专题12 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

该初中数学讲义通过“模型来源-真题提炼-原理证明-应用拓展”的逻辑链构建平行线拐点模型知识体系，结合示意图呈现蛇形模型两种基本结构，用证明过程揭示“见拐点作平行线”的通用解法与等角转化思路，清晰梳理重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于真题情境与分层练习设计，如以哪吒动作抽象图、盘山公路等实例引入，例题涵盖选择、填空、解答题，从基础计算到综合证明逐步提升。强调“过拐点作辅助线”技巧，培养几何直观与推理意识，既为学生提供模型应用模板，也为教师实施精准分层教学提供系统素材。

专题12 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 10 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 例2（24-25·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，若，则，，之间的关系式为 ． 例4（24-25下·山东菏泽·七年级统考期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）试说明：； 【类比应用】（2）已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数，请说明理由． ②如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为______． 例5（24-25七年级下·北京·期中）已知直线，P为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，则的度数是 ； (2)如图2，判断，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，平分，交于点O， ，求的度数． 例6（24-25下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知． 【初步感知】如图，若，求的度数； 【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：； 【类比探究】如图，，若，求的度数．            例7（24-25七年级下·广东广州·期中）北斗卫星导航系统是我国自行研制的成熟的全球卫星导航系统．经过多年发展，北斗系统已成为面向全球用户提供全天候、全天时、高精度定位、导航与授时服务的重要新型基础设施．北斗卫星导航系统标志（图1）中含有北斗星等要素，北斗七星（图2）因曲折如斗，故而得名．由于恒星自行的存在，北斗七星在天空中的样子是不断变化的，北斗的形状会在漫长的宇宙变迁中发生较大的变化．如图3，将北斗七星从摇光到天枢依次标为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接．若恰好经过点，且，，在一条直线上，，，，． (1)_____°；(2)求的度数； (3)连接，当与满足怎样数量关系时，，并说明理由． 1．（24-25下·北京昌平·七年级校考期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 2．（2024七年级·江苏·培优）如图，直线，交于点，连接，则、与之间的数量关系是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，则之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 7．（24-25七年级上·广东·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 8．（24-25下·广东七年级期中）如图，，，，，，则，，的数量关系是 ．    9．（24-25海南七年级校考期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 10．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    11．（24-25七年级下·山东东营·期末）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现之间的数量关系：___________，并说明理由． 请把下面的推理过程补充完整：理由如下：过点作， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：___________ ，理由：___________ ，，理由：同理． ___________理由：等量代换 （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用：如图③，，，，请直接写出的度数． 12．（24-25下·四川德阳·七年级校考阶段练习）已知直线，P为平面内一点，连接、．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，请写出证明过程． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 13．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：；(2)如图2，直线，交于点，且，，①试探究与的数量关系；②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 14．（24-25下·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．【初步感知】（1）如图1，若，求的度数． 【拓展延伸】（2）如图2，当点E，F在两平行线之间，且B、E、F、C四点不在同一条直线上时．求证：．【类比探究】（3）如图3，若，，，，直接写出的度数．      15．（24-25下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    16．（24-25七年级下·北京·期中）问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； (3)问题解决：如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 10 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴，∴， 如图所示，过点F作，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：A． （24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，， ，，； （2）证明：过点作交于点，如图所示： ，，，，， ，，， ，，； （3）解：设和的交点为，如图所示： 由（2）可知，， ，，， ，，， ，，， ，，． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，过点E作 ∵∴ ∵∴∵ ∴∴．故选：B． 例2（24-25·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，∵， ∴，，， ，，， ．故选：D． 例3（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）如图，若，则，，之间的关系式为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴， ∴．故答案为：． 例4（24-25下·山东菏泽·七年级统考期中）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．    （1）试说明：； 【类比应用】（2）已知直线，P为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，求的度数，请说明理由． ②如图3，设、，猜想、、之间的数量关系为______． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【详解】（1）证明：如图1，过点作．    ，，， ，即：； 解：（2）①如图，过点作， ，，，，， ，∴； ②如图，过点作， ，，，， ，， ；故答案为：． 例5（24-25七年级下·北京·期中）已知直线，P为平面内一点，连接，．    (1)如图1，已知，，则的度数是 ； (2)如图2，判断，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，平分，交于点O， ，求的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，，，，， ，，，故答案为：； （2）解： 理由：如图2，过点作，则， ，， ，， ，故答案为：； （3）解：如图3，设交于点， ，， ∵∴，，， ，，平分，， ，由（2）得：， ， ． 例6（24-25下·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知． 【初步感知】如图，若，求的度数； 【拓展延伸】如图，点E，F在两平行线之间，求证：； 【类比探究】如图，，若，求的度数．            【答案】初步感知：；拓展延伸：见解析；类比探究： 【详解】解：【初步感知】∵，∴． ∵，∴，∴； 【拓展延伸】证明：如图，过点E作，过点F作．    ∵，∴， ∴，，， ∴； 【类比探究】由【拓展延伸】中的结论，得， ∴． ∵，，∴． 同理可得，即， ∴，∴． 例7（24-25七年级下·广东广州·期中）北斗卫星导航系统是我国自行研制的成熟的全球卫星导航系统．经过多年发展，北斗系统已成为面向全球用户提供全天候、全天时、高精度定位、导航与授时服务的重要新型基础设施．北斗卫星导航系统标志（图1）中含有北斗星等要素，北斗七星（图2）因曲折如斗，故而得名．由于恒星自行的存在，北斗七星在天空中的样子是不断变化的，北斗的形状会在漫长的宇宙变迁中发生较大的变化．如图3，将北斗七星从摇光到天枢依次标为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接．若恰好经过点，且，，在一条直线上，，，，． (1)_____°；(2)求的度数； (3)连接，当与满足怎样数量关系时，，并说明理由． 【答案】(1)70(2)(3)；理由见详解 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，故答案为∶70； （2）解：延长交于点K， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，故答案为∶； （3）解：当时， ，理由如下∶如图，连接 ∵，∴， ∴，∴． 1．（24-25下·北京昌平·七年级校考期末）如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【详解】解：过C作CQAB，∵ABDE，∴ABDECQ， ∵∠A=30°，∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°，∴∠ECQ=110°-30°=80°，∴∠E=180°-80°=100°，故选：C． 2．（2024七年级·江苏·培优）如图，直线，交于点，连接，则、与之间的数量关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作，延长交于点，则，如图： ∵，，∴，， ∵，∴，在中，， 即，∴．故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，过作， ∵，∴∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：A． 4．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，已知直线，则之间的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作， ，，，， ，，故选：D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：C． 6．（23-24七年级下·上海·期中）如图，，，，那么的度数是 ． 【答案】/35度 【详解】解：过作，，，，， ，，，，，故答案为：． 7．（24-25七年级上·广东·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则，，，， ，，，， ，， ，． 8．（24-25下·广东七年级期中）如图，，，，，，则，，的数量关系是 ．    【答案】 【详解】解：过C，D点分别作，，∵，∴， ∴，， 又∴ ．故答案为：．    9．（24-25海南七年级校考期末）如图，是一盏可调节台灯的示意图． 固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变． 现调节台灯，使外侧光线，若，过点B作，则与的位置关系是 ， ． 【答案】 平行 【详解】解：∵，，∴；如图，过点A作， ∵，∴，∵，∴，即， ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：平行； 10．（24-25七年级下·成都·专项训练）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    【答案】/115度 【详解】解：如图，过点作， ，，，， ， ，． 11．（24-25七年级下·山东东营·期末）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现之间的数量关系：___________，并说明理由． 请把下面的推理过程补充完整：理由如下：过点作， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：___________ ，理由：___________ ，，理由：同理． ___________理由：等量代换 （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究三者之间存在怎样的数量关系，并说明理由． （3）迁移应用：如图③，，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；（2），理由见解析，（3） 【详解】解：（1）；过点作，如图， ，理由：已知，理由：辅助线的作法． ，理由：平行于同一条直线的两条直线平行 ，理由：两直线平行，内错角相等 ，，理由：两直线平行，内错角相等 ；理由：等量代换 故答案为：；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点作，如图， ∵，∴，∴； ∵，∴，∴； ∴，∴； 即得三者之间的数量关系为； （3）解：过点作，如图， ∵，∴，∴， ∴，∴； ∵，∴． 12．（24-25下·四川德阳·七年级校考阶段练习）已知直线，P为平面内一点，连接、．    (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，判断、、之间的数量关系，请写出证明过程． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作，，，    ，，， ，，； （2）关系： 证明：如图2，过点作，则， ，， ，， ，故答案为：； （3）如图3，交于点，，， ，，，， ，，平分，， ， 由（2）得：，， ． 13．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图1，求证：；(2)如图2，直线，交于点，且，，①试探究与的数量关系；②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：如图1，过作， ∵，∴，∴，， ∴，∴ ∴，即； （2）解：①∵，， ∴设，，，，由（1）可知：， ∴，如图2，过作， ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∴与的数量关系为； ②如图3，∵，，∴， ∵，∴，由①知：，过作， ∴，， ∴，∴的度数为． 14．（24-25下·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．【初步感知】（1）如图1，若，求的度数． 【拓展延伸】（2）如图2，当点E，F在两平行线之间，且B、E、F、C四点不在同一条直线上时．求证：．【类比探究】（3）如图3，若，，，，直接写出的度数．      【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：∵，∴ ∵∴ ∴ （2）证明：过E作，过点F作．      ∵，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴； （3）解：由上结论知，，∴， ∵，，∴， ∵， ∵，，∴， ∴． 15．（24-25下·广西柳州·七年级统考期末）综合与实践 【课题学习】：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    解：过点A作，∴______，， 又∵．∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2所示，已知，交于点E，，在图2的情况下求的度数． 【拓展探究】（3）如图3所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，在图3的情况下求的度数．    【答案】（1），；（2）；（3）． 【详解】（1）解：过点A作，∴，， 又∵，∴；故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵，∴，∴，， ∴∴； （3）过E点作，如图，∵，∴， ∵平分，平分，∴，， 设，， ∵，，∴，， ∵，∴， ∵，∴，， ∵． 16．（24-25七年级下·北京·期中）问题情境：如图①，，，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求的度数． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：如图②，，点P在射线上运动，记，． ①当点P在B、D两点之间运动时，请直接写出与α，β之间的数量关系； ②如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系； (3)问题解决：如图③是北斗七星的位置图，将其抽象成图④，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若AF恰好经过点G，且，，，那么与有什么关系？请说明． 【答案】(1)(2)①．②或 (3)与的关系是：，理由见解析 【详解】（1）解：过点P作， ∵，∴，∴， ，∴，故答案为：； （2）．理由：如图，过点P作交于E， ∵，∴，∴，， ∴； ②如图，当点P在的延长线上时，，过点P作交于E， ∵，∴，∴，， ∴； 如图，当点P在线段上时，，过点P作交于E， ∵，∴，∴，， ∴． （3）∵，，由（2）得：， ∵，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $