精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县萨日朗学校2025-2026学年八年级上学期期中考试卷

萨日朗中学八年期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，该图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 2. 若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质以及周长的计算． 解题的关键在于明确等边三角形三条边长度相等，其周长等于三条边长度之和． 等边三角形三边相等，周长等于边长的3倍，因此边长可通过周长除以3求得． 【详解】∵等边三角形的周长 = 3 × 边长，周长为， ∴边长 ． 故选：B． 3. 已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为，即可得出答案．． 【详解】设一个底角度数为x，则另一个底角也为x， ， 解得． 故选B． 4. 如图是、两片木片放在地面上的情形，若，则等于（ ） A. B. ° C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用外角性质建立、、之间的关系． 根据三角形外角性质，得出，进而推导出，再代入的值计算． 【详解】解：设的邻补角为， 则． 根据三角形外角性质， ． 故选：D． 5. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：进行判断即可． 【详解】∵ ∴ ∴ A、∵，，，∴，故该选项正确； B、∵，，，∴，故该选项正确； C、添加，无法判断，故该选项不正确； D、∵，，∴，故该选项正确； 故选：C． 6. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的对称等知识，根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为： 8. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的___________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 9. 如图，是的中线，，的周长是18，则的长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的定义以及三角形周长的计算．掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据题意算出的长度，再根据三角形中线的定义即可求出的长． 【详解】解：，的周长是18， ， 是的中线， ． 故答案为：12． 10. 若等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键． 对等腰三角形的腰长进行分类讨论：腰长为2或腰长为6，同时利用三角形的三边关系判断三边长度是否能构成三角形，再计算可以构成三角形的周长即可． 【详解】解：当腰长为2时，三边分别为2、2、6， 由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、2， 由于，，能构成三角形； 所以等腰三角形周长为． 故答案为：14． 11. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，在中，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：， ， 又是的平分线， ． 13. 如图，已知，，，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质以及等边三角形的判定． 解题的关键在于利用平行线的性质得到角之间的关系，再结合已知条件证明三角形的三个角都相等． 【详解】略 14. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】略 15. 如图，，分别是的高，且，求证：． 【答案】 证明：∵，分别是的高， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可； 【详解】略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．建立平面直角坐标系后，点、、的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的（点、、的对应点分别为点、、）； （2）若点关于y轴对称的点为，连接、、，求的面积． 【答案】（1） 作图如下： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系格点作图，准确根据关于坐标轴对称点而对特征作图是解题的关键． （1）通过关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为相反数求出、、，连接即可． （2）根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 点、、的坐标分别为，，， 关于轴对称点的坐标为，，， 【小问2详解】 ， 关于y轴对称的点为， 作图如下： ． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE． （1）若∠BAE=40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为15cm，AC=6cm，求DC长． 【答案】（1）35°；（2）4.5cm. 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC=8cm，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC，BD=DE ∴AD垂直平分BE， ∵EF垂直平分AC， ∴AB=AE=EC， ∴∠C=∠CAE， ∵∠BAE=40°， ∴∠AED=70°， ∴∠C=∠AED=35°； （2）∵△ABC周长15cm，AC=6cm， ∴AB+BE+EC=9cm， 即2DE+2EC=9cm， ∴DE+EC=DC=4.5cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中． 18. 如图，点是内一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一定理，三角形面积． （1）只需要证明，即可证明； （2）如图所示，延长交于D，根据三线合一定理得到，，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，延长交于D， 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，点分别在边上，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，利用平行线的性质得出，等量代换可得出，根据等角对等边即可得出． （2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，由（1）得出，由等边对等角得出，由三角形外角的定义可性质得出 ，最后利用平行线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，平行线的性质，角平分线的定义以及相关计算，三角形外角的定义和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 20. 如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．当的大小变化时，的形状也随之改变． （1）当时，的度数是______； （2）设，，用含的代数式表示； （3）当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，高与角平分线的定义等知识，解题的关键是找到角之间的等量关系，利用方程思想以及分类讨论的思想解决问题． （1）根据等边对等角求出等腰的底角度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据高的定义得到，从而可得； （2）按照（1）中计算过程，即可得到与的关系，即可得到结果； （3）分①若，②若，③若，三种情况，利用，以及；解出即可得的度数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 即与的关系式为； 【小问3详解】 设，， ①若， 则， 而，， 则有：， 由（2）知， ∴， 解得：， ∴； ②若， 则， 由①得：， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； ③若， 则，， 由①得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，不符合题意， 综上：当是等腰三角形时，的度数为或． 21. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据折叠得出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据三角形内角和定理和折叠的性质得出，根据垂线定义得出，证明，得出； （3）根据折叠可知：，，根据平行线的性质得出，根据，求出，即，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2）略 （3）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 22. 如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）． （1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为　 　（cm），BP的长为　 　（cm）（用含t的式子表示）； （2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值； （3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）t，6-t； （2）满足条件的t的值为2或4或8； （3）满足条件的t的值为3或9． 【解析】 【分析】（1）根据路程，时间，速度关系求解即可； （2）分三种情形：如图1中，当PQ⊥BC时，如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ，如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，分别求解即可； （3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H．分别用t表示出PC2，PQ2，分别构建方程求解；如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T，构建方程求解． 【小问1详解】 解：由题意BQ=t cm，PB=（6-t）cm． 故答案为：t，6-t； 【小问2详解】 解：如图1中，当PQ⊥BC时， ∵∠PQB=90°，∠B=60°， ∴∠BPQ=30°， ∴PB=2BQ， ∴6-t=2t， ∴t=2； 如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ， ∴t=2（6-t）， ∴t=4； 如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ， ∴t=2（12-t）， ∴t=8， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8； 【小问3详解】 （3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°． ∵CT⊥AB， ∴AT=TB=3， ∴CT=， ∴PC2=（3）2+（3-t）2， ∵QB=t，∠QHB=90°，∠B=60°， ∴∠HQB=30°， ∴BH=BQ=t，QH=t， ∴PQ2=（t）2+（6-t-t）2， 当PC=CQ时，（3）2+（3-t）2=（6-t）2， ∴t=0（不合题意舍去）． 当PC=PQ时，（3）2+（3-t）2=（t）2+（6-t-t）2， 解得t=0或6（都不合题意舍去）， 当CQ=PQ时，（t）2+（6-t-t）2=（6-t）2， ∴t=3或0（0不合题意舍去）， 如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T， ∵PC=PQ，PT⊥CQ， ∴CT=QT， ∴AT-AQ=CQ， ∴t-（12-t）=（t-6）， ∴t=9， 综上所述，满足条件的t的值为3或9． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萨日朗中学八年期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图是、两片木片放在地面上的情形，若，则等于（ ） A. B. ° C. D. 5. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 8. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的___________． 9. 如图，是的中线，，的周长是18，则的长是______． 10. 若等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长为______． 11. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，在中，，是的平分线，，求的度数． 13. 如图，已知，，，求证：是等边三角形． 14. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 15. 如图，，分别是的高，且，求证：． 16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．建立平面直角坐标系后，点、、的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的（点、、的对应点分别为点、、）； （2）若点关于y轴对称的点为，连接、、，求的面积． 17. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE． （1）若∠BAE=40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为15cm，AC=6cm，求DC长． 18. 如图，点是内一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 19. 如图，在中，点分别在边上，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 20. 如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．当的大小变化时，的形状也随之改变． （1）当时，的度数是______； （2）设，，用含的代数式表示； （3）当是等腰三角形时，直接写出的度数． 21. 综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 22. 如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）． （1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为　 　（cm），BP的长为　 　（cm）（用含t的式子表示）； （2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值； （3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $