专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理相似三角形半角模型知识体系，从模型来源（旋转构造全等）出发，明确核心要素（共顶点、半角关系、比例关系），按90°与45°、120°与60°分类呈现模型条件、结论及证明过程，结合图形直观展示知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于真题引领与分层练习设计，以2025年广东校考二模题为例，通过旋转辅助线将分散条件集中，引导学生用数学思维推导相似关系，培养推理能力与模型意识。例题覆盖正方形、菱形等多种图形，基础题巩固模型应用，综合题提升创新意识，助力教师实施分层教学，支持学生自主构建解题方法体系。

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．    (1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：； ②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长； (2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）． 例3（24-25九年级上·广东深圳·期中）矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；结论正确的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 例4（24-25·江苏无锡·九年级期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 ． 例5（2024·福建厦门·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 例6（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点． (1)如图，当，时求证：；连接，与交于点，与交于点，若，求 的值；(2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，且，若，求的值． 例7（24-25·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系；(2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，若，下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 4．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在正方形中,点G为边上的动点,点H为边上的动点,且满足,连接,分别交正方形的对角线于F，E两点,则下列结论中正确的有 ．（填序号即可）． ①  ②  ③  ④ 5．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知如图，在正方形中，，E，F分别是，上的一点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点B作，交于点M，则以下结论：①，②，③，④中正确的是 ．    6．（24-24九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，若，，则的长是 ． 7．（2024·江西九江·三模）课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号）①；②；③． 类比迁移（2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：．②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用（3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 9．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，在中，，，D是上一个动点，连接，以为边向右侧作等腰直角，其中．    (1)如图2，G，H分别是边，的中点，连接，，．求证：； (2)在点D从点B向点C运动过程中，求周长的最小值； (3)如图3，连接，直接写出当为何值时，是等腰三角形． 10．（24-25·江苏泰州·九年级校考期末）（1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形； （3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示） 11．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，正方形中，E、F分别是边、上的点，、分别交于点G、H，连接，恰好有． (1)求证：；(2)求证：；(3)直接写出的值； (4)图中能够证明的相似三角形（不连接其它线段，包括全等三角形）共有（    ） A．4对    B．6对    C．11对    D．16对 12．（2025·江西·校考一模）综合与实践：数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：． 13.（2024·山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．    14.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 15.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 16．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．                 图3 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴ ∵，，∴， 又∵，∴,∴ ∵,   ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴, ∵，∴, ∴，∴， 又∵，∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且，∴， ∴，∴， ∴，∴ ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴, ∵，，∴ ∵,∴，∴∴, ∵菱形的边长为，∴， ∵，∴，∴， ∵∴cm， ∴，∴线段的长为． （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】如图，∵四边形是正方形，∴． ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴，故①正确， ∴，∴，∴是等腰直角三角形，故②正确， ③如图，∴将绕点A顺时针旋转得到，则，． ∵．∵，∴H、B、E三点共线， 在和中，，∴， ∴，故③正确，设正方形的边长为，则，， ∵，∴，∴ ， ∴ ，∴， ∴，故④正确．故选：D． 例2（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．    (1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：； ②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长； (2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②，；③；(2)或． 【详解】（1）①证明：∵    ②，，∵，∴， ∵、都是等腰直角三角形，∴，， ∴，； ③在中，，，则，， ，，， ，，，即，解得：； （2）如图2，当点在线段上时，由②可知：，    ，即，解得：，； 如图3，当点在线段的延长线上时， ， 综上所述：的长为或． 例3（24-25九年级上·广东深圳·期中）矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；结论正确的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：，， ， ，， ，，， ，故①正确； ，，在中，， ，，， ，，，，故②正确； 在中，， ，，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，， ，，，，故③错误； ，故④错误；，故⑤错误；故选：B． 例4（24-25·江苏无锡·九年级期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图，∵，，∴，． 在中，，，∴， ∴，∴．∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形． ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则， 在中，，， ∴，∴，∴．故答案为：． 例5（2024·福建厦门·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 【答案】(1)(2)①平行，② 【详解】（1）解：如图：∵四边形是正方形，∴，平分，∴， ∵，∴，又∵∴， ∴，∴∵，∴，∴； （2）解①：延长至点H，使得，连接，由（1）知，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，， ∵点G为的中点，∴，∵四边形是正方形， ∴，，而，∴， ∴，，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②解：过点作于点．过点作于点，， 又，四边形为平行四边形，，同上可得，， ∴，， ，，，， 又∴四边形为平行四边形，， 设，则，同上可求， ，，解得：， 则，由（2）得：，， ，． 例6（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点． (1)如图，当，时求证：；连接，与交于点，与交于点，若，求 的值；(2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，且，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析；；(2)． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； 过点作于点， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，相似比， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵四边形是菱形，，∴，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，． 例7（24-25·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系；(2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度． 【答案】(1)(2)(1)中线段，，之间的等量关系还成立，证明见解析(3) 【详解】（1）解：四边形是正方形，，，， ，平分，， 在与中，， ，，，，， 平分，平分，，，； （2）解：（1）中线段，，之间等量关系还成立， 证明如下：延长到点H，截取，连接， 在与中，， ，， ，，， ，即， 在与中，， ； （3）解：如图：取、的中点P、Q，连接交于点H，连接， ，，，，四边形是正方形， 在中，，，，， ，由（1）同理得：， 设，则，，在中，， ，解得，是的中点， ， ，，，， 由勾股定理得：． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】为正方形， ， 又故①正确； 把绕点A逆时针旋转，得到． ，∵，∴． 又，∴．∴，即故②正确； 由②得．过作，作． 则与的相似比就是．易证， 则可知，故③正确； 当时，设， 因为， 所以，所以．整理，得， 所以，即． 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 此时． 因此，当时，取最小值，为．故④正确．故选：D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，，，且，，，，， ，，，，故选：B 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，若，下列结论： ①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【详解】解：在中，，∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到，∴， ∵，∴，故①正确； ∵，∴，又∵，∴，故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到，∴，∵，∴， 在中，，∴，故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到，∴，， ∴，∴在中，， ∴，故结论④正确，综上可知，正确的是①②④，故选：D 4．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，在正方形中,点G为边上的动点,点H为边上的动点,且满足,连接,分别交正方形的对角线于F，E两点,则下列结论中正确的有 ．（填序号即可）． ①  ②  ③  ④ 【答案】①②④ 【详解】（1）解：如图1，把绕点A逆时针旋转得到，则 ，∴点M、H、C在一条直线上 又 ∴在和中， 故结论①正确． （2）如图1，∵平行四边形是正方形 又， ， 又 故结论②正确． （3）如图3，在上截取，连接、 ，， 又，， 故结论③错误． （4）如图2，过点A分别作， ， 又， 故结论④正确． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期中）已知如图，在正方形中，，E，F分别是，上的一点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点B作，交于点M，则以下结论：①，②，③，④中正确的是 ．    【答案】①②④ 【详解】解：∵四边形为正方形，∴， ∵将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，∴， ∴，，，∴点B、G、C三点共线， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∵∴，故①正确； ∵，，∴，设，则，， 在中，得：，即，故②正确，③错误； ∵，∴，∵，∴， ∴，∵， ∴，故④正确；综上分析可知，正确的是①②④．故答案为：①②④． 6．（24-24九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，若，，则的长是 ． 【答案】3 【详解】解：作正方形，与交于点G，连接，延长至H，使，连接， ∵在正方形中，∴， 在和中，，∴，∴ ， ∵ ，∴ ，即， ∵ ，∴，∴ 在和中，，∴， ∴，∴ ，设，则， 在中，，即，解得:，即， ∵， ∴，∴，即，解得: ．故答案为3． 7．（2024·江西九江·三模）课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号）①；②；③． 类比迁移（2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：．②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用（3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）②③；（2）①证明见详解，②5；（3）8 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，同理可证：，故答案为：②③； （2）①证明：∵，∴， ∵， ∴，∴，∴，∴； ②解：同①可证：，∴，即， ∵，∴，解得：（舍负）， ∴，∴，∴，∴； （3）解：在上取一点F，连接，使， ∵是的等腰直角三角形，， ∴，同上可证：，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴∴，解得：或（舍），∴． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②(2)(3)不发生变化， 【详解】（1）①证明：正方形， ，，，， ，，， 为等腰直角三角形，，． 在和中，． ②如图，连接交于点，则， ，，由①知，，，又，， 在和中，．   ，，． （2）如图，连接，，，      又，，  ． （3）不发生变化，理由如下： 如图，连接，过点E作于点W， 由（2）知，，   又，，∴， 为等腰直角三角形，即，，即点W与点Q重合， 为等腰直角三角形，． 9．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，在中，，，D是上一个动点，连接，以为边向右侧作等腰直角，其中．    (1)如图2，G，H分别是边，的中点，连接，，．求证：； (2)在点D从点B向点C运动过程中，求周长的最小值； (3)如图3，连接，直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析(2)(3)0或或2 【详解】（1）证明：如图2，由题意知和都是等腰直角三角形，∴． ∵H为中点，∴．∴．∴． 在等腰直角和等腰直角中，，．∴，∴； （2）解：当点D与点B重合时，点E的位置记为点M，连接，如图6，          此时，，，． ∴四边形是正方形． ∴，∴， ∵，∴， 在等腰直角和等腰直角中，，． ∴．∴．∴∴点E在射线上， 作点B关于直线的对称点N，连接交于点E′， ∵，∴就是所求周长最小的． 在中，∵，，∴． ∴周长最小值为． （3）解：分三种情况：①当B与D重合时，即，如图3，此时； ②当时，如图4，此时E与C重合，∴D是的中点，∴； ③当时，如图5，过E作于H，交于M，连接，过E作于G，连接， ∵，，∴，∴， ∵，∴，是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，又，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， 由（1）得：，且，∴， ， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴； 综上所述，当或或2时，是等腰三角形． 10．（24-25·江苏泰州·九年级校考期末）（1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形； （3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图，即为所求； 理由：根据作图得：， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∵，， ∴，∴，∴是等边三角形； （3）∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴， ∴，∵，∴， 由（1）得：，∴，， ∴，即，∴，∴， ∴，同理，∴，∴，∴． 11．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，正方形中，E、F分别是边、上的点，、分别交于点G、H，连接，恰好有． (1)求证：；(2)求证：；(3)直接写出的值； (4)图中能够证明的相似三角形（不连接其它线段，包括全等三角形）共有（    ） A．4对    B．6对    C．11对    D．16对 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4)D 【详解】（1）证明：将绕点A顺时针旋转得到．如图所示： 由旋转可得，． ∴．∴点M、B、E在同一条直线上． ∵，∴∴∴， ∵，∴．∴； （2）由（1）知，∴， ∵∴，∴， ∵，∴； （3）连接交于点O，如图所示：∴，为边上的高， 由（1）得且，为边上的高且与的边上的高相等， ∵正方形，∴，由（2）得，∴； （4）同（2）中证明方法一致可得： ，两两相似共15对， 另外，合计16对．故选：D． 12．（2025·江西·校考一模）综合与实践：数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：． 【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形，为等腰三角形 （2）如图：将顺时针旋转， 由旋转的性质可得：，由（1）中结论可得 为正方形， 在和中 （3）为正方形对角线， ， （4）如图：将顺时针旋转，连接， 由（2）中的结论可证 根据旋转的性质可得：， 在中有 13.（2024·山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．    【答案】(1)(2)（1）中的结论不成立，，详见解析(3)； 【详解】（1）；理由：延长到点E，使得，         ∵四边形是正方形，∴， ∵,∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （2）（1）中的结论不成立，正确结论为：． 理由：如图2，在上截取，连接，则， 在和中，，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴． （3）连接，∵四边形是正方形，， ∴ ∴，，， ∵∴，∴， ∴，∴，解得；∵四边形是正方形， ∴，，，∴， ∵，∴∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∴． 14.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45；[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；[深入研究] 【详解】[操作判断] 解：如图，由题意得，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴，∴，即，故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图，∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形； （2）如图，由翻折得，，∵四边形是正方形，∴，即， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵是对角线，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴, ∵，∴设，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴． 15.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， 在中，，，解得：，； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，， ，， ， 在中，，即，解得：，； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，，，， ，在中，，即， 解得：，；综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ，，，， ， ，，， ，，， ，，，， ，， ， ，，，． 16．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．                 图3 【答案】（1）选小东发现的结论，证明见解析、（2）证明见解析、（3） 【详解】证明：（1）选小东发现的结论．理由如下： ∵，，∴． ∵，，∴． 选小红发现结论，同理可得：． （2）作于F，则． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． 设，，在中，根据勾股定理．∴． 在中，根据勾股定理． ∵，，∴． ∴．∴．∴． ∴．∴．∴． （3）作交延长线于G，则． ∵，∴．∴． ∴．∴， 在中，∵，∴． 在中，根据勾股定理得． ∵，，∴是正三角形．∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴， ∴．∴．∴．∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $