山东省威海市临港经济技术开发区2025-2026学年上学期九年级 数学12月月考测试题

试卷答案 1-5 ABBBC 6-10 DDDCA 11．【答案】3-2 【解析】先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可． 解：原式= = =． 故答案为：． 12．【答案】60 【解析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 解：如图，作BG⊥x轴，垂足为G，AH⊥x轴，垂足为H， ∵∠AOB=90°， ∴∠GOB=∠OAH， ∴△BGO∽△OHA， ∴=， ∵顶点A，B分别在反比例函数y=（x＞0）与y=-（x＜0）的图象上， ∴S△BGO=3，S△OHA=1， ∴tan∠BAO==， ∴∠BAO=60°， 故答案为：60°． 13．【答案】 【解析】取格点D，连接CD，根据勾股定理的逆定理判定△BDC是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 解：如图，连接CD， 由勾股定理知：，，， ∵， ∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°， ∴， 故答案为：． 14．【答案】12 【解析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 解：设扇形的半径为r cm, 由题意得：， 解得：r=12， 故答案为：12． 15．【答案】-1≤y≤8 【解析】根据题意，得出抛物线的对称轴，再结合抛物线的增减性及x的取值范围即可解决问题． 解：由题知， 因为y=x2-4x+3=（x-2）2-1， 所以抛物线的对称轴为直线x=2且开口向上． 又因为1≤x≤5， 所以当x=2时，y取得最小值为-1， 当x=5时，y取得最大值为8， 所以y的取值范围是-1≤y≤8． 故答案为：-1≤y≤8． 16．【解析】（1）利用待定系数法分别求出两个函数解析式即可； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）设点N的坐标为（0，n），根据题意得到关于n的方程解得n=7或-5．即可得到点N的坐标． 解：（1）∵点A（1，2）和B（-2，a）在反比例函数y=的图象上， ∴m=1×2=-2×a, ∴m=2，a=-1， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵点A（1，2）和B（-2，-1）在一次函数y1=kx+b（k≠0）图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y=x+1． （2）如图， 由图可知，不等式y1≥y2时x的取值范围为：-2≤x＜0或x≥1． （3）由一次函数解析式y=x+1可知M（0，1），设点N的坐标为（0，n），根据题意得： ， 解得n=7或-5． ∴N（0，7）或（0，-5）． 17．【解析】（1）根据矩形的性质可证得△MDC∽△MAN，然后即可求解； （2）由（1）得AD=x m,，根据矩形面积公式求解出，然后即可求解． 解：（1）由题可得：四边形ABCD为矩形， ∴AB∥DC，CD=AB， ∴△MDC∽△MAN， ∴，即， ∵AD=x m,AM=9m,AN=12m, ∴DM=9-x, ∴， 解得：米； （2）由（1）得：AD=x m,，矩形ABCD的面积为y m2， ∴S▱ABCD=AD•AB，， ∴当时，矩形面积y最大，最大面积为 27m2； 18．【解析】（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则四边形OCFD是矩形，进而得CF=OD，设点A的坐标为，则AD=a,OD=CF=，根据S△ACD=3可得出k=6，由此可得出双曲线的表达式； （2）连接BE，先求出点A（2，3），点B（-3，-2），则点D（0，3），再求出点C（-1，0），利用待定系数法求出直线CD的表达式为y=3x+3，由此可求出点E（-2，-3），则BC=，BE=，CE=，根据勾股定理逆定理得△BCE是直角三角形，据此可得△BCE的面积； （3）根据点A（2，3），点B（-3，-2），结合函数的图象即可得不等式的解集为-3＜x＜0或x＞2． 解：（1）过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图1所示：   ∵AD⊥y轴， ∴∠ODF=∠ODA=∠F=∠DOC=90°， ∴四边形OCFD是矩形， ∴CF=OD， ∵点A在双曲线y=k/x上， ∴设点A的坐标为， ∵AD⊥y轴， ∴AD=a,OD=， ∴CF=， ∵S△ACD=AD•CF=3， ∴， 解得：k=6， ∴双曲线的表达式为：； （2）连接BE，如图2所示： 解方程组：，得：，， ∴点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（-3，-2）， ∵AD⊥y轴， ∴点D的坐标为（0，3）， 对于y=x+1，当y=0时，x=-1， ∴点C的坐标为（-1，0）， 设直线DC的表达式为：y=mx+n, 将点D（0，3），点C（-1，0）代入y=mx+n, 得：， 解得：， ∴直线CD的表达式为：y=3x+3， 解方程组：，得：，， ∴点E的坐标为（-2，-3）， ∵点B的坐标为（-3，-2），点C的坐标为（-1，0）， ∴BC==，BE==，CE==， ∵BC2+BE2=（=10，CE2==10， ∴BC2+BE2=CE2， ∴△BCE是直角三角形，即∠EBC=90°， ∴S△BCE=BC•BE==2； （3）∵点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（-3，-2）， ∴由直线y=x+1与双曲线得：不等式的解集为：-3＜x＜0或x＞2． 19．【解析】（1）连接OM交AD于点N，则OM⊥BC，得AN=DN=0.9m,连接OA，设⊙O的半径为r,则ON=（r-0.3），根据勾股定理得（r-0.3）2+0.92=r2，解方程即可解答； （2）连接OE，则OE⊥ED，OE=1.5m.过点O作OH⊥AD于点H，由矩形的判定与性质得到AH=1.8-1.5=0.3，连接OA，OF，则OA=OF=1.5m,，再根据圆周角定理得到∠AEF=∠AOH即可解答． 解：（1）如图：连接OM交AD于点N，则OM⊥BC， ∴OM⊥AD，MN=0.3m, ∴AN=DN=0.9m 连接OA，设⊙O的半径为r,则ON=（r-0.3）． 由勾股定理，得ON2+AN2=OA2， ∴（r-0.3）2+0.92=r2， 整理得，0.6r=0.9， 解得r=1.5． 故⊙O的半径为1.5m. （2）如图：连接OE，则OE⊥ED，OE=1.5m. 过点O作OH⊥AD于点H． 又∵∠EDH=90°， ∴四边形OHDE是矩形， ∴HD=OE=1.5m, ∴AH=1.8-1.5=0.3（cm）． 连接OA，OF，则OA=OF=1.5m, ∴． 又∵， ∴∠AEF=∠AOH， ∴， 所以sin∠AEF的值为． 20．【答案】70 【解析】（1）由题意可得顶点C（0，32.5），可设y=ax2+32.5，把B（15，10）代入即可解答； （2）设FG=2m,则可得F（m,2m），代入抛物线即可解答； （3）设矩形的横杆的长度为2a,则可用a表示矩形的竖杆的长度，即可解答． 解：（1）由题意可得顶点C（0，32.5），B（15，10）， 设抛物线的解析式为y=ax2+32.5， 把B（15，10）代入可得10=225a+32.5， 解得a=-0.1， ∴抛物线的解析式为y=-0.1x2+32.5； （2）设FG=2m, ∵H、E、F，G四点构成的四边形恰好为正方形， ∴HG=2m, ∴OG=m, ∴F（m,2m）， 代入抛物线可得2m=-0.1m2+32.5， 解得（负值舍去）， ∴米； （3）设矩形的横杆的长度为2a,则矩形的纵杆为-0.1a2+32.5， ∴这3根加固杆的总长度为2（-0.1a2+32.5）+2a=-0.2a2+2a+65， 时，这3根加固杆的总长度取最大值为70米， 故答案为：70． 21．【解析】（1）根据点G是弦AB的中点可得，即可得到∠AFD=∠BFD； （2）找GB的中点E，连接DE交⊙O于点P，点P即为所求． 解：（1）∵CD是⊙O的直径，点G是弦AB的中点， ∴， ∴∠AFD=∠BFD； （2）如图，找GB的中点E，连接DE交⊙O于点P， ∵∠AFD=∠BFD， ∴PE是∠APB的平分线， ∴点E到AP，BP的距离相等， ∵， ∴AE=3BE， ∴S△AEP=3S△BEP， 由于点E到AP，BP的距离相等， ∴AP=3BP， 故点P即为所求． 22．【解析】（1）根据对应点画图象即可； （2）①利用待定系数法求出二次函数的关系式；②把h=0代入即可； （3）根据喷泉推理大小改变前后的函数解析式可以判断推理改变后抛物线开口变大，从而得出结论； （4）把d=5代入二次函数关系式得到h得值，再与4.2比较即可． 解：（1）如图： （2）①由图象得，顶点（3，5.6）， 设h=a（d-3）2+5.6， 把（0，2）代入可得a=-0.4， ∴h=-0.4（d-3）2+5.6； ②当h=0时，-0.4（d-3）2+5.6=0， 解得或（舍去），（米）， 答：喷泉的落水点距水枪的水平距离约为6.7米， 故答案为：6.7； （3）∵-0.3＞-0.4， ∴改变喷泉的推力后抛物线开口变大， ∴此时喷泉会喷到水池外面， 故答案为：会； （4）当时，h=4＜4.2， 答：游船有被喷泉淋到的危险． 23．【解析】（1）依题意，A（0，10），B（20，0），D（10，17.5）代入y=ax2+bx+c（a≠0），待定系数法求解析式，即可求解； （2）设E（），，，再根据S△ACE=S△OAE+S△OCE-S△AOC即可求解； （3）根据等面积法即可求解． 解：（1）设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c, 由题意可知：A（0，10），B（20，0），D（10，17.5）， 将点A，B，D代入y=ax2+bx+c中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）连接OE． 设E（）， ∵OA=10， ∴， ∵OC=OB=10， ∴， ∴S△ACE=S△OAE+S△OCE-S△AOC = =， ∵， ∴S△ACE有最大值， 当时，S△ACE有最大值=90m2， ∴E（12，16）； （3）∵OA=OC=10， ∴， 由（2）可得S△ACE有最大值=90m2， 设点E到AC的距离为h,则， 解得：， 即点E到AC的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级上册初中数学12月月考测试题 一、选择题(共10题，共30分) 1．(3分)如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　） A. 250米 B. 250米 C. 米 D. 500米 2．(3分)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=上，顶点B在反比例函数y=上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（　　） A. B. 4 C. 6 D. 3．(3分)如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（　　） A. B. C. D. 4．(3分)已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（　　） A. 2 B. 1 C. D. 5．(3分)已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2-2x和一次函数y=bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6．(3分)如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD=a,则建筑物AB的高度为（　　） A. B. C. D. 7．(3分)如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-4）．则下列结论中错误的是（　　） A. b2＞4ac B. ax2+bx+c≥-6 C. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1 D. 若点（0，m），（-7，n）在抛物线上，则m＞n 8．(3分)如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，∠ABC=70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（　　） A. 70° B. 90° C. 110° D. 120° 9．(3分)某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m.建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y=ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（　　） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 10．(3分)已知：如图，ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，则AE的长是（　　） A. B. C. D. 二、填空题(共5题，共15分) 11．(3分)计算：= _____． 12．(3分)如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数y=（x＞0）与y=-（x＜0）的图象上，则∠BAO= _____°． 13．(3分)如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点A、B、C都在格点上，则cos∠ABC的值为_____． 14．(3分)如图所示，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm,则这个扇形的半径是 _____cm. 15．(3分)已知二次函数y=x2-4x+3，当1≤x≤5时，y的取值范围为 _____． 三、解答题(共8题，共75分) 16．(6分)如图，一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（-2，a），与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出y1≥y2时，x的取值范围； （3）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标． 17．(8分)如图．在Rt△AMN中，∠A=90°，AM=9m,AN=12m,在其内部作一个矩形ABCD，其中点D在边AM上，点B在边AN上，点C在边MN上，设矩形的一边AD=x m. （1）请用含x的代数式表示AB边的长度； （2）设矩形ABCD的面积为y m2，求当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 18．(8分)如图，直线y=x+1与双曲线相交于点A，B（点A在第一象限，点B在第三象限），与x轴相交于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接DC并延长交该双曲线于点E，连接BE，已知S△ACD=3． （1）请直接写出该双曲线的表达式； （2）求△BCE的面积； （3）请直接写出关于x的不等式的解集． 19．(10分)图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形ABCD是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知AB=0.3m,AD=1.8m.将手柄向下压，直至所在的圆（⊙O）与BC相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． （1）求⊙O的半径． （2）如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在CD的延长线上，与AD交于点F．经研究发现，此时⊙O与CD相切于点E，连接EA，EF，求sin∠AEF的值． 20．(10分)某游乐场将修建一款大型过山车，如图1为这款过山车的一部分轨道平面设计图，左半部分可近似的看成为抛物线，为了使轨道稳固，共修建了纵横交错的5条支撑杆，A、E、C、F、B都在抛物线上，其中纵杆EH、CO，FC均垂直于地面，横杆EF、AB均平行于地面、过最高点C的主支撑杆OC=32.5米，横杆AB=30米，横杆AB距离地面10米． 数学建模 （1）如图2，以O为原点，OC所在的直线为y轴，垂直于OC的直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设轨道上某点距离地面的高度为y（米），该点距OC水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式． 问题解决 （2）图中的H、E，F，G四点构成的四边形恰好为正方形，求纵杆FG的长度．（结果精确到0.1米， （3）安监部门审核时，为确保安全，还需进行加固，添加1根横向加固杆和2根纵向加固杆后与地面构成矩形，其中矩形横杆两个顶点在抛物线上，请直接写出这3根加固杆的总长度最大值为_____米． 21．(12分)如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，CD和AB相交于点G，点G是弦AB的中点． （1）若点F在⊙O上，连接FA，FD，FB．求证：∠AFD=∠BFD． （2）在弦AB上方的优弧作一点P，使PA=3PB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22．(12分)某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米． d/米 0 0.7 2 3 4 … h/米 2.0 3.484 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． （2）①求喷泉抛物线的解析式； ②求喷泉的落水点距水枪的水平距离． （3）已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为h=-0.3（d-3.5）2+5.7，此时喷泉是否会喷到水池外？为什么？ （4）在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4米，顶棚到湖面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险． 23．(9分)综合与实践 问题情境：如图1，是学校操场一角的劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量OA=10米，OB=20米，根据学校开展劳动教育的需要，现要对该土地进行种植区域划分，设计如下方案： 方案设计：①取OB的中点C，在△OAC的区域内种植西红柿；②过点C作OB的垂线交抛物线于点D，测得CD=17.5米，又分出的两个区域分别种植菠菜和豆角． 方案实施：学校课程中心的老师以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2． （1）请求出抛物线的函数表达式； （2）为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点E，安装一个△ACE形状的遮阳网，如图2．请求出该遮阳网面积最大时点E的坐标； （3）请你直接写出（2）中遮阳网面积最大时，点E到AC的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $