14.3第3课时比较实数的大小 导学案 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学导学案围绕“实数”展开，涵盖无理数与实数的概念、分类、与数轴的一一对应及大小比较。通过《九章算术》历史引入和剪纸拼正方形等实践操作，从有理数自然过渡到实数，搭建动手探究与小组讨论的学习支架。 融入数学史增强文化底蕴，动手操作（如构造直角三角形）培养几何直观与抽象能力，数形结合突破“实数与数轴一一对应”难点。分层练习与拓展建议（如证明√2是无理数）兼顾不同学生，发展推理意识与创新意识，提升数学思维与应用能力。

14.3 实数 第1课时 教材分析： 实数是在有理数的基础上中以扩充的，定义了无理数之后，有理数和无理数统称为实数。对实数的比较大小和运算两个问题。可以通过类比由有理数得到。由于分类的标准不同，实数分类的方法可以有多种教材指出的实数分类方法是按照定义来分的，还可以按照符号分类，通过实际操作我们可以知道实数与数轴上的点是一一对应的。 教学设计思想： 本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围。从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义。通过本节的学习，应该知道无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称为实数。有理数的运算律等在实数范围内仍然成立。这部分知识在教师的引导下有学生以小组讨论的方式得出。 重点：①了解无理数和实数的概念。②实数的分类 难点：对无理数认识 教具：纸片，直尺，剪刀，计算器，多媒体 教学目标： 1．说出无理数和实数的概念以及实数的分类，能正确识别无理数； 2．知道实数与数轴上的点具有一一对应关系； 3．会用有理数估计一个无理数的大致范围； 4. 经历从有理数逐步扩充到实数，体会人类对数的认识是不断发展的，体验数学的发展来源于生活实践，又作用于生活实际。 教学设计： 教学设计过程 设计说明 实践操作与探究 介绍无理数： · 在《九章算术》开平方中，对开方不尽数称“以面命之”，用正方形的“面”来定义无理数。 · 在实用上认可“加定法如前，求其微数”，即退位开方，用十进小数来表示无理数。揭示了无理数的本质。 做一做 （1）在纸上画一个Rt△ABC，使得两条直角边AC=BC=2； （2）做斜边AB上的高CD； （3）沿CD剪开，拼成一个正方形 做好后思考，正方形的面积是多少，边长是多少？ 学生：自己动手操作，利用面积公式与开平方法计算正方形的面积与边长 通过实践操作发现数不够用了？进而激发学生的兴趣。 学生合作交流 1．对于整数-3，-2，-1，0，1，2，3，它们的平方分别等于什么？结果是怎么的数？有平方后等于2的整数吗？ 2．对于分数，它们的平方分别等于什么？结果是怎样的数？有平方后等于2的分数吗？ 3．m是有理数吗？ 观察下列数特点： 在提问中发现一类无限不循环小数，即无理数。 教师讲授 无限不循环小数叫做无理数 有理数和无理数统称为实数 实数的分类： 如果按照符号分类，又是怎样的？ 类比有理数的有关概念得到： 实数的相反数：如果a表示一个正实数，那么-a就表示一个负实数，a与-a互为相反数，0的相反数依然是0． 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用数字表示仍可表示为： 　　 通过数的扩充，得到了实数以及实数的分类。 自主探究 1、判断下面的语句对不对？并说明判断的理由 (1)有理数都是实数，实数不都是有理数； (2)实数都是无理数，无理数都是实数； (3)实数的绝对值都是非负实数； (4)有理数都可以表示成分数的形式。 2、（1）求下列各式的绝对值： ① ② （2）已知x的绝对值是 ，则x=______。 3、把下列各数填入相应的集合内： ， ， ， ， ， ，0 ， ， 3，0.13 有理数：______________________； 无理数：____________________； 整数：______________________； 负数：________________________； 分数：__________________________； 实数：____________________________。 4、课后练习1，2 巩固练习，熟悉实数 小结 今天我们学习了实数这一新的内容，请同学们首先要清楚，实数是如何定义的，它与有理数是怎样的关系，实数的两种不同的分类是怎样的？并应对照有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质，来理解在实数中的定义和运用 板书设计 14.3 实 数 1．无理数的定义 4 相反数 练习1 练习2 2．实数定义 5 绝对值 3．分类 1、 补充练习： 1、 下列各数中：1.414，，3.41，3.14，，，，0.1010010001… ，，中。有理数有______________________，无理数有__________________________。 2、 下列说法正确的是（ ） A．不带根号的数都是有理数 B．带根号的数都是无理数 C．任何实数的绝对值都是正数 D．无理数一定是无限小数 3、 若m表示一个实数，则－m一定是（ ） A．负数 B．正数 C．有理数 D．实数 4、 若a为实数，则下列各式总有意义的是（ ） A． B． C． D． 5、 使在实数范围内有意义的a的值是________ 6、 判断：是分数。（ ） 7、 下列命题，正确的是（ ） A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数不是实数 C．无理数是带根号的数 D．无限不循环小数是无理数 8、 设在数轴上对应的点是A，在数轴上的对应点为B，求AB间的距离 9、 （2004·北京海淀）已知x、y为实数，且满足（x＋4）2＋| y－1|＝0，则x＋y＝_______。 10、 3.14159是（　） （A）有理数　　（B）无限小数 （C）循环小数　（D）无理数 11、 下列说法中： （1）是实数；　　（2）是无限不循环小数； （3）是无理数；　（4）的值等于2.236。 共有（　）个是错误的。 （A）1　　（B）2　　（C）3　　（D）0 12、 参考答案： 1. 有理数：1.414，3，41，3.14，，， 无理数：，，0.1010010001…,, 2. D 3. D 4. D 5. 1 6、错误 7、 D 8、解：AB的距离为。 9、-3 10、 A 11、 A 12、 2、 拓展建议： 对学有余力的学生可以探究证明：是无理数 第2课时 教材分析： 实数是在有理数的基础上中以扩充的，定义了无理数之后，有理数和无理数统称为实数。对实数的比较大小和运算两个问题。可以通过类比由有理数得到。由于分类的标准不同，实数分类的方法可以有多种教材指出的实数分类方法是按照定义来分的，还可以按照符号分类，通过实际操作我们可以知道实数与数轴上的点是一一对应的。 教学设计思想： 本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围。从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义。通过本节的学习，应该知道无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称为实数。有理数的运算律等在实数范围内仍然成立。这部分知识在教师的引导下有学生以小组讨论的方式得出。 重点：比较实数的大小 难点：实数与数轴上的点一一对应 教具：多媒体课件 教学目标： 1．说出无理数和实数的概念以及实数的分类，能正确识别无理数； 2．知道实数与数轴上的点具有一一对应关系； 3．会用有理数估计一个无理数的大致范围； 4．能够对实数进行大小比较，提高逻辑思维能力、运算能力 5. 经历从有理数逐步扩充到实数，体会人类对数的认识是不断发展的，体验数学的发展来源于生活实践，又作用于生活实际。 教学设计： 教学设计过程 设计说明 复习引入 1、 填空：把下列各数分别填入相应的集合内： （相邻两个3之间的7的个数逐次加1） ( 有理数 无理数 ) ( 正数 负数 ) 2、 的相反数是_______， 的相反数是_______， 0的相反数是_______; 通过复习，检测上节课掌握情况，也为这节课过渡。 一起探究 像这样的无理数可以表示线段的长度吗？ 试着构造直角三角形，使斜边的长度为上述无理数的值 同学们想一想数轴上所有的点是不是都表示有理数呢？ 利用勾股定理构造长为无理数的线段。 实践-验证-结论 首先画一个数轴，如图，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=1，且OC=OD=OB。请计算出OC、OD、OB的长度？请你说出点C，D分别表示的什么数？ 强调：一一对应的含义。第一，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；第二，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示。 你能在数轴上表示出这个数么，呢？ 利用数形结合的思想直观的表示出实数与数轴上的点一一对应的关系。 学生交流 回忆有理数的比较大小的方法，试着比较下列各数的大小： （1）； （2）； （3）和0.5 用数轴表示无理数的大致位置的时候需要我们对无理数进行一下估计，即这个无理数是在哪两个整数之间，这需要我们熟练记忆1-20的平方数与1-10的立方数。通过被开方数的范围可以估计无理数的大致范围。 另外，还有平方法，作差法 与有理数比较大小的方法类比得出实数的比较大小方法 自主探究 1、 见课件 2、 课后练习1，2 3、 思考： 巩固知识点 小结 引导学生总结本节课的主要内容： 如何在数轴上表示一个无理数， 实数与数轴上点的关系， 反思本节内容 板书设计 实数 探究 例题 练习 七、补充练习： 1、_______数和数轴上的点是一一对应的 2、绝对值小于的整数有________；绝对值最小的实数是_________ 3、在数轴上表示的两个数，_________边的总比_________边的大 4、正数_____0，负数_______0，正数________一切负数，两个负数相比较，_____大的反而小。 5、在、、、中，最大的数是（ ） A． B． C． D． 6、下列式子成立的是（ ） A．5＜ B． C． D． 7、下列说法错误的是（ ） ①有理数就是不带根号的数；②实数与数轴上的点一一对应；③没有最小的实数；④相反数、倒数、绝对值都是它本身的数只有0；⑤无限小数都是无理数。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8、若|2004－a|＋＝a，求a－20042 9、（2004·江西）如图17－3－4所示，在数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ） A． B． C． D． 10、（2004·呼和浩特）点A为数轴上表示－2的点，当A点沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的实数为（ ） A．2 B．－6 C．2或－6 D．以上答案都不对 11、的相反数是______________，绝对值是___________。 12、化简： 参考答案： 1.实 2. ±2,±1,0;0 3. 右，左 4. 大于，小于，大于，绝对值 5. B 6. C 7. B 8．.解：由 知：∴2004－ ∴. 原式变为 .两边平方得 ∴。 9． C 10. C 11. 12. 八、拓展建议： 对学有余力的学生可以探究怎样把无限循环小数化成分数。 全 品中考网 全 品中考网 学科网（北京）股份有限公司 $