)(Q2a+2e)(b+2d)16(a+b(era)(aved 故卡方值为原来的2倍，错 故选：AC 1山已知点F(2,0),直线4x=8,0为坐标原点，对点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半. 若某直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是() x.y=1 A.点P的轨迹方程是16'12 B直线尔x+2y+8=0 是“最远距离直线” 第10页/共29页 6学科网6组卷网 c满足100=2的点P有且仅有4个 D若点P形成的轨迹为曲线「，且矩形ABCD内接于曲线「，则矩形ABCD面积的最大值为6W5 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点P(玉)， 根据题意列方程化简可得方程判断A;判断直线'与点P的轨迹方程是否有交点 判断B；判断圆与点P的轨迹方程是否有交点判断C:设点A(m,nm)在第一象限，写出矩形ABCD的面积 为S的表达式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值判断D, 【详解1对于A,设点P(x),因为动点P到点F(2,0)的距离是点P到直线1：x=8的距离的一半， 2-2j+r=-8,云后1，E x2 y2 =1 对于B,由 80头+69=0=5-2 存在点P(-2,3引，因此直线：x+2y+8=0是“最远距离直线”，故B正确， 对于C,由OP=2可得点P的轨迹方程为+少=4， =1 由 1612 x2+y2= 4可得方程无实数解，所以不存在点p满延OP=2故C错误： 一进TD,不边进点Am风在第一象限，为T10<m<4,设超形CD的面积 1216i2(16r-m）=12(m2-8y+768 则S=2m.2n=4mn=4m121-m 因为0<m<4,所以0<m<16,则当m=22时，Sx=V768=165,故D正确 第11页/共29页 6学科网命组卷网 故选：ABD 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12（-的辰开武中x的系数为— (用数字作答)· 【答案】10 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式求解即可 【详解(1-x的展开式的通项为Tn=C1（-=C(-旷·x,r=0,12,34,5, 则展开式中x的系数为C兮(}=10， 故答案为：10. x2y2 13.已知椭圆C:16+21,若直线1与椭圆相交于不同的两点A,B,且线段AB的中点坐标为 2 则直线1的斜率为 3 【答案】4#0.75 【解析】 【分析】利用点差法求解直线的斜率。 【详解】设1()，B(5,乃) 11 因为线段AB的中点坐标为2’2， 所以+x2=1,y+y2=1, 第12页/供29页 命学科网命组卷网 1612 将点， 代入椭圆方程可得： AB 1612 两式相减得16121612 -龙+-2=0. 生+X+合=0，即162子 ,a+0受物易 也即 16 12 k=乃-业=-3 设直线1的斜率为k,则x-x24。 3 故答案为：4. 14日知畅G于 下+片口@>b>0的左，右焦点分别为，5，O为坐标原，斜车为1月过万重 效格IAA两贴A怀A为点卫8古p上点爱 OP=0A+uOB(∈R),则22+止的最大值为 7 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件及内心的性质，可得a=2C,根据a,b,c的关系，可得椭圆C的方程，与直线 y=+C联立，结合韦达定理，可得+，，少的表达式，根据 OP=0A+OB(元，μ∈R),可得P点坐标，代入椭圆C方程，化简可得乙，“的关系，结合基本不等 第13页/共29页 6学科网6组卷网 式，即可得答案 【详解】设椭圆C的焦距为2么，△15的内切圆半径为， 则F(-c,0以，Fc,0),所以过5且斜率为1的直线方程为'=x+C, .w-(4F+lF]+Fr-(2a+2c)r-(a+or S.=3,所以 因为S5 a+cy=3,解得a=2c' cr x2.y2 所以62=d2-c2=3c2,则椭圆C的方程为4C+0-1,即3x+4y2=12c2, y=x+c 设Ax,bBx2,y2),联立3x2+4y2=12c2，得7x2+8cx-8c2=0 则+=8 8c 7 所以%=+c+c)=xx+c(+)+c2=_9e 7, 由0P=01+u0B=(x+y+4),得P(ax+,y+）. 因为P在椭圆C上，代入可得3(2x+:,尸+4元+，)}=12c2 整理得2(63x2+4y)+(6x,2+4y)+6x5+82u,=12c2 又3+4y2=12e2,3x2+42-12e,5=8g 7代入上式得： 第14页/供29页 6学科网命组卷网 2.12c2+2.12c2+6u 商2+i-小-加生”，则+f. 7 所以22+的最大值为2 P 废案为：八 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15速香导+茶=a>60叭的布高为FLo.H长长25. (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过椭圆C的右焦点F(L,0)作倾斜角为45的直线'，直线1与椭圆相交于M,N两点，求线段 MN 的长 x2.y2 =1 【答案】(1)54 16V5 (2)9 第15页/供29页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】（山少根据长轴长求出0，根据焦点坐标得到，利用=-求出， 求出，即可求出椭圆的标准 方程： y=x-1 (2)由题意求出直线的方程为 ,与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为25，即2a=2V5,则a=V5 又因为椭圆的右焦点为F(L,0),即c=1,所以b=a2-c2=4, x2,y2 =1 所以椭圆的标准方程为5+4 【小问2详解】 y=x-1 由题意可得直线的方程为 y=x-1 与椭圆方程联立得 x2,y2 =1,得 4 x2-10x-15=0 设M().N(,) 1 则+书 9,5 3, M=i++s-i9-4到-165 165 所以线段MN的长为9· 第16页/供29页 6学科网组卷网 V 16如图，某海面上有0小、B三个小岛（面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东 5° 方向 20√2km处，B岛在O岛的正东方向10km处.已知在经过0、AB三个点的圆形区域内有未知暗醺， 以0为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系. B北 西 →东 南 (1)写出暗礁所在区域边界的圆的方程： 30° (2)现有一船在0岛的南偏西30方向距O岛20km处，正沿若北偏东4 45 行驶，若不改变方向，试问该 船有没有触礁的危险？ 【答案】(1)x+y-10x-30y=0 (2)有 【解析】 【分析】(I)根据题意写出A和B的坐标，设过0、A、B三点的圆的方程为 x+y+Dx+y+F=0,将O、不、B代入圆的方程，通过解方程组得到D、B、F的坐标，从而得到 圆的方程； 第17页/共29页 命学科网组卷网 (2)求出圆+少-10x-30y=0的圆心和半径，求出船起初所在点C的华标，由船航线所在直线的斜 率为1，利用点斜式求出直线方程，求出圆心到直线的距离d,然后d与半径比较得到结论 【小问1详解】 :A岛在0岛的北偏东45方向20W2km处，420,20) ~B岛在0岛的正东方向10m处，六B0,0 设过0小B三点的圆的方程为r+广+Dx++F=0 将O、A、B代入圆的方程得 202+20+20D+20E+F=0 D=-10 102+02+10D+E×0+F=0,解得E=-30 0+02+D×0+E×0+F=0 F=0 则圆的方程为×+广-10x-30y=0 【小问2详解】 “圆的方程为+少-10x-30y=0,圆心为5,15)，半径为=510 设船起初所在的点为C,则C(-10,-10V3) 且该船航线所在直线的斜率为↓，则该船航线所在直线方程为y+10W3=x+10, 即x-y+10-10V3=0 圆心5,15)到直线-y+10-10N5=0的距离为 5-15+10-10W3 =5√6<5V10. √2 则该船若不改变方向，该船有触礁的危险 17.2023年10月6日，哈三中举行百年校庆活动，在活动期间统计连续5天进入学校参加活动的校友数 第18页/共29页 学科网命组卷网 (单位：千人)如下： 10月2 10月3 10月4 10月5 10月6 日期 日 日 日 日 日 第x天 2 3 4 参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与x的关系，请用相关系数”加以说明（保留小数点后两 r>0.75 位)；（若 ,则认为'与”的线性相关性很强)，并求出'关于”的线性回归方程： (2)校庆期间学校仅开放1号门和2号门，校友从中随机等可能选择一个进入，且出学校与进学校选择相 2 同门的概率为3.假设校友从1号门、2号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月6 日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差 附：参考数据： ∑xy=72,∑x=55,=4∑=95.86，V158.6≈12.59 i=l ∑y-m 参考公式：回归直线方程 其中6 a=y-bx i=bx+a -m2 -版 相关系数” 2-m r≈0.95>0.75 =1.2x+0.4 【答案】(1) 认为与的线性相关性很强；回归方程为 X 0 2 3 第19页/共29页 6学科网命组卷网 3 1 1 16 4 16 (2),期望值为2，方差为1.【解析】 【分析】(1)计算出相关系数”≈0.95>0.75 作出到断，并得到6和，行到国归方程， (2)设出事件，利用全概率公式得到“甲从2号门出学校”的概率，从而确定 ~4 利用二项分 布的知识求出分布列，期望和方差. 【小问1详解】 5 y-5xy 72-5×3×4 2-2- V55-5×32×V95.86-5×42 12 1212 V10×V15.86V158.612.59 ≈0.95>0.75 所以认为y与x的线性相关性很强， ∑xy-5x 6= 72-5×3×4 ∑x-5x2 55-5x32=1.2 a=-bx=4-1.2×3=0.4 =1.2x+0.4 故求出关于的线性回归方程为 【小问2详解】 记“甲从2号门出学校”为事件A,“甲从2号门进学校”为事件B, “甲从1号门进学校”为事件C, 由EP(=P(G)-,P4)-子P4C) 由内P小=国4re9r4c9-号. 第20页/共29页 6学科网命组卷网 同理，乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为2， Px=o=8=6.Px=)-c884. Px-2)=c8〔0-&.Px==c8[9)4 所以分布列如下： X 0 1 2 3 4 P 1 1 1 1 16 3-8 16 期里位为X=4×2.方釜为DX=4×分×1-- 18已版c号+若-4(a6>0发点Q受)。 4,B分别是椭圆。的左、右顶点. (1)求椭圆C的方程： ②已知点D是”维上T么8的点，过有D且甜学不为0的直线'与请间C文于M,N 两点，直线 BM,BN 分别交直线x=3手E,F 于 两点， )若直线1垂直于x轴，且F=3,求点。 (i)是否存在点D,使得ME⊥NF？若存在，求点D坐标：若不存在，请说明理由. 第21页/共29页 学科网丽组卷网 x2 【答案】(1)4 +y2=1 2D-10在.o 【解析】 【分析】(1)由已知条件可得出关于a、b的方程组，即可得出椭圆C的方程； (2)()由椭圆的对称性可得出F点坐标，写出直线BF方程，联立椭圆方程求出点N的横坐标即可： 设D,0(-2<1<2）,可设直线1：x=my+1,将该直线方程与椭圆C的方程联立，求出直线 BM BN E F 的方程，求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可化简得出 M正.N 的表达式，根据ME·F=0可求出‘的值，即可得出点D的坐标 【小问1详解】 Q 12 a2+ 21 2 由题可知 ,解得 2 a=21 P. 63 b=1 t 所以椭圆C的方程为4+少=】 【小问2详解】 (1)不妨设。在轴上方，由椭圆的对称性可知， 6 如图， 第22页/供29页 6学科网列组卷网 x=3 0 因为02,0叭：所以豆发BN的方程为y-0=号2(-2)， +y=1 4 联立 消元可得 ,解得 或 （舍去)， 6(x-2) x2-x-2=0 x=-1x=2 即w=-1,所以D(-10) c设M(,h)、N(s,)D%,0(-2<t<2) 由愿可知直线'的斜率不为，可设直线 l:x=my+t x=my+t 由x +y=1得(my+}+4y2-4=0 4 B E 即(m2+4y2+2m0y+2-4=0 则△=4m-4(m+4-4)>0,得2<m2+4, 第23页/共29页 6学科网列组卷网 由韦达定理可得片+⅓=一 2mt 2-4 +4,=+4, 汽8M的方程为产2-2列】 令=3可阳产2即含32】 --”0F-》 若ME1NF,则ME-NF=0 所以匠.派=(B-x)3-)+3-x6-5) (x-2)(x2-2) 6+-0-同 -(-@1-1-2 -wxt-m+rt-e-3流- yiy2 =1.5m2+4-241+3651-6 m2+4 t-2 6 所以存在5t-6=0,即5时，ME.NF=0, 第24页/共29页 6学科网命组卷网 6 D 做当50时，M1@ 19.已知向量OP=(cos8,sin0)绕若原点O沿道时针方向旋转&角可得到向量 opi=(rcos(0+a),rsin(@+a)). 九 (1)求点T(2,0)绕者原点0沿逆时针方向旋转4得到的点T'的坐标； (2)已知曲线C的方程为7x+7y+2=24,点9是曲线C上任意一点： ()是香存在定点M,N,使得M+N为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由： (i)在()的条件下，过点M的直线1与曲线C交于山B两点，过点V的直线上与曲线C交于D,E 两点，且1，求以4D,B,E 点为顶点的四边形面积的取值范围， 【答案4)T(V2,2): 288 (2)）(①存在定点M,N,坐标为 使得QM+lQW=4:(i 49,6 【解析】 【分析】(1)根据腿意列出方程，得到0T=(V2,2),故T(N2,V2), (2)()将曲线C绕原点0沿顺时针方向旋转4得到曲线C',设(x,y）为曲线C上(x,)旋转后 x=rcos0 + 的对应点，设y=rsin0,用x,y表达出x,y',代入曲线C的方程，整理得3+4 =1，根据椭圆方 程的定义得到答案： 第25页/供29页 6学科网列组卷网 x2y2 (在旋转得到的椭圆方程3+41中进行求解，求以(，D,B,E四点为项点的四边形面积的取值 范围，分A'B的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，表达出面积，结合基本不等式求出面积的取 值范围 【小问1详解】 T(2,0）,故0T=(2,0)=(ros8,sin0) rcos0=2 故rsin0=0,求出r=2,不妨取0=0， or-2cos经2s4}-,则r2). 【小问2详解】 使得lQM+|gW=4:理由如下： 将曲线C绕原点O沿顺时针方向旋转4得到曲线C”, 设(x,)为曲线C上Q(x,V)旋转后的对应点， x'=rcos 0+π）- 4 2 (rcoso-rsin)=2 (x-y) 设x=rcos0:则 y=rsine y'= 2(x+y) 又7x2+7y2+2xy=24 可-列j列j2-功号e功4 一=1 整理得34，曲线方程为椭圆方程，其中a=2,c=V4-3=1, 第26页/共29页 6学科网命组卷网 故两焦点为0，±，故点(x叭到(0,1小，5B(0,-的距离之和为定值2a=4, 旋转时，曲线形状不变， t”2o-1)=、 20+少5 2 2 又 2 故(0,1)，(0，-1)在旋转前坐标为 所以存在定点M,N,坐标为 ) 使得1oM+leN=4: (山由知，间题转化为直线（过点R(Q,)与曲线了+4l交于B, x2.y2 直线过点E(0,-)与曲线3+4=1交于D,E',且1， A,D',B',E' 求以 四点为顶点的四边形面积的取值范围， 4B'与DE'交点H(m,n)满足lF+FH=FF=4,即m2+2=4,且在椭圆内部， 当8的斜率不存在时，HB例=4，此时DB与轴平行， 苦苦-1中.y将=.p-3. 第27页/共29页 6学科网列组卷网 所以四边形A'D'B'E的面积为2 ABD'E到=6 当AB y=kx+1 的斜率存在时，设其方程为 + 联立y=+1与3+4=l得(4+32)x2+6-9=0. △=36k2+36(4+3张2)>0恒成立，t设(，)，B'(x,乃）， 则古+5,6 9 4+3k2x5=- 4+32, B1-+eG*分4-iE4j+4 6k2, 36 12(k2+1) 4+3k2· 同理可得 12(k2+1) A+K 3 4k2+3, 所以四边形A'D'BE的面积为 专E309 72(k2+1月 288 4k2+3 4+3k2+4k2+3 49 2 当且仅当4+3张=4秋+3，即k=士1时，等号成立， 288 .<6 288 因为49，所以四边形A'D'B'E'面积最小值为49， 0E-0-6p4然B6 6k2 第28页/共29页 6学科网命组卷网 「288 综上，四边形DBB面积取值范围是49,6， 288 故以4，D,B,E四，点为顶点的四边形面积的取值范围是49,6 第29页/共29页