第04讲 二次根式（复习讲义，3考点11题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次根式核心考点，涵盖概念、性质与化简、运算等中考必考内容，按“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破”架构系统梳理，通过概念辨析、性质应用、真题训练等环节，结合湖南近年中考真题讲解，帮助学生突破化简求值、混合运算等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“分层突破+素养导向”设计，重难突破模块设置估值、规律性探究等专题，通过典例分析培养运算能力和推理意识，分层练习从基础巩固到全国新趋势，配合限时训练保障效果，能高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏、实现精准教学提供实用指导。

第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 二次根式的有关概念 题型01二次根式的概念 题型02二次根式有意义的条件 题型03 判断最简二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01 利用二次根式的性质化简 题型02 二次根式的非负性 题型03 二次根式的估值 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除法 题型02 二次根式的加减法 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶难 13 突破一 二次根式的估值 突破二 与二次根式有关的规律性 突破三 二次根式的有理化 06·优题精选·练能提分 15 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 二次根式的有关概念 / / 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念；能判断一个式子是否为二次根式，并能识别同类二次根式。 二次根式的性质与化简 湖南省卷 T12 / 掌握二次根式的性质；能利用性质化简二次根式 ；理解二次根式化简的算理； 发展运算能力，培养数感和符号意识。 二次根式的运算 长沙卷 T4 T17 湖南省T5 T17 长沙卷 T4 T17 能进行二次根式的加、减、乘、除运算；掌握二次根式的混合运算顺序；能进行含有二次根式的实数运算。 二次根式的估算 / / 能估算一个无理数（二次根式）的大致范围；能判断二次根式的整数部分；理解二次根式在数轴上的几何意义。 命题预测 结合二次根式的概念、性质、运算、分母有理化和估算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题、填空题和计算题为主。二次根式的概念：主要考查对二次根式、最简二次根式、同类二次根式等概念的理解，常以选择题形式出现。备考时要清楚二次根式的定义域（被开方数≥0）及相关概念的判断标准。二次根式的性质与化简：常以选择题或填空题形式出现，可能单独考查（如化简），也可能融入运算题中。需掌握=|a|的性质，能识别同类二次根式，理解最简二次根式的概念。二次根式的运算：此为必考核心，几乎每年必考。重点考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值（如sin45°、sin60°）、负指数幂、零指数幂等的混合运算。备考需熟练掌握=2、）=3、=2等常见根式的化简，注重计算过程的准确性。二次根式的估算：考查频率不高，但可能结合代数推理或实际情境出现。例如判断二次根式值的整数部分，或确定其大致范围。备考时应理解"被开方数越大，算术平方根越大"的性质，并能进行简单估算（如<<）。 考点一 二次根式的有关概念 概念 定义与条件 二次根式 把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，而有意义的条件是a≥0。 最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 1.（2025·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2.（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南怀化·模拟预测）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 考点二 二次根式的性质与化简 1.二次根式的性质： 2.二次根式的化简方法： （1）利用二次根式的基本性质进行化简； （2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 3.化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式； （2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.（2025·湖南省卷·真题）化简 ． 2.（2025·湖南长沙·模拟）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（2024·湖南·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 二次根式的运算 1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1．（2025·湖南长沙卷·真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·湖南省卷·真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 3.（2025·湖南长沙卷·真题）计算：． 命题点一 二次根式的有关概念 ►题型01 二次根式的概念 1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 【典例】（2025·湖南益阳·模拟）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1-1】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1-2】下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 2.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 【典例】（2025·湖南·模拟）当时，下列式子有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2-1】（2025·湖南永州·一模）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2-2】（2025·湖南湘西·模拟预测）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 【变式1-2-3】（2024·湖南湘潭·模拟预测）若a满足，则a的值是 ． ►题型03 判断最简二次根式 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 【补充】含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 【典例】下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2-1】下列各式中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2-2】下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． ►题型04 同类二次根式的概念 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【典例】若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【变式1-2-2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 利用二次根式的性质化简 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 【典例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-2-1】（2024·湖南益阳安化·中考模拟）化简： ． 【变式2-2-2】（2024·湖南长沙长郡·模拟）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【变式2-2-3】（2025·湖南祁阳·模拟预测）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【典例2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列计算正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1-4】（2025·湖南张家界·模拟预测）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【变式2-1-5】（2025·湖南岳阳·模拟预测）化简： ． 【变式2-1-6】（2025·湖南郴州·模拟预测）计算： ． ►题型02 二次根式的非负性 1.被开方数 非负数（在实数系中）； 2.根式结果 非负数； 3.常与其他非负式（绝对值、偶次方）组合，利用“非负数之和为零 ⇒ 每部分为零”解题； 4.在方程和不等式中，常用此性质确定字母的取值范围和进行初步范围判断。 【典例】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式2-2-1】（2025·湖南益阳·模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2-2-2】（2025·湖南长沙·模拟）若，则 ． 【变式2-2-3】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知实数满足，那么的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 ►题型03 二次根式的乘除法估值 【典例】（2025·湖南·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式2-3-1】（2025·湖南株洲·三模）估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【变式2-3-2】（2024·湖南·模拟预测）设，则实数m所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3-3】（2025·湖南株洲·模拟）估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．3和4之间 D．4和5之间 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除法 1. 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 【典例】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【变式3-2-1】（2025·湖南长沙长郡·二模）计算 ． 【变式3-2-2】（2025·湖南·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2-3】（2025·湖南岳阳·三模）计算： ． ►题型02 二次根式的加减法 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 2.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 3. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 【典例】（2025·湖南衡阳·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2-1】（2025·湖南·模拟）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2-2】（2025·湖南永州·模拟）计算： ． 【变式3-2-3】（2024·湖南长沙·模拟）计算：． ►题型03 二次根式的混合运算 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。 2. 运算结果应写成最简二次根式的形式. 【典例】（2025·湖南永州·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3-1】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【变式3-3-2】（2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 【变式3-3-3】（2025·湖南永州·二模）计算： ►题型04 二次根式的化简求值 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 3. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。 4. 运算结果应写成最简二次根式的形式. 【典例】（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【变式3-4-1】（2025·湖南永州·一模）已知，． (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【变式3-4-2】（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【变式3-4-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． ►题型05 二次根式的应用 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【变式1-2-1】据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2-2】（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 【变式1-2-3】（2025·湖南岳阳·模拟）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ． 突破一 二次根式与新定义 【典例】对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 【变式1】（2024·湖南怀化·一模）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式 ．（要求答案为具体的数值） 【变式2】已知x，y，k都是实数，若，则称x与y是关于k的“和谐数对”． (1)与______是关于的“和谐数对”；3与______是关于1的“和谐数对”．与______是关于的“和谐数对”． (2)若，判断与是否是关于的“和谐数对”，并说明理由． (3)若p与q是关于的“和谐数对”，且，直接写出的值． 突破二 与二次根式有关的规律性 【典例】（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式1】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 【变式4】规律探究：设，，，…，则的值为 ． 突破三 二次根式的有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【典例】阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【变式1】已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式3】计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 1.（2025·湖南郴州·模拟）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025·湖南·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B．17 C．5 D． 3.（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 4.如果有意义，那么的取值范围是 ． 5.（2025·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ． 6.计算的结果等于 ． 7.（2025·湖南·三模）计算：． 8.（2025·湖南益阳·三模）计算： 9.（2024·湖南怀化·一模）一个长方体的长减少，宽不变，高增加，就得到一个与原长方体体积相同的正方体，求原长方体的表面积． 10.（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 11.已知、满足，则 ． 12.【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 13.（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 1.（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5.（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 6.（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 7.（2025·吉林·中考真题）计算： ． 8.（2025·山东济南·中考真题）计算：． 9.（2025·北京·中考真题）计算：． 10.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 11.（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 12.（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 二次根式的有关概念 题型01二次根式的概念 题型02二次根式有意义的条件 题型03 判断最简二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01 利用二次根式的性质化简 题型02 二次根式的非负性 题型03 二次根式的估值 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除法 题型02 二次根式的加减法 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶难 29 突破一 二次根式的估值 突破二 与二次根式有关的规律性 突破三 二次根式的有理化 06·优题精选·练能提分 38 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 二次根式的有关概念 / / 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念；能判断一个式子是否为二次根式，并能识别同类二次根式。 二次根式的性质与化简 湖南省卷 T12 / 掌握二次根式的性质；能利用性质化简二次根式 ；理解二次根式化简的算理； 发展运算能力，培养数感和符号意识。 二次根式的运算 长沙卷 T4 T17 湖南省T5 T17 长沙卷 T4 T17 能进行二次根式的加、减、乘、除运算；掌握二次根式的混合运算顺序；能进行含有二次根式的实数运算。 二次根式的估算 / / 能估算一个无理数（二次根式）的大致范围；能判断二次根式的整数部分；理解二次根式在数轴上的几何意义。 命题预测 结合二次根式的概念、性质、运算、分母有理化和估算等情境考查实数相关知识，题型一般以选择题、填空题和计算题为主。二次根式的概念：主要考查对二次根式、最简二次根式、同类二次根式等概念的理解，常以选择题形式出现。备考时要清楚二次根式的定义域（被开方数≥0）及相关概念的判断标准。二次根式的性质与化简：常以选择题或填空题形式出现，可能单独考查（如化简），也可能融入运算题中。需掌握=|a|的性质，能识别同类二次根式，理解最简二次根式的概念。二次根式的运算：此为必考核心，几乎每年必考。重点考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值（如sin45°、sin60°）、负指数幂、零指数幂等的混合运算。备考需熟练掌握=2、）=3、=2等常见根式的化简，注重计算过程的准确性。二次根式的估算：考查频率不高，但可能结合代数推理或实际情境出现。例如判断二次根式值的整数部分，或确定其大致范围。备考时应理解"被开方数越大，算术平方根越大"的性质，并能进行简单估算（如<<）。 考点一 二次根式的有关概念 概念 定义与条件 二次根式 把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，而有意义的条件是a≥0。 最简二次根式 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 1.（2025·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为；二次根式的被开方数是非负数．据此列式解答即可． 【详解】解：要使式子有意义， 则：且， 解得：且． 故选：D． 2.（2025·湖南娄底·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：使二次根式在实数范围内有意义， 则， 解得：， 则x的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 3.（2025·湖南怀化·模拟预测）下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的概念逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项中的式子不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，故本选项中的式子不是最简二次根式； D、，故本选项中的式子不是最简二次根式； 故选：B. 考点二 二次根式的性质与化简 1.二次根式的性质： 2.二次根式的化简方法： （1）利用二次根式的基本性质进行化简； （2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 3.化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式； （2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.（2025·湖南省卷·真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2025·湖南长沙·模拟）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘除法及利用二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则逐一计算验证正误即可． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误， 故选：C． 3.（2024·湖南·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式化简为最简二次根式，二次根式除法；掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．” 和（，）是解题的关键． 【详解】解：A.，选项错误，故不符合题意； B.，选项错误，故不符合题意； C.，选项正确，故符合题意； D.，选项错误，故不符合题意； 故选：C． 考点三 二次根式的运算 1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1．（2025·湖南长沙卷·真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误； B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误； C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确； D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C 2.（2024·湖南省卷·真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 3.（2025·湖南长沙卷·真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 命题点一 二次根式的有关概念 ►题型01 二次根式的概念 1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 【典例】（2025·湖南益阳·模拟）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 【变式1-1-1】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 【变式1-1-2】下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，二次根式是指形如的代数式，据此逐项判断即可求解． 【详解】解： A. 是二次根式，不合题意； B. 不是二次根式，符合题意； C. 是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，不合题意． 故选：B ►题型02 二次根式有意义的条件 1.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 2.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 【典例】（2025·湖南·模拟）当时，下列式子有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”和二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负的逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，分式的分母，分式无意义，则此项不符合题意； B、当时，分式的分母，分式有意义，则此项符合题意； C、当时，二次根式的被开方数，二次根式无意义，则此项不符合题意； D、当时，分式的分子的被开方数，无意义，则此项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2-1】（2025·湖南永州·一模）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0，分母不等式0列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故选：A． 【变式1-2-2】（2025·湖南湘西·模拟预测）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1 【答案】D 【分析】先根据分式及二次根式有意义的条件：二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义必须 ，据此列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得x≥0且x≠1． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 【变式1-2-3】（2024·湖南湘潭·模拟预测）若a满足，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 由二次根式有意义的条件，可得的取值范围，从而可得a的值． 【详解】解：根据题意可得 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． ►题型03 判断最简二次根式 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 【补充】含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 【典例】下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. ，不是最简二次根式； D. 是最简二次根式； 故选D． 【变式1-2-1】下列各式中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果． 【详解】A、，是最简二次根式，故本选项正确； B、，不是最简二次根式，故本选项错误； C、中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误； D、，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：A． 【变式1-2-2】下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，故A选项正确； 中被开方数含有分母，不是最简二次根式，故B选项错误； 中二次根式位于分母位置，不是最简二次根式，故C选项错误； 中被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误； 故选A． ►题型04 同类二次根式的概念 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【典例】若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 【变式1-2-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式． 【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误； B．与不是同类二次根式，故该选项错误； C．与是同类二次根式，故该选项正确； D．与不是同类二次根式，故该选项错误； 故选：C． 【变式1-2-2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、.，与不是同类二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键. 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 利用二次根式的性质化简 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 【典例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：D． 【变式2-2-1】（2024·湖南益阳安化·中考模拟）化简： ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 【变式2-2-2】（2024·湖南长沙长郡·模拟）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【答案】8 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 【变式2-2-3】（2025·湖南祁阳·模拟预测）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． 【典例2】（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列计算正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 【变式2-1-4】（2025·湖南张家界·模拟预测）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断． 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.当时，该选项不成立，不符合题意； C. 当时，该选项不成立，不符合题意； D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式2-1-5】（2025·湖南岳阳·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-1-6】（2025·湖南郴州·模拟预测）计算： ． 【答案】42 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：42． ►题型02 二次根式的非负性 1.被开方数 非负数（在实数系中）； 2.根式结果 非负数； 3.常与其他非负式（绝对值、偶次方）组合，利用“非负数之和为零 ⇒ 每部分为零”解题； 4.在方程和不等式中，常用此性质确定字母的取值范围和进行初步范围判断。 【典例】（2025·湖南株洲·模拟预测）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2-1】（2025·湖南益阳·模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 【变式2-2-2】（2025·湖南长沙·模拟）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了偶次方，绝对值，二次根式的非负性，乘方运算，解题的关键是熟练掌握非负性． 先利用非负性求出各未知数的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：由得， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式2-2-3】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知实数满足，那么的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、去绝对值运算、利用算术平方根解方程等知识，先由二次根式有意义的条件的得到，进而化简绝对值，得到，利用算术平方根解方程即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、去绝对值运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解：中， ，则， ， ，即， ，则， 故选：D． ►题型03 二次根式的乘除法估值 【典例】（2025·湖南·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 【变式2-3-1】（2025·湖南株洲·三模）估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数的估算，先根据乘法法则进行计算，再利用夹逼法求出范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-3-2】（2024·湖南·模拟预测）设，则实数m所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题考查了二次根式的加减法，无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先化简得，再找到与最接近的两个完全平方数，即可判断在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解． 【详解】解：∵ ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-3-3】（2025·湖南株洲·模拟）估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估值．先根据二次根式的混合运算化简式子为，由即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 即的值在1和2之间． 故选：B 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除法 1. 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2. 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 【典例】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-2-1】（2025·湖南长沙长郡·二模）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-2-2】（2025·湖南·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3-2-3】（2025·湖南岳阳·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． ►题型02 二次根式的加减法 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 2.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 3. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 【典例】（2025·湖南衡阳·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的化简步骤和运算法则． 利用二次根式的化简步骤和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，不是同类二次根式无法合并，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2-1】（2025·湖南·模拟）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3-2-2】（2025·湖南永州·模拟）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3-2-3】（2024·湖南长沙·模拟）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的法则是解题的关键． 先进行二次根式的化简，再进行二次根式的加减法运算进行求解即可． 【详解】解： ． ►题型03 二次根式的混合运算 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。 2. 运算结果应写成最简二次根式的形式. 【典例】（2025·湖南永州·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用二次根式乘法法则计算，化简后合并即可得到结果．熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键． 【详解】解：， 故选：D． 【变式3-3-1】（2025·湖南永州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先逆用积的乘方，进行平方差公式的计算，再去括号，合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式3-3-2】（2023·湖南益阳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键． 【变式3-3-3】（2025·湖南永州·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据化简绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． ►题型04 二次根式的化简求值 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 3. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。 4. 运算结果应写成最简二次根式的形式. 【典例】（2024·湖南怀化·一模）已知实数满足，求的值． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到，据此化简二次根式得到，则． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-4-1】（2025·湖南永州·一模）已知，． (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （2）∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 【变式3-4-2】（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用表示．通过计算求出斐波那契数列中的第2个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：当时， ， 故答案为：． 【变式3-4-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先约分，再进行减法运算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． ►题型05 二次根式的应用 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 【变式1-2-1】据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 故选：B． 【变式1-2-2】（2024·湖南·模拟预测）我国南宋时期数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即若已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，如图，的边长分别为，，则此三角形面积为 ． 【答案】12 【分析】先计算，代入公式计算即可． 本题考查了二次根式的应用，熟练掌握公式，精准化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：12． 【变式1-2-3】（2025·湖南岳阳·模拟）如图，大正方形面积为32，小正方形的面积为8，则阴影部分的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积，先根据正方形的面积公式和已知条件，求出和，从而求出，然后根据阴影部分的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵大正方形面积为32，小正方形的面积为8， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积的面积的面积 ． 故答案为：12． 突破一 二次根式与新定义 【典例】对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据新定义把数值代入得，再化简计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式1】（2024·湖南怀化·一模）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式 ．（要求答案为具体的数值） 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知x，y，k都是实数，若，则称x与y是关于k的“和谐数对”． (1)与______是关于的“和谐数对”；3与______是关于1的“和谐数对”．与______是关于的“和谐数对”． (2)若，判断与是否是关于的“和谐数对”，并说明理由． (3)若p与q是关于的“和谐数对”，且，直接写出的值． 【答案】(1)1，，； (2)与不是关于的“和谐数对”，理由见解析 (3) 【分析】（1）分别设各个数的和谐数，然后根据已知条件中的新定义列出方程，解方程求出答案即可； （2）根据已知条件求出，再求出与的和与积，从而求出它们的商，最后根据新定义进行判断即可； （3）把已知条件中的等式通分得，再根据新定义和完全平方公式求出，最后再次利用完全平方公式求出，从而可求出的值． 本题主要考查了实数的运算，准确理解新定义的含义，熟练掌握分母有理化的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：设2与x是关于的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与1是关于的“和谐数对”； 设3与y是关于1的“和谐数对”， ， 整理得， 解得， 经经验，是原方程的解， 与是关于1的“和谐数对”； 设与m是关于的“和谐数对”， ， 整理得， ， 经经验，是原方程的解， 与是关于的“和谐数对”； 故答案为：1，，； （2）解：不是，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，与不是关于的“和谐数对”； （3）解：， 通分得， ， 与是关于的“和谐数对”， ，， ，， ，， ， ， 突破二 与二次根式有关的规律性 【典例】（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可． 【详解】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2023． 故选：D． 【变式1】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为2n，即可求解． 【详解】根据单项式的规律可得，系数为，字母为x，指数为2n， ∴第n个单项式为， 故选B． 【变式2】以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，1可以表示为，，即可得出规律，即第个多项式可以表示为：． 本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，按规律排列的多项式：，，，，，， 其中1可以表示为，， 即按规律排列的多项式：，，，，，， 第个多项式可以表示为：， 故选：D． 【变式3】已知，当分别取1，2，3，⋯，时，所对应值的总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值化简，掌握相关知识是解决问题的关键． ，然后根据与2的大小关系分两种情况讨论：当 时，计算 值并求和；当 时， 为常数，直接计算总和．最后将两部分总和相加． 【详解】解：∵ ， 分两种情况： 1．当 时，， ∴ ， 取1和2： 时，， 时，， ∴ 总和为 ； 2．当时，， ∴ ； 从3到，共个值，每个， ∴ 和为， 综上，． 故选：D． 【变式4】规律探究：设，，，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 突破三 二次根式的有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 【典例】阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】）已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键， （1）根据，，，代入求值即可； （2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式3】计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、分母有理化、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 1.（2025·湖南郴州·模拟）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则及性质进行运算即可求解，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，符合题意； 、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 、和不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意； 、，该选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 2.（2025·湖南·模拟预测）计算的结果为（   ） A． B．17 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据乘法分配律，计算乘法，再计算加法即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 3.（2025·湖南永州·一模）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及幂运算，熟练掌握二次根式的开方数非负性是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入求出y的值，最后计算代数式即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件得， 且， 解得， ∴ ∴， 故答案为：1． 4.如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 5.（2025·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】17 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：17 6.计算的结果等于 ． 【答案】2 【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查二次根式的混合运算． 7.（2025·湖南·三模）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数混合运算，涉及二次根式的性质、绝对值、特殊角三角函数、零指数幂等知识，掌握这些知识是关键；依次化简算术平方根，计算绝对值、特殊角三角函数、零指数幂，再相加减即可． 【详解】解：原式 ． 8.（2025·湖南益阳·三模）计算： 【答案】 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 9.（2024·湖南怀化·一模）一个长方体的长减少，宽不变，高增加，就得到一个与原长方体体积相同的正方体，求原长方体的表面积． 【答案】84 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设原长方体的宽为x，则原长方体的长为，原长方体的高为，根据长方体和正方体体积计算公式得到方程，解方程求出原长方体的长、宽、高即可求出答案． 【详解】解：设原长方体的宽为x，则原长方体的长为，原长方体的高为 由题意得：， 解得或（舍去）， ∴原长方体的长为，原长方体的高为， ∴原长方体的表面积为． 10.（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】本题主要考查分式的化简与求值，涉及因式分解、分式的乘除运算及二次根式的性质． 先根据分式的除法运算法则对分式解析约分简化，再将，代入运算即可； 【详解】解： ， 代入，得：原式． 11.已知、满足，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 12.【知识链接】 ①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是． ②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，． 【知识理解】（1）将的分母有理化； 【启发运用】（2）计算： 【答案】（1） （2）9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据材料中的方法进行分母有理化； （2）先将各部分分母有理化，再计算加减． 【详解】（1）解：； （2） ． 13.（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)，5 (2)①直角三角形，见解析；② 【分析】本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； （2）①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为：，5； （2）解：①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形； ②， ． 1.（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 2.（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 3.（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 4.（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 5.（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 6.（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 7.（2025·吉林·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8.（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 9.（2025·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 10.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 11.（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 12.（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $