专题11 平行线中的拐点模型之羊角模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

该初中数学讲义以平行线中的拐点模型为核心，通过“模型来源-真题现模型-提炼模型-模型运用”的结构化路径构建知识体系，用图示清晰呈现羊角模型的两种基本类型及角度关系结论，配套证明过程梳理推理逻辑，形成从概念到应用的完整脉络。 讲义亮点在于真题导向的分层练习设计，精选中考及校考期中真题作为例题，涵盖选择、填空、解答等题型，强调“见拐点作平行线”的转化方法，培养学生几何直观与推理能力，基础题巩固模型应用，综合题提升创新意识，助力教师实施分层教学，支持学生自主构建解题思路。

专题11 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（2025·江苏宿迁·二模）如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·湖北随州·期末）学习了“相交线与平行线”后，我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，若，点E在之间，连接，则．请在下面的说理过程中，填上推理的依据； 解：过点E作，∵，∴（______）， ∴，（______）， ∴，即 (2)小明发现在的条件下，若改变点E的位置，当点E在上方，如图2，连接，则，，仍然存在一定的数量关系，请你认真思考后得出结论，并进行证明； (3)如图3，直线l分别与直线相交于点A，C，且，点P在射线上，点Q在直线上，E为直线l上一点，若，，请直接写出的度数． 例5（24-25下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例6（24-25七年级下·山东·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 小明得出：、和三个角之间存在的数量关系是． 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究． 【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 【举一反三】（1）如图①，若，，则 度； （2）如图②，已知，点、分别是、上的点，点位于上方，，．用含α和β的代数式表示下列各角．①求的大小；②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小． 1．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25上·广东江门·八年级校考期中）如图，，于，与交于点，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25·湖北·八年级校考期末）如图，，，则为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图是小李同学做立定跳远落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的大小为 度． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ． 7．（24-25下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    8．（24-25·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．    9．（25-26八年级上·北京昌平·期中）如图，直线，则 度． 10．（24-25下·山东临沂·七年级统考期中）如图，，交于点B，交于点E，交于点A．(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：． 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）（1）如图①所示，已知直线，求证：． （2）如图②所示，已知直线，当点在直线下方时，判断之间的数量关系，并加以证明．（3）如图③所示，已知直线，当点在直线上方时，过点作的角平分线与的角平分线交于点，当时，______． 12．（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）平面内的不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点在内部，， ． (2)如图2，若，将点移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论．(3)如图3，直接写出之间的数量关系 (4)拓展：已知，在之间取一点 (点不在直线上)，连接，若的平分线交于点M，试探索与之间的数量关系（直接写出结果） 13．（24-25下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．    (1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系； ①______，②______，③______，④______．(2)请写出图③证明过程． 14．（24-25下·内蒙古·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．    ①读下列过程，并填写理由． 解：猜想． 理由：过点作．∴．（___________） ∵（已知），（辅助线的作法）． ∴．（___________）∴． ∴．∴． ②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由．③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由． 15．（24-25七年级上·广东·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点．(1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由．请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ，______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又，，______（______）． ，（______）． (2)类比探究：如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 16．（24-25七年级下·北京·期中）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数； (2)点M为直线下方的动点，连接，平分， ①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明；②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 9 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设和交于点F， ∵，∴，∴，故选：D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（2025·江苏宿迁·二模）如图，直线，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，∵直线，，∴， ∵，∴故选：C． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，反射后的光线均平行于地面，， ，，．故选C． 例3（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：∵，∴，    又∵，， ∴，整理得：，故选：B． 例4（24-25七年级下·湖北随州·期末）学习了“相交线与平行线”后，我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，若，点E在之间，连接，则．请在下面的说理过程中，填上推理的依据； 解：过点E作，∵，∴（______）， ∴，（______）， ∴，即 (2)小明发现在的条件下，若改变点E的位置，当点E在上方，如图2，连接，则，，仍然存在一定的数量关系，请你认真思考后得出结论，并进行证明； (3)如图3，直线l分别与直线相交于点A，C，且，点P在射线上，点Q在直线上，E为直线l上一点，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析(3)或或 【详解】（1）解：解：过点E作， ∵，∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴，即； （2）解：，理由如下：如下图：，， （3）解：当点E在线段上，点Q在点C右侧时，如下图： 由（1）知，，，，； 当点E在射线上且在A上方，点Q在点C右侧时，如下图： 由（2）知， ，，； 当点E在射线上且在C下方，点Q在点C左侧时，如下图： ，，，， ；综上所述，的度数是或或． 例5（24-25下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于F，如图所示：    ∵，，∴， ∵，∴， ∴，故选：C． 例6（24-25七年级下·山东·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线、的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 小明得出：、和三个角之间存在的数量关系是． 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把分成两部分进行研究． 【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 【举一反三】（1）如图①，若，，则 度； （2）如图②，已知，点、分别是、上的点，点位于上方，，．用含α和β的代数式表示下列各角．①求的大小；②如图③，在图②的基础上，若和分别平分和，则的大小． 【答案】〖解决问题〗见解析〖举一反三〗（1）　（2）①；② 【详解】解：〖解决问题〗、和三个角之间存在的数量关系是：，理由如下：依题意得：，，， ，即； 〖举一反三〗（1），， ，， ，；故答案为：40． （2）①过点作，如图②所示： ，，，， ， ，，， ，，故答案为：． ②和分别平分和，，， ，， 由①的结论可知：．故答案为：． 1．（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴,故选：． 2．（24-25上·广东江门·八年级校考期中）如图，，于，与交于点，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ，， ，故选：A． 3．（24-25·湖北·八年级校考期末）如图，，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】  ∵，∴． ∵，∴．故选：C 4．（24-25七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意； ②当∠EFD＋∠B＝180°时，∵∠BFC＝∠EFD，∴∠BFC＋∠B＝180°，∴AB∥CD，故②符合题意； ③当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意； ④当∠E＝∠B时，无法判断AB∥CD，故④不符合题意； ⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图是小李同学做立定跳远落地瞬间的动作及其示意图，若，，，则的大小为 度． 【答案】30 【详解】解：记作与的交点为点F， 因为，所以， 又因为为的一个外角，所以， 则，所以的大小为30度．故答案为：30 ． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交延长线于M，延长交于E， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴ ∵，， ∴， 即∴，故答案为：． 7．（24-25下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    【答案】/22度 【详解】解：如图，过点作，，    ∵直线，，， ，故答案为：． 8．（24-25·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点为上一点，，平分，（1）若，，则 ；（2）与之间满足的数量关系是 ．    【答案】 【详解】解：（1）延长，交与点H，令和相交于点I， ∵，，∴， ∵，，∴， ∵，  ∴，， ∵平分，∴，∴， ∴，故答案为：20°；       （2）设，∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∵，，∴，   ∵，∴， ∵，，， ∴，即， 整理得：．故答案为： 9．（25-26八年级上·北京昌平·期中）如图，直线，则 度． 【答案】39 【详解】解：∵直线，∴ ， ∵，∴，故答案为：． 10．（24-25下·山东临沂·七年级统考期中）如图，，交于点B，交于点E，交于点A．(1)画图：过点B作交于点M；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：如图，∵，∴． ∵，∴，，∴， ∴，∴． 11．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）（1）如图①所示，已知直线，求证：． （2）如图②所示，已知直线，当点在直线下方时，判断之间的数量关系，并加以证明．（3）如图③所示，已知直线，当点在直线上方时，过点作的角平分线与的角平分线交于点，当时，______． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，过点B作直线， ∵，∴，∴，． ∵，∴； （2）．证明如下：如图，过点B作直线， ∵，∴，∴，． ∵，∴； （3）如图，过点B作直线，∵，∴， ∴，，∴． ∵，∴，∴． ∵的角平分线与的角平分线交于点G， ∴，， ∴．故答案为：． 12．（24-25七年级下·河南洛阳·阶段练习）平面内的不重合的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点在内部，， ． (2)如图2，若，将点移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论．(3)如图3，直接写出之间的数量关系 (4)拓展：已知，在之间取一点 (点不在直线上)，连接，若的平分线交于点M，试探索与之间的数量关系（直接写出结果） 【答案】(1)(2)，理由见解析 (3)(4)或 【详解】（1）解：如图，过点作， ，，，， ，， ，故答案为：； （2），，，； （3）连接并且延长至， ，，，； （4）①当点在内部时，，理由如下：如图， 平分，，平分，， ， 由（1）得:，， ②当点在外部时， ，理由如下：如图，过点作， ，，，， ，即， 平分，，平分，， ，由（1）得，，， 综上所述，与之间的数量关系为：或． 13．（24-25下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．    (1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系； ①______，②______，③______，④______．(2)请写出图③证明过程． 【答案】(1)；；；(2)见解析 【详解】（1）解：①；②； ③；④； （2）①如图①，过点作，则，，， ，．           ②如图②，过点作，则，，， ，． ③如图③，过点作，则，，， ，． ④如图④，过点作，则，，， ，． 14．（24-25下·内蒙古·七年级统考期中）如图（1），，猜想与、的数量关系，并说明理由．    ①读下列过程，并填写理由． 解：猜想． 理由：过点作．∴．（___________） ∵（已知），（辅助线的作法）． ∴．（___________）∴． ∴．∴． ②仿照上面的解题方法，观察图（2），已知，猜想图中的与、的数量关系，并说明理由．③观察图（3）和图（4），已知，直接写出图中的与、的数量关系，不必说明理由． 【答案】①两直线平行，同旁内角互补；平行线公理的推论②，理由见详解③ 【详解】解：①猜想．理由：过点作．        ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知），（辅助线的作法）． ∴．（平行线公理的推论）∴． ∴．∴． ②，理由：过点作．∵，∴． ∴，．∴． ③如图（3），理由：∵，∴， ∵，∴，即． 如图（4），，理由：∵，∴， ∵，∴，即． 15．（24-25七年级上·广东·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点．(1)猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由．请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ，______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又，，______（______）． ，（______）． (2)类比探究：如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由；如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】(1)见解析(2)不成立，应为，见解析；． 【详解】（1）解：猜想：， 证明：过点作， ，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又，，（两直线平行内错角相等）， ，（等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，，理由如下：如下图所示，过点作， ，，又，，， ，； ，如下图所示，过点作，，， ，，． 16．（24-25七年级下·北京·期中）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出 的度数； (2)点M为直线下方的动点，连接，平分， ①如图2，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明；②如图3，当点P在直线的下方运动时（点P在射线上），射线平分，点K在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见详解；②或 【详解】（1）证明：过点P作，则，      ∵，∴，∵，∴，∴． （2）①解：，设，， ∵平分，∴，∵平分，∴， 过点P作，过点M作，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而 ，则， 设，设∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，解得； 当点P在线段延长线上时，过点P作，则，设，， ∵平分，∴，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，解得，综上：的度数为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $