精品解析：辽宁省鞍山市2025-2026学年九年级上学期数学十二月学情调查试题

九 年 级 (上)十二 月 学 情 调 查 数 学 (考试时间：120分钟；试卷满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．分当时和当时，分别探究即可． 【详解】解：当时， 函数过第二、四象限，函数过第一、二、三象限， 没有选项符合条件； 当时， 函数过第一、三象限，函数过第一、二、四象限， 选项D符合题意； 故选：D． 4. 已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先根据二次函数的解析式得出对称轴为直线，开口向上，进而根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 又∵二次函数上有点，点，， ， 故选：A． 5. 关于反比例函数下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 当时， 函数值 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数的性质：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限．本题中 ，故图象在第一、三象限．根据反比例函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第一、三象限，故A正确； ∵当 时，在每个象限内随的增大而减小，故B错误； ∵当时，，故点不在图象上，故C错误； ∵当时，，故D错误． 故选：A． 6. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，可推出结果． 本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O逆时针旋转后得到，， ，， ， 故选：B． 7. 如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出是解答此题的关键，根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出即可求出的半径． 【详解】解：如图，连结， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长是2， ∴， 故选：B． 8. 综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（ ）． A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面半径，根据圆锥底面周长为展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：； 故选C． 9. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 10. 如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 利用二次函数图像和系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上得，； 与y轴的交点位于y轴的负半轴得，； 对称轴位于y轴的左侧得，a，b的符号相同，即； ∴，故A选项正确，不符合题意； B、由对称轴为直线得，与是对称点， ∴当时，，故B选项正确，不符合题意； C、由对称轴为直线得，， 整理得，即，故C选项错误，符合题意； D、∵对称轴为直线，图象与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 12. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，扇形的圆心角为, 半径为1， 所以扇形的弧长为：. 故答案为：． 13. 反比例函数在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是__． 【答案】2 【解析】 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝1，然后利用反比例函数的性质即可确定k的值． 【详解】解：∵△MOP的面积为1， ∴|k|＝1， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k＞0， ∴k＝2． 故答案为2 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数系数k的几何意义是解题关键． 14. 如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解题的关键是根据矩形和旋转的性质得到相等线段．根据旋转的性质得出，，，结合已知得出，再根据矩形的性质得到，即可得出，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可知：，，， ∵的中点恰好与点重合， ∴， ∵矩形中，，， ∴．， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题(共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ，， ∴ ∴， 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点带入即可求解． （2）将点代入可求得点B的坐标，令，得可求得点C的坐标，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴将A 坐标代入反比例函数解析式 中，得， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 将代入，得， ∴， 设直线与y轴交于点C，如图： ∵， ∴令，得， ∴点C 坐标， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及求函数值，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 18. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示． （1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？ （2）这个用电器功率的范围是多少？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据电学知识：代入即可得出答案； （2）根据反比例函数的性质知，，在第一象限随的增大而减小，故把电阻代入（1）所求得的式子中，即可求出功率P的最大值，把电阻代入即可求出功率P的最小值． 【详解】解:（1）根据电学知识，当时，得 ．① （2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小． 把电阻的最小值代入①式，得到功率的最大值 ； 把电阻的最大值代入①式，得到功率的最小值 ． 因此用电器功率的范围为． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 19. 如图1，李家村一废弃的场院里几间旧房和一段50m的院墙，李大叔提议再利用仓库中的栅栏，就可以修建一个矩形的小型养鸡场．现在仓库中有总长为80m的栅栏． （1）当长度是多少时，养鸡场的面积为； （2）李大叔发现（1）中的设计没有考虑出入养鸡场的小门，若在边上设计两个，在，边上各设计一个1m宽的小门（用其它材料制作），如图2所示，判断可否围成面积为的养鸡场，说明理由． 【答案】（1）当长度是20米时，养鸡场的面积为800平方米； （2）不能达到900平米． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用． （1）设长度为米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，解之可得； （2）设边所用栅栏的长度为米，则长度为米，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，判断该方程有无实数根即可判断． 【小问1详解】 解：设长度为米， 根据题意得，， 解得， 当时，，符合题意， 答：当长度是20米时，养鸡场的面积为800平方米； 【小问2详解】 解：设边所用栅栏的长度为米，则长度为米， 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴方程无解， 所以不能达到900平方米． 20. 某商家采取线上和线下两种方式销售某款商品，规定无论是线上还是线下每件售价不低于进价，且线上售价始终比线下每件便宜2元．已知该款商品进价为10元/件，线上的月销售量固定为400件，线下的月销售量y(件)与线下售价x(元/件)满足关系式．设该商品线上和线下月销售利润总和为W (元)． （1）求 W与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； （2）物价部门规定，该商品的每件利润不得高于进价的，如果商家每月要想从这种商品销售中获得最大利润，他应该把这种商品的线下售价定为多少？月最大销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）线下售价定为元/件，月最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，找出等量关系，即可找出关系，列出关系式； （2）先求出x的取值范围，然后利用二次函数的性质，二次函数的最值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：线上每件利润为，线上月销售利润为（元）． 线下每件利润为元，线下月销售量， 线下月销售利润为， ； 【小问2详解】 解：根据题意得, 由知， ∴函数图象开口向下， 又∵对称轴为：， 在内，随的增大而增大， 时，的最大值为（元）， 要想获得最大利润，线下售价应为元件，月最大利润为元． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，点E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）当的半径是1时，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接、， 是直径，是的中点， ∴是的中位线， ， ，， 又， ， ， 又，， ， ， 又， ， 又点在上， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得出是的中位线，利用中位线的性质可证明，继而得到，据此证明即可； （2）先求出，进而得到，则，求出，由全等三角形的性质得到，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求不规则图形的面积，全等三角形的性质与判定，圆周角定理等等，通过连接切点证明切线是解题的关键． 22. 在图1，图2，图3中，， （1）问题探索 如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 （2）问题解决 如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： （3）思维拓展 如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，连接， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 即 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，进而得出是等腰直角三角形，勾股定理可得，结合全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据（1）的方法，在上截取，连接，证明得出是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）延长至，使得，证明得出四边形是正方形，得出进而即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长至，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴ 又∵ ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ ∴ 即 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移、旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①先求抛物线的解析式为，可得，再由的面积，求出的值即可； ②先求抛物线的解析式为，则，再分别求出点，，用待定系数法求直线的解析式为，联立方程求出，分两种情况讨论：过作轴交于，过作轴交于，可知，能求，在中，，从而确定点，，再求直线的解析式为；当在下方时，，同理求出，，可得直线的解析式为． 【小问1详解】 将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①点始终在抛物线上， ， 抛物线的解析式为， ， ， 的面积， 解得或（舍， ； ②抛物线绕点旋转得到抛物线， 抛物线的解析式为， ， 中，当时，， 解得或， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 如图1，过作轴交于，过作轴交于， ，，，， ， ， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 如图2，当在下方时， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 综上所述：直线的解析式为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九 年 级 (上)十二 月 学 情 调 查 数 学 (考试时间：120分钟；试卷满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 关于反比例函数下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 点在该函数的图象上 D. 当时， 函数值 6. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形内接于，正六边形的边长是2，则的半径的长是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 综合实践课上，珍珍用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽．如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是（ ）． A. B. C. 3 D. 6 9. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 当时， 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为____________． 12. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 13. 反比例函数在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是__． 14. 如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为_____． 15. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 三、解答题(共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 解方程． （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 18. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示． （1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？ （2）这个用电器功率的范围是多少？ 19. 如图1，李家村一废弃的场院里几间旧房和一段50m的院墙，李大叔提议再利用仓库中的栅栏，就可以修建一个矩形的小型养鸡场．现在仓库中有总长为80m的栅栏． （1）当长度是多少时，养鸡场的面积为； （2）李大叔发现（1）中的设计没有考虑出入养鸡场的小门，若在边上设计两个，在，边上各设计一个1m宽的小门（用其它材料制作），如图2所示，判断可否围成面积为的养鸡场，说明理由． 20. 某商家采取线上和线下两种方式销售某款商品，规定无论是线上还是线下每件售价不低于进价，且线上售价始终比线下每件便宜2元．已知该款商品进价为10元/件，线上的月销售量固定为400件，线下的月销售量y(件)与线下售价x(元/件)满足关系式．设该商品线上和线下月销售利润总和为W (元)． （1）求 W与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； （2）物价部门规定，该商品的每件利润不得高于进价的，如果商家每月要想从这种商品销售中获得最大利润，他应该把这种商品的线下售价定为多少？月最大销售利润是多少？ 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，点E为的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）当的半径是1时，，求图中阴影部分的面积． 22. 在图1，图2，图3中，， （1）问题探索 如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 （2）问题解决 如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： （3）思维拓展 如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 23. 如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $