专题03 一元一次方程（期末复习知识清单，5知识22题型4易错4方法）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学一元一次方程专题清单系统整合了5大知识模块、22类典型题型、4项易错警示及4种解题方法，涵盖方程与一元一次方程的概念、等式性质、解法步骤及实际应用，搭建从基础定义到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识清单-题型分类-易错标注-方法总结”四维架构，以数学思维（推理意识、运算能力）和数学语言（模型意识）为核心，如“解一元一次方程步骤表”详细标注去分母漏乘、移项忘变号等易错点，“实际应用题型”包含古代问题、方案选择等12类场景题，助力学生系统掌握知识，教师可精准定位教学重难点，提升教与学效率。

专题03 一元一次方程（5知识&22题型&4易错&4方法清单） 【清单01】方程 1.等式的定义：用等号“=”来表示______关系的式子叫做等式. 2.方程的定义：含有______的等式叫做方程. 3.方程的解与解方程 内容 实质 方程的解 使方程中等号左右两边____________的未知数的值叫做方程的解 具体的数值 解方程 求方程的______的过程叫做解方程 变形的过程 【清单02】一元一次方程 一元一次方程的定义：只含有______未知数（元），且未知数的次数都是______，等号两边都是______，这样的方程叫一元一次方程. 【解读】一元一次方程必须满足下列三个条件:1）只含有______未知数；2）未知数的次数是______；3）等号两边都是______（分母中不含未知数），三个条件缺一不可. 标准形式：（其中x为未知数，a、b是已知数，且a≠0）. 【清单03】等式的性质 文字语言 符号语言 等式的 性质1 等式的两边都加(或减) ______数（或式子）， 结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=______ 等式的 性质2 等式两边乘同一个数，或除以____________的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac =______； 如果 a=b(c≠0)，那么 = ______ 【解读】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行______的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就______. 【清单04】一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，在根据等式的性质2，求得方程的解为x=. 解一元一次方程的一般步骤： 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的______ 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要______. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中______ 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 【清单05】一元一次方程与实际问题 基本过程： 【题型一】已知方程的解求参数 1．（24-25六年级上·上海·月考）如果是方程的解，那么的值是 ． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）已知是关于的方程的解，则 ． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果关于的方程无解，那么实数 ． 【题型二】根据一元一次方程的定义求参数 1．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 2．（24-25六年级上·上海闵行·月考）关于的方程是一元一次方程，那么此方程的解为 ． 13．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 【题型三】运用等式的性质变形 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 【题型四】利用的等式的性质解方程 1．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 2．（22-23六年级上·上海浦东新·期中）解方程：． 【题型五】等式的性质在天平中的应用 1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 2．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【题型六】选用合适的方法解一元一次方程 1．（25-26六年级上·上海·课后作业）解方程 (1) (2) 2．（24-25六年级上·上海·月考）解方程： (1)； (2)． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 4．（2025七年级上·全国·专题练习）整体法解方程：． 【题型七】判断解一元一次方程的错误步骤 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 2．（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【题型八】解一元一次方程有关的新定义问题 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）定义一种运算：，若，则x的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24六年级下·上海·期中）我们定义一种新的运算：．若，则 ． 3．（21-22六年级上·上海黄浦·期中）定义运算：，那么当时， ． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）对任何实数、，定义运算：，其中为常数． (1)已知，求的值； (2)在（1）的条件下，对于任意非零实数，都有，求的值． 【题型九】解一元一次方程有关的整数解问题 1．（24-25七年级上·陕西安康·月考）已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（    ） A．12 B．46 C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 3．（24-25六年级上·上海·月考）若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【题型十】列方程 1．（24-25六年级上·上海·月考）六年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？为解决此问题，设该班一共有教师和学生共人，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某运输队运煤，第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨，设一共运煤吨，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【题型十一】一元一次方程与实际应用—配套问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 2．（20-21六年级下·上海普陀·期中）一个方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料可以做桌面50张或桌腿300根，现有5立方米木料，可恰好做成方桌多少个？ 【题型十二】一元一次方程与实际应用—工程问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 2．（24-25六年级上·上海·月考）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？ 【题型十三】一元一次方程与实际应用—销售问题 1．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一件商品，先以盈利的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价． 2．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 3．（24-25六年级下·上海·阶段练习）一玩具商从批发行购进两种大小不同的玩具熊100个，共花了3600元．在零售时，其中70个大号玩具熊以每个54元卖出． (1)如果余下的小号玩具熊以每个15元售出，求玩具商在这次买卖中的盈利率． (2)如果在大号玩具熊卖完后，每个小号玩具熊应定价多少元，才能使盈利率达到？ 【题型十四】一元一次方程与实际应用—比赛积分问题 1．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 2．（2024六年级下·上海·专题练习）学校组织了一次知识竞赛，初赛共有40道选择题，竞赛规则规定：每题选对得4分，选错或不选倒扣3分．已知小明得了83分，问：小明答对几道题？ 【题型十五】一元一次方程与实际应用—方案选择问题 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作． (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的倍还贵元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 折 折 每购瓶消毒剂送支测温枪 折 折 无 若学校有个班级，计划每班配置支红外线测温枪和瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 【题型十六】一元一次方程与实际应用—数字问题 1．（25-26六年级上·上海·期中）一个数减去后，加上，得到的和再乘以，结果为，求这个数． 2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【题型十七】一元一次方程与实际应用—几何问题 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为，求这个长方形的长和宽． 2．（24-25六年级上·上海·月考）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 【题型十八】一元一次方程与实际应用—和差倍分问题 1．（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 2．（2024六年级上·上海·专题练习）图书角有一些科普书和文艺书，其中文艺书有28本，如果从图书角拿走 23 本科普书，那么文艺书的本数是剩下的科普书的．图书角原有科普书多少本？ 【题型十九】一元一次方程与实际应用—电费水费问题 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 2．（20-21六年级下·上海浦东新·期末）为节约用水，某市决定实行如下收费标准：如果每户每月用水不超过10立方米，则按每立方米1.8元收费；若超过10立方米且不超过30立方米，超过的部分按每立方米2.5元收费；若超过30立方米，则超过的部分按每立方米4.2元收费． (1)某户8月用水25立方米，则该户的8月实际用水的平均价格为每立方米______元？ (2)某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水多少立方米？ (3)另一户居民9月份的水费为93.2元，则该用户9月用水多少立方米？ 3．（24-25六年级上·上海·期末）移动公司推出、两种话费和流量套餐，详情如下表： 月基本费／元 主叫限定时长（分钟） 主叫超时费（元／分钟） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元／） 套餐 79 200 免费 15 3 套餐 99 300 免费 20 2 ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费； ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐流量超额，需另付元）． (1)若小海的爸爸使用套餐A，9月份主叫时长为300分钟，使用流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若小海的爸爸10月份的主叫时长为400分钟，他使用的流量为（），小海通过计算发现，按两种套餐计费的月结话费刚好相同，小海爸爸使用的流量为多少？ 【题型二十】一元一次方程与实际应用—行程问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）、两地相距150千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米，若两车分别从、两地同时同向而行，出发时甲车在乙车后面，经过多长时间甲车与乙车相距10千米？ 2．（23-24六年级下·上海杨浦·开学考试）小丁平均每分钟行80米，小林平均每分钟行70米，小宁平均每分钟行60米，小丁和小林从甲地出发去乙地，同时小宁从乙地出发去甲地．小丁和小宁相遇后2分钟小林与小宁相遇．求甲、乙两地的距离． 3．（24-25六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 【题型二一】一元一次方程与实际应用—古代问题 1．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 2．（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决． 4．（20-21六年级下·上海·期中）试根据古诗中叙述，求出寺内有多少个僧人？ 巍巍山寺在山林，不知寺内几多僧． 三百六十四只碗，看看用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹． 【题型二二】一元一次方程与实际应用—年龄问题 1．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着： “他生命的六分之一，两鬓长起了细细的胡须；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结了婚；再过五年，他有了孩子，感到很幸福；可是孩子只活到了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．” (1)求：丢番图的寿命； (2)求：丢番图开始当爸爸时的年龄． 3．（20-21六年级下·上海松江·期末）阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【题型一】方程及一元一次方程的识别 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 3．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【题型二】判断是否方程的解 1．（24-25六年级上·上海·月考）是不是方程和的解？ 2．（24-25七年级上·天津·期末）下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】利用去括号解一元一次方程 1．（23-24七年级下·河南南阳·月考）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·江苏常州·期末）若是关于x的方程的解，则a等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26六年级上·上海普陀·月考）解方程：． 【题型四】利用去分母解一元一次方程+ 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·吉林长春·期中）将方程去分母得到错在（    ） A．最简公分母找错 B．去分母时分子部分没有加括号 C．去分母时漏乘某一项 D．去分母时各项所乘的数不同 3．（22-23七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）解方程时，把分母化为整数，得（ ） A． B． C． D． 【题型一】含绝对值的一元一次方程 解题方法：解形如的方程时，先分别令，，设这两个方程的解分别为，将x的范围分为三段，即，再分别根据这三种情况去原方程的绝对值符号，这样就将问题转化成了解常见的一元一次方程. 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）先阅读下列解题过程，然后解答问题 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程 ①无解； ②只有一个解； ③有两个解 【题型二】同解方程 解题方法：如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程. 1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值. 2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值. 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 【题型三】已知两个含参一元一次方程的解满足一定的数量关系，求参数 解题方法：分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 1．（24-25六年级上·上海·月考）已知是一个固定的数，当为何值时，关于的方程的解是的解的3倍？ 2．（23-24七年级上·甘肃张掖·月考）已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 3．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）关于的方程与的解互为相反数，求的值． 4．（20-21七年级上·陕西延安·期末）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【题型四】解一元一次方程出错得到错解，利用错解求正确解 解题策略：将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 1．（24-25七年级上·山东日照·月考）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程（5知识&22题型&4易错&4方法清单） 【清单01】方程 1.等式的定义：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 3.方程的解与解方程 内容 实质 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 具体的数值 解方程 求方程的解的过程叫做解方程 变形的过程 【清单02】一元一次方程 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程. 【解读】一元一次方程必须满足下列三个条件:1）只含有一个未知数；2）未知数的次数是1；3）等号两边都是整式（分母中不含未知数），三个条件缺一不可. 标准形式：（其中x为未知数，a、b是已知数，且a≠0）. 【清单03】等式的性质 文字语言 符号语言 等式的 性质1 等式的两边都加(或减)同一个数（或式子）， 结果仍相等. 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 【解读】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边要同时进行相同的运算； 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 【清单04】一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，在根据等式的性质2，求得方程的解为x=. 解一元一次方程的一般步骤： 步骤 具体做法 变形的依据 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的 性质2 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则，分配律 1) 去括号时，括号前的数不要漏乘括号内的每一项; 2) 当括号外的因数是负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 【易错点】移项过程中未变号 等式的 性质1 1）移项时不要丢项； 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 合并同类项法则 1）系数的符号处理要得当； 2）未知数及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 等式的 性质2 不要将分子，分母的位置颠倒 【清单05】一元一次方程与实际问题 基本过程： 【题型一】已知方程的解求参数 1．（24-25六年级上·上海·月考）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握整体思想是解题关键．将代入方程，解出m的值，再计算表达式的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得： ， 故答案为：0． 2．（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果关于的方程无解，那么实数 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解，对于方程，当且时，方程无解．据此求解即可． 【详解】解：∵方程无解， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【题型二】根据一元一次方程的定义求参数 1．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海闵行·月考）关于的方程是一元一次方程，那么此方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的知识，熟练掌握一元一次方程的定义是关键． 根据一元一次方程的定义得到，进而求得，结合m的值可得原方程为，求解可得方程的解 【详解】解：由题意得， 解得 所以原方程为 解得 故答案为： 13．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． （1）根据一元一次方程的定义得，且，再求出a值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）得， ∴方程为， 整理得， 解得． 【题型三】运用等式的性质变形 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【详解】本题考查了等式的性质． 逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等． 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的两个基本性质是解题的关键． 根据题意可得，根据等式的基本性质1，将的两边同时加即可． 【详解】解：由图可知， 根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得， ∴A符合题意，BCD不符合题意， 故选：A． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的． (1)如果，那么 ，根据 ； (2)如果，那么 ，根据 ； (3)如果，那么 ，根据 ； (4)如果 ，那么 ，根据 ． 【答案】(1)，等式的性质2；变形过程见解析 (2)，等式的性质2；变形过程见解析 (3)6，等式的性质2；变形过程见解析 (4)，等式的性质1；变形过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练利用等式的性质解一元一次方程是解题的关键． （1）根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，得出所求； （2）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （3）根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，得出所求； （4）根据等式的性质1，等号两边都减去，再除以，等号仍成立，得出所求． 【详解】（1）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都乘以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （2）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：，等式的性质2； （3）解：如果，根据等式的性质2，等号两边都除以，等号仍成立，那么； 故答案为：6，等式的性质2； （4）解：如果，根据等式的性质1，等号两边都减去，等号仍成立，那么，， 等号两边都除以，那么； 故答案为：，等式的性质1． 【题型四】利用的等式的性质解方程 1．（24-25六年级上·上海·期末）解方程． (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了利用分数的运算解方程． （1）先根据乘法分配律化简方程，再把方程两边同时除以求解； （2）先计算，再把方程两边同时乘以求解； （3）先整理左面的部分，方程两边先同时除以求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．（22-23六年级上·上海浦东新·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查等式的基本性质，性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等．性质2：等式两边同时乘或除以相等的数（0除外）或式子，两边依然相等．依据等式的基本性质求出方程的解． 【详解】解：， ， ， ． 【题型五】等式的性质在天平中的应用 1．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 【题型六】选用合适的方法解一元一次方程 1．（25-26六年级上·上海·课后作业）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； 【详解】（1）， ， ， ， 解得； （2） ， ， ， ， ． 2．（24-25六年级上·上海·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）整体法解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查一元一次方程求解，运用整体换元思想，将设为整体简化方程，关键是通过换元转化为简单方程，易错点为换元后回代计算时的符号或运算错误； 解题思路是设为整体，将原方程转化为关于该整体的方程，求解后回代得的值． 【详解】设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得， 即， 解得． 【题型七】判断解一元一次方程的错误步骤 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【答案】(1)等式的性质1；① (2)见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）根据等式的性质判断即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类型，系数化为即可． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 2．（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型八】解一元一次方程有关的新定义问题 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）定义一种运算：，若，则x的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算．根据运算定义，，代入表达式并解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴ 解得：． 故选：A． 2．（23-24六年级下·上海·期中）我们定义一种新的运算：．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了新定义运算以及含乘方的有理数的混合运算，先算括号内，得，再运算括号外，即得，进行作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∴， 解得， 故答案为：6． 3．（21-22六年级上·上海黄浦·期中）定义运算：，那么当时， ． 【答案】/ 【分析】首先根据已知求出x的值，再根据所给新运算法则列式即可求得答案． 【详解】解：由题意可得： 5x+36=61， 解之可得：x=5， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，在理解所给运算定义式的前提下综合运用一元一次方程的解法及代数式求值的方法是解题关键． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）对任何实数、，定义运算：，其中为常数． (1)已知，求的值； (2)在（1）的条件下，对于任意非零实数，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． （1）根据题意列得方程，解方程即可； （2）根据题意列得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：由题意得， 则， 对于任意非零实数，此式都成立， ， 解得：． 【题型九】解一元一次方程有关的整数解问题 1．（24-25七年级上·陕西安康·月考）已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（    ） A．12 B．46 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，先解含有字母参数a的方程，求出x，再根据关于x的方程的解是正整数，列出关于a的方程，求出符合条件的a，再求出它们的积即可． 【详解】解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， 解得． ∵关于x的方程的解是正整数， ∴，且是正整数， ∴或2或3或6， 解得：或或或2， ∴符合条件的所有整数a的积为： ， 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】表示出方程的解，由方程的解为负整数解，确定出整数的值即可．此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：方程去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数，，之和为， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海·月考）若关于x的一元一次方程的解是正整数，则整数m的值为 ． 【答案】4或0 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．注意移项要变号． 先移项，再合并同类项，最后化系数为1，根据方程是解是正整数，确定m的值． 【详解】解： 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化为1，得： ∵解是正整数， ∴或 解得或． 故答案为：4或0． 【题型十】列方程 1．（24-25六年级上·上海·月考）六年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？为解决此问题，设该班一共有教师和学生共人，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程，理解题意并正确列方程是解题关键．设该班一共有教师和学生共人，根据租船的数量关系列方程即可． 【详解】解：设该班一共有教师和学生共人， 由题意可得， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意得可列出方程． 故选：B． 3．（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期末）某运输队运煤，第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨，设一共运煤吨，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题干信息找出等量关系并据此列式是解题的关键． 根据“第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨”可得出相应的一元一次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【题型十一】一元一次方程与实际应用—配套问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【答案】应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 【分析】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到手套和米老鼠玩具的等量关系是解决本题的关键． 设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 2．（20-21六年级下·上海普陀·期中）一个方桌由一张桌面与四根桌腿做成，已知一立方米木料可以做桌面50张或桌腿300根，现有5立方米木料，可恰好做成方桌多少个？ 【答案】150个 【分析】利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面×4=桌腿数量，进而得出等式即可． 【详解】解：设用x立方米木料做桌面，则可做个桌面， 剩下的立方米木料做桌腿，可做条桌腿． 因为桌腿的数量是桌面数量的4倍， 所以可列方程． 解得 ∴可恰好做成方桌个． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 【题型十二】一元一次方程与实际应用—工程问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 【答案】 2 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设乙队还需要施工天才可以完成任务，由此列方程求解即可． 【详解】解：设乙队还需要施工天才可以完成任务， ∴， 解得，， ∴乙队还需要施工天才可以完成任务． 2．（24-25六年级上·上海·月考）甲、乙两个工程队安装排污管道，甲队单独安装需要4天完成，乙队单独安装需要8天完成．如果甲队先安装1天，剩下的管道由甲、乙两队合作完成，那么还需要几天才能安装完这些管道？ 【答案】还需要2天才能安装完这些管道 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，用到的公式是：工作量=工作效率×工作时间．设还需x天才能完成任务，根据题意可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，由等量关系可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设还需x天才能完成任务，根据题意得： ， 解得：， 答：甲、乙两队合作还需2天才能完成任务． 【题型十三】一元一次方程与实际应用—销售问题 1．（24-25六年级下·上海宝山·期末）一件商品，先以盈利的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价． 【答案】这件商品的进价为240元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这件商品的进价为x元，根据定价为，打对折出售，即打五折出售后价格为，最后根据这件商品亏损了48元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这件商品的进价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：这件商品的进价为240元． 2．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）某商店进了两种不同的文具套装，其中类套装的进价为每套50元，类套装的进价为每套40元，总共进了40套，共花费1850元．问商店进了A类和B类文具套装各多少套？ 【答案】A类的文具套装25套，B类的文具套装15套 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．设商店进了50元的文具套装x套，40元的文具套装套，根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：设商店进了A类的文具套装x套，B类的文具套装套， 由题意得：， 解得：， 答：A类的文具套装25套，B类的文具套装15套． 3．（24-25六年级下·上海·阶段练习）一玩具商从批发行购进两种大小不同的玩具熊100个，共花了3600元．在零售时，其中70个大号玩具熊以每个54元卖出． (1)如果余下的小号玩具熊以每个15元售出，求玩具商在这次买卖中的盈利率． (2)如果在大号玩具熊卖完后，每个小号玩具熊应定价多少元，才能使盈利率达到？ 【答案】(1) (2)每个小号玩具熊应定价24元，才能使盈利率达到 【分析】本题主要考查了百分数的有关计算，一元一次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）先根据题意求出盈利的钱数，然后除以总花费，得出答案即可； （2）设每个小号玩具熊应定价为x元，根据盈利率达到，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， 答：玩具商在这次买卖中的盈利率为． （2）解：设每个小号玩具熊应定价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每个小号玩具熊应定价24元，才能使盈利率达到． 【题型十四】一元一次方程与实际应用—比赛积分问题 1．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【答案】这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛，根据题意列出一元一次方程并求解即可获得答案． 【详解】解：设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛， 根据题意，可得 ， 解得 （场）， 所以 （场）． 答：这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）学校组织了一次知识竞赛，初赛共有40道选择题，竞赛规则规定：每题选对得4分，选错或不选倒扣3分．已知小明得了83分，问：小明答对几道题？ 【答案】29道题 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．设小明答对道题，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设小明答对道题，可得： ， 解得：， 答：小明答对29道题． 【题型十五】一元一次方程与实际应用—方案选择问题 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】(1)套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） (2)80分钟 (3)选择哪种套餐更合算 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）为了防治“新型冠状病毒”，某中学拟向厂家购买消毒剂和红外线测温枪，积极做好教室消毒和师生的测温工作． (1)若按原价购买一瓶消毒剂和一支红外线测温枪共需要元，已知一支测温枪的价格比一瓶消毒剂的价格的倍还贵元，求每瓶消毒剂和每支测温枪的价格． (2)由于采购量大，厂家推出两种购买方案（如下表）： 购买方案 红外线测温枪 消毒剂 优惠 折 折 每购瓶消毒剂送支测温枪 折 折 无 若学校有个班级，计划每班配置支红外线测温枪和瓶消毒剂，则学校选择哪种购买方案的总费用更低？ 【答案】(1)一瓶消毒剂的价格为元，一支测温枪的价格为元； (2)学校选择种购买方案的总费用更低． 【分析】（）设一瓶消毒剂的价格为元，则一支测温枪的价格为元，根据题意可列出关于的一元一次方程，解出即可得出答案； （2）分别计算出两种方案所需费用，比较即可； 本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设一瓶消毒剂的价格为元，则一支测温枪的价格为元， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：一瓶消毒剂的价格为元，一支测温枪的价格为元； （2）解：根据题意可知该学校需要支红外线测温枪和瓶消毒剂， 以方案购买时， ∵每购瓶消毒剂送支测温枪，（支）， ∴再购买支测温枪即可， ∴此购买方案的总费用为（元）； 以方案购买时，总费用为（元）； ∴以方案购买的费用高于以方案购买的费用， 答：学校选择种购买方案的总费用更低． 【题型十六】一元一次方程与实际应用—数字问题 1．（25-26六年级上·上海·期中）一个数减去后，加上，得到的和再乘以，结果为，求这个数． 【答案】 【分析】设这个数为x，根据题意列出方程，并逐步求解，先计算的值，然后通分合并同类项，最后解一元一次方程． 【详解】解：设这个数为x，根据题意，得： ， ， ， 故这个数为． 2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，计算平均数即可得； （2）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，然后求出“”所代表的数，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 【题型十七】一元一次方程与实际应用—几何问题 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）一个长方形正好可以分成两个相同大小的正方形．已知这个长方形的周长为，求这个长方形的长和宽． 【答案】长为cm，宽为cm 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这个长方形的宽为xcm，则长为cm，根据这个长方形的周长为，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即这个长方形的宽），再将其代入中，即可求出这个长方形的长． 【详解】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为cm， 根据题意得：， 解得：， ∴（cm）． 答：这个长方形的长为cm，宽为cm． 2．（24-25六年级上·上海·月考）对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用两点之间的距离公式求出值即可； （2）利用两点之间的距离公式列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点为数轴原点，点表示的数为，点表示的数为， ∴；； 故答案为：，； （2）∵点表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵， ∴ ∴或， 解得：或， 即：的值为或． 【题型十八】一元一次方程与实际应用—和差倍分问题 1．（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【答案】42 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及分数的计算，根据题意列出方程是解题的关键． 设乐乐积攒的零用钱为元，则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元，继而得到，再解方程即可． 【详解】设乐乐积攒的零用钱为元， 则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元， 又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元， 所以，解得， 一支钢笔花了元． 答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）图书角有一些科普书和文艺书，其中文艺书有28本，如果从图书角拿走 23 本科普书，那么文艺书的本数是剩下的科普书的．图书角原有科普书多少本？ 【答案】79本 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设图书角原有科普书x本，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设图书角原有科普书x本， 根据题意，得． 解得． 答：图书角原有科普书79本． 【题型十九】一元一次方程与实际应用—电费水费问题 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）小明家使用的是分时电表，按平时段和谷时段次日分别计费，现已知谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元． 下列表格列出了某月电费单上的部分数据，请依据题目提供的信息计算平时段和谷时段的电价(要求写出解答过程)． 上月抄见表数 本月抄见表数 用电量(千瓦时) 单价(元) 金额(元) 平时段 1341 1624 谷时段 671 798 本月电费金额 210.73 本月应付电费大写 贰佰壹十元柒角叁分 【答案】平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，先求出平时段和谷时段的用电量，再设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元，根据本月电费金额和“谷时段的电费单价比平时段的电费单价低元”列出方程求解即可．读懂题意，理解电费总金额的计算方式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：小明家平时段用电量为：(千瓦时)， 谷时段用电量为：(千瓦时)， 设平时段的电费单价为元，则谷时段的电费单价为元， 则有， 解得：， ∴， 答：平时段的电费单价为元，谷时段的电费单价为元． 2．（20-21六年级下·上海浦东新·期末）为节约用水，某市决定实行如下收费标准：如果每户每月用水不超过10立方米，则按每立方米1.8元收费；若超过10立方米且不超过30立方米，超过的部分按每立方米2.5元收费；若超过30立方米，则超过的部分按每立方米4.2元收费． (1)某户8月用水25立方米，则该户的8月实际用水的平均价格为每立方米______元？ (2)某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水多少立方米？ (3)另一户居民9月份的水费为93.2元，则该用户9月用水多少立方米？ 【答案】(1)2.22 (2)14 (3)36 【分析】（1）根据题意求得总水费，除以25即可求得际用水的平均价格； （2）根据题意求得用水量为超过10立方米且不超过30立方米，进而根据题意列一元一次方程，解方程求解即可； （3）方法同（2）求得用水量超过30立方米，进而根据题意列一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用水25立方米，按照用水量为超过10立方米且不超过30立方米，可得， （元/立方米）， 故答案为：． （2）∵当用水量为10立方米时，水费为（元）， 当用水量为30立方米时，水费为（元）， ∵， ∴某户居民9月份的水费为28元，则该用户9月用水超过10立方米且不超过30立方米， 设该用户9月用水立方米，根据题意得， ， 解得， 答：该用户9月用水为立方米． （3）另一户居民9月份的水费为93.2元， 由（2）可得，当用水量为30立方米时，水费为元， ， 则该用户9月用水超过30立方米， 设该用户9月用水为立方米，根据题意得， ， 解得． 答该用户9月用水为立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海·期末）移动公司推出、两种话费和流量套餐，详情如下表： 月基本费／元 主叫限定时长（分钟） 主叫超时费（元／分钟） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元／） 套餐 79 200 免费 15 3 套餐 99 300 免费 20 2 ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费； ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐流量超额，需另付元）． (1)若小海的爸爸使用套餐A，9月份主叫时长为300分钟，使用流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若小海的爸爸10月份的主叫时长为400分钟，他使用的流量为（），小海通过计算发现，按两种套餐计费的月结话费刚好相同，小海爸爸使用的流量为多少？ 【答案】(1)他的月结话费为元 (2)小海爸爸使用的流量为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 整理得：， 解得； 答：小海爸爸使用的流量为． 【题型二十】一元一次方程与实际应用—行程问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）、两地相距150千米，甲车的速度为每小时55千米，乙车的速度为每小时45千米，若两车分别从、两地同时同向而行，出发时甲车在乙车后面，经过多长时间甲车与乙车相距10千米？ 【答案】当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设经过x小时，甲车与乙车相距10千米，分两车相遇前相距10千米和相遇后相距10千米，两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】解：设经过x小时，甲车与乙车相距10千米， 当两车相遇前相距10千米时，则， 解得； 当两车相遇后相距10千米时，则， 解得； 综上所述，当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米， 答：当经过14小时或16小时，甲车与乙车相距10千米． 2．（23-24六年级下·上海杨浦·开学考试）小丁平均每分钟行80米，小林平均每分钟行70米，小宁平均每分钟行60米，小丁和小林从甲地出发去乙地，同时小宁从乙地出发去甲地．小丁和小宁相遇后2分钟小林与小宁相遇．求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设小丁和小宁分钟后相遇，再结合小丁平均每分钟行80米，小林平均每分钟行70米，小宁平均每分钟行60米，小丁和小宁相遇后2分钟小林与小宁相遇等条件进行列方程，算出，最后列式计算得出甲、乙两地的距离，即可作答． 【详解】设小丁和小宁分钟后相遇 ∴ 解得， ∴（米） ∴甲、乙两地的距离为米． 3．（24-25六年级上·上海·期末）列一元一次方程解决实际问题． 小明每天早上要到距家的学校去上学．一天，小明以的速度出发，出发后，小明的爸爸发现小明忘带了语文书．于是，爸爸立即以的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他．爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 【答案】爸爸追上小明用了，追上小明时，距离学校还有 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设小明爸爸追上小明用了，根据题意列出方程求解即可求解． 【详解】解：设爸爸追上小明用了， 依题意有， 解得． 则， 答：爸爸追上小明用了，追上小明时，距离学校还有． 【题型二一】一元一次方程与实际应用—古代问题 1．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 2．（24-25六年级上·上海·期末）课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木头长尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得． 答：木头长6.5尺． 4．（20-21六年级下·上海·期中）试根据古诗中叙述，求出寺内有多少个僧人？ 巍巍山寺在山林，不知寺内几多僧． 三百六十四只碗，看看用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹． 【答案】寺内有624名僧人 【分析】设寺内有x名僧人，读懂题中的诗句，找出条件，共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹，即可列出方程，解出即可． 【详解】设寺内有x名僧人，由题意得 解得：． ∴寺内有624名僧人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题中的诗句，找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案． 【题型二二】一元一次方程与实际应用—年龄问题 1．（24-25六年级上·上海·期末）小郑今年岁，比妈妈的年龄小岁，几年后，小郑的年龄是妈妈的一半？ 【答案】年后，小郑的年龄是妈妈的一半 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解题的关键．设年后，小郑的年龄是妈妈的一半，根据题意得，即可求解． 【详解】解：设年后，小郑的年龄是妈妈的一半， 根据题意得： 答：年后，小郑的年龄是妈妈的一半． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期末）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着： “他生命的六分之一，两鬓长起了细细的胡须；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结了婚；再过五年，他有了孩子，感到很幸福；可是孩子只活到了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．” (1)求：丢番图的寿命； (2)求：丢番图开始当爸爸时的年龄． 【答案】(1)84岁 (2)38岁 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设丢番图的寿命为x岁，分别表示出丢番图一生中各个阶段的时间，再根据这些时间段的和为丢番图的寿命建立方程求解即可； （2）根据（1）所求列式计算即可． 【详解】（1）解：设丢番图的寿命为x岁， 由题意得，， 解得， 答：丢番图的寿命为84岁； （2）解；岁， 答：丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁． 3．（20-21六年级下·上海松江·期末）阅读下列材料并回答问题： 墓碑上的数学题——他．我们熟悉的古希腊大数学家丢番图在数学上作出了伟大的贡献，被誉为数学界的鼻祖，用字母表示数和列方程解应用题等一些运算就是丢番图首创的，丢番图去世后，他的年龄成了一个谜，但它的墓碑上刻有一道数学题，让纪念他的人们根据墓碑上的题目，算出他的寿命．碑文是这样写的：这里是一座公墓，里面安葬着丢番图．他生命的是童年；再活了寿命的，颊上长出了细细的胡须；又过了一生的，他找到了终生伴侣；5年后，神赐给他一个儿子；可是儿子命运不济，只活了父亲岁数的一半，就匆匆离去；儿子死后，父亲在悲痛中生活了4年，也离开了人世．阅读后请用列方程解应用题的方法求丢番图寿命是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】设丢番图寿命为x岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数列方程为，然后解方程即可． 【详解】解：设丢番图寿命为x岁，根据题意列式： ， 答：丢番图寿命是84岁． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答． 【题型一】方程及一元一次方程的识别 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 3．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 【题型二】判断是否方程的解 1．（24-25六年级上·上海·月考）是不是方程和的解？ 【答案】是方程和的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键； 根据题意，把分别代入和，看是否使方程左右两边相等，然后即可求解； 【详解】解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 2．（24-25七年级上·天津·期末）下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断． 【详解】解：A、当时，，故不是此方程的解； B、当时，，故是此方程的解； C、当时，，故不是此方程的解； D、当时，，故不是此方程的解； 故选：B． 【题型三】利用去括号解一元一次方程 1．（23-24七年级下·河南南阳·月考）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．方程去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：将方程去括号，得． 故选：D 2．（22-23七年级上·江苏常州·期末）若是关于x的方程的解，则a等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接把x的值代入进而得出答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题的关键． 3．（25-26六年级上·上海普陀·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解方程步骤是解题的关键． 先去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【题型四】利用去分母解一元一次方程+ 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 2．（20-21七年级下·吉林长春·期中）将方程去分母得到错在（    ） A．最简公分母找错 B．去分母时分子部分没有加括号 C．去分母时漏乘某一项 D．去分母时各项所乘的数不同 【答案】B 【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号． 【详解】解：方程去分母，将方程两边同时乘6， 得：，故A、C、D不符合题意，去分母时，分子部分没有加括号，B符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解．需要特别注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号． 3．（22-23七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）解方程时，把分母化为整数，得（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程利用分数的性质化简得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 整理得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． 【题型一】含绝对值的一元一次方程 解题方法：解形如的方程时，先分别令，，设这两个方程的解分别为，将x的范围分为三段，即，再分别根据这三种情况去原方程的绝对值符号，这样就将问题转化成了解常见的一元一次方程. 1．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）先阅读下列解题过程，然后解答问题 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程 ①无解； ②只有一个解； ③有两个解 【答案】(1)或 (2)①；②；③． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）利用绝对值的意义讨论：①当时方程无解；②当时，方程只有一个解；③当时，方程有两个解． 【详解】（1）解：， 当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得； 所以原方程的解是或． （2）解：∵， ∴， ∵， ①当，即时方程无解； ②当，即时，方程只有一个解； ③当，即时，方程有两个解． 【题型二】同解方程 解题方法：如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程. 1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值. 2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值. 1．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程和的解相同．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别解两个方程，用含的式子表示，根据解相同列出关于的方程求解的值； （2）将的值代入代数式求值即可. 【详解】（1）解方程， 得． 解方程， 得． 根据题意，得， 解得． （2）将代入， 得， 所以的值为． 【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于的方程是解题关键. 【题型三】已知两个含参一元一次方程的解满足一定的数量关系，求参数 解题方法：分别求得两个含参一元一次方程的解（用参数表示），根据解之间的关系列出新的等式，从而解得参数的值. 1．（24-25六年级上·上海·月考）已知是一个固定的数，当为何值时，关于的方程的解是的解的3倍？ 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．先解关于的方程，再根据两个方程的解的关系，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：解方程得，， 解方程得，， 关于的方程的解是的解的3倍， 则， 解得：． 2．（23-24七年级上·甘肃张掖·月考）已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据“方程②的解比方程①的解大”得到关于的方程，求解即可．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键． 【详解】解：解方程①得：， 解方程②得：， ∵方程②的解比方程①的解大， ∴， 解得：， ∴的值为． 3．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程解的综合应用；先把两个方程的解表示出来，再根据相反数的定义，让两个解相加等于0，计算求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵解互为相反数， ∴ ， ， ． 4．（20-21七年级上·陕西延安·期末）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 【题型四】解一元一次方程出错得到错解，利用错解求正确解 解题策略：将错解代入相应错误的方程中求得参数的值，再将参数的值代入原方程中求出正确的解. 1．（24-25七年级上·山东日照·月考）小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为．请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是根据错误的去分母过程求出的值．根据错误解法求得，进一步求得，再代入原方程求解正确的解即可． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 小玲解得， ，， 将代入得： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 3．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $