专题10 平行线中的拐点模型之牛角模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题10 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，，∴， ∵，∴，故选：B． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， 已知，，，， ∵，∴．故答案为：C． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 【答案】 【详解】解：（1）， ，， ，，故答案为：； （2），，， ，故答案为：． 例2（24-25下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．    【答案】125 【详解】解：延长交于点，直线，，    ，．故答案为：125． 例3（24-25七年级下·河北保定·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点， ，，，， ，，故选：C． 例4（24-25下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    【答案】 【详解】解：根据题意作图，过点作，过点作，    ∵，∴，∵，， ∴，， ∴，即， ∵，，∴，， ∴，即， 又∵点为和的角平分线所在的直线的交点，∴，， ∴，故答案案为：． 例5（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交于M，设，， ∵，∴，∴，∴， ∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点G，∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 例6（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为 ． 【答案】45°/45度 【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图， ∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝75°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°； 又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．故答案为：45°． 例7（24-25七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)150(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：150； （2）证明：过点作， ∵，∴，， ，， ，即； （3）解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示： ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴，整理得：； 当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴， ∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 综上分析可知：或． 1．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过点作， ∵，，∴．∴，． ∵，∴．∴．故选C． 2．（24-25下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：    ∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C． 3.（24-25七年级下·山东菏泽·期中）抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点． ，，，．故选：C． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，故选：B． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，那么 ． 【答案】150 【详解】解：如图： ∵，∴，∴，故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/68度 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵平分，平分，∴，， 设，，则，， 由三角形的外角性质得：， 即，由①②得：，即， ∵，∴，又∵，∴，故答案为：． 7．（24-25下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）如图所示，已知，，求，的度数．    【答案】， 【详解】解：设，，， ∵∴， ∴，∴ ∴解得∴，故答案为：，． 8．（24-25上·四川达州·八年级校考期末）如图，已知，，，则 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，过点作，，， 又，，， ，．故答案为：． 9．（24-25下·山东泰安·七年级统考期中）如图，已知，，，则 ．    【答案】/20度 【详解】解：如图，过点作，，， 又，，， ，．故答案为：．    10．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点．(1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；证明见解析(2)；证明见解析 【详解】（1）解：，证明如下： 过点P作，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴，∴； （2）解：，证明如下：延长交于点E，如图所示：∵，∴， ∵为的外角，∴，∴． 11．（24-25七年级下·江苏·期末）已知，点C在上方，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，探究和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点C作，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴． （2）解：，理由如下：如图，过点C作， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴． ∵，∴，∴，即． 12．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）【问题背景】如图，直线与直线，相交于点，，，点是线段上的一个动点（不与，重合），点是射线上的一点．连接，的平分线与的平分线交于点． 【问题初探】（1）与平行吗？请说明理由； （2）如图1，若，，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图2，记，，移动点，当时，求和的数量关系． 【答案】（1）平行，理由见解析（2）（3） 【详解】解：（1）平行，理由如下： ∵，，∴，∴； （2）∵，，∴， ∵平分，∴，∵，∴； （3）∵，∴， ∵，∴， ∵平分，∴， ∴，∴，∴． 13．（24-25七年级下·山东聊城·期末）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，数学老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动． 如图1，已知直线，点为直线所确定的平面内的一点． 【问题初探】（1）若，求的度数． 【拓展探究】（2）探究与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】（3）抖空竹是国家级非物质文化遗产之一，图2是某人抖空竹时的一个瞬间，同学们把它抽象成图3所示的数学问题：已知，①之间满足怎样的数量关系？并说明理由． ②在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．若，是的“3系数补角”，求的大小． 【答案】（1）120°；（2），见解析；（3）①，见解析；②78° 【详解】解：（1）过点作， ； ； （2）由（1）知，，， ； （3）①延长交于点， ； ②由①知，是的“3系数补角” 联之得解得为． 14．（24-25七年级下·浙江·专题练习）已知，点为直线上方一点． (1)如图1，求证：；(2)如图2，平分，过点作的平行线交的角平分线于点，探索与之间的关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图3，若经过点，，点是直线上一点，请直接写出和、三个角之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 (3)或或 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∵，∴， ∴，， 即，∴，即； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作，延长至点， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴平分， ∵平分，∴，， ∵，∴， ∴①，②，③，④， 由①②得⑤，代入③⑤得⑥，由④⑥得； （3）解：∵，平分，设，则， ∴即，延长交于点，则， ①当点在的延长线上时， 由（1）得， ∴，即； ②当点在线段上时， ，∴； ③当点在线段的延长线上时， ，∴， 即，∴． 综上，和、三个角之间的数量关系为或或． 15．（24-25七年级下·北京·期末）阅读下列材料：如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题：(1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（或） 【详解】（1）解：数量关系：．证明：过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵ （如图），∴ （等量代换）．即； （2）解：补全图形：∵和的角平分线所在直线交于点M， ∴将图按如下命名：∴，， 又∵，过点作，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 数量关系：（或）． 16．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）【阅读理解】已知直线．将一块三角板按如图所示方式摆放，，三角板的两个顶点和分别在直线、上，求证：． 证明：过点作的平行线． （已知），（已作），（依据1）， （两直线平行，内错角相等） （已作）（依据2） （等量代换） （1）填空：上述解答过程中，依据1是______，依据2是______； 【初步应用】（2）已知直线，将一块三角板按如图3所示方式摆放，，写出，与之间的数量关系，并说明理由（不用写依据）； 【拓广延伸】（3）已知，，一副三角板按如图4方式摆放，三角板的两个顶点，分别在直线和上，边的延长线交于点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两条直线平行，内错角相等；（2）；见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作的平行线．（已知），（已作）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等） （已作）（两条直线平行，内错角相等） （等量代换） （2），理由如下：延长，如图所示： ∵，∴，，∴， ∵，∴， ∴，即； （3）∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 3 模型1.牛角模型 3 9 牛角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，它的名字来源于其形状类似牛角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。它的核心是一组平行线和一个拐点，通过连接拐点与两条平行线形成夹角（拐角）。 （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． （2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 模型1.牛角模型 例1（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，，，，表示图中三个角的角度． （1），与三者之间的数量关系为 ； （2）若，与两者之间的数量关系为 ． 例2（24-25下·绵阳市·七年级统考期末）如图，直线，点C是直线上一点，点D是直线外一点，若，，则 度．    例3（24-25七年级下·河北保定·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．嘉嘉在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4（24-25下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    例5（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，，点在直线的上方，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，的延长线交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 例6（24-25七年级下·北京·期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为 ． 例7（24-25七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 1．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25下·江苏南京·七年级统考期中）如图，，，则与一定满足的关系是（    ）    A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·山东菏泽·期中）抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知，则下列各式等于的是（       ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山西晋中·期末）将等腰直角三角板按如图的方式摆放，如果，那么 ． 6．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ． 7．（24-25下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）如图所示，已知，，求，的度数．    8．（24-25上·四川达州·八年级校考期末）如图，已知，，，则 ． 9．（24-25下·山东泰安·七年级统考期中）如图，已知，，，则 ．    10．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点．(1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 11．（24-25七年级下·江苏·期末）已知，点C在上方，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，探究和之间的数量关系． 12．（24-25七年级下·陕西安康·阶段练习）【问题背景】如图，直线与直线，相交于点，，，点是线段上的一个动点（不与，重合），点是射线上的一点．连接，的平分线与的平分线交于点． 【问题初探】（1）与平行吗？请说明理由； （2）如图1，若，，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图2，记，，移动点，当时，求和的数量关系． 13．（24-25七年级下·山东聊城·期末）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，数学老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动． 如图1，已知直线，点为直线所确定的平面内的一点． 【问题初探】（1）若，求的度数． 【拓展探究】（2）探究与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】（3）抖空竹是国家级非物质文化遗产之一，图2是某人抖空竹时的一个瞬间，同学们把它抽象成图3所示的数学问题：已知，①之间满足怎样的数量关系？并说明理由． ②在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．若，是的“3系数补角”，求的大小． 14．（24-25七年级下·浙江·专题练习）已知，点为直线上方一点． (1)如图1，求证：；(2)如图2，平分，过点作的平行线交的角平分线于点，探索与之间的关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图3，若经过点，，点是直线上一点，请直接写出和、三个角之间的数量关系． 15．（24-25七年级下·北京·期末）阅读下列材料：如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题：(1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 16．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）【阅读理解】已知直线．将一块三角板按如图所示方式摆放，，三角板的两个顶点和分别在直线、上，求证：． 证明：过点作的平行线． （已知），（已作），（依据1）， （两直线平行，内错角相等） （已作）（依据2） （等量代换） （1）填空：上述解答过程中，依据1是______，依据2是______； 【初步应用】（2）已知直线，将一块三角板按如图3所示方式摆放，，写出，与之间的数量关系，并说明理由（不用写依据）； 【拓广延伸】（3）已知，，一副三角板按如图4方式摆放，三角板的两个顶点，分别在直线和上，边的延长线交于点，，，请直接写出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $