专题01 有理数（考点清单，5个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题01 有理数（考点清单，5个考点清单+6种题型解读） 【清单01】有理数的引入 1.相反意义的量：用正数和负数表示具有相反意义的量，哪种意义的量为正或负，是可以任意选择的. 2.正数、负数概念 3.有理数的概念 或者 4.数轴 5.相反数 6.绝对值 【清单02】有理数的加法与减法 1.有理数的加法 2.有理数的减法 【清单03】有理数的乘法法与除法 1. 有理数的乘法 2.有理数的除法 【清单04】有理数的乘方 有理数的乘方 【清单05】有理数的混合运算 【考点题型一】有理数的相关概念（共25题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（　　） A．的绝对值等于 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C．绝对值等于自身的数只有0和1 D．一个有理数的绝对值不小于它本身 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点距离越远的点，表示的数就越大 B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小 C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数 D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等 4．（24-25六年级上·上海·期中）在5，，1.4，，0，这六个数中，正数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）以下结论错误的是（    ） A．和的绝对值相同 B．的相反数是 C．是素数 D．和互素 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．0既不是正数也不是负数 B．只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数 C．0是自然数，也是整数，还是有理数 D．有理数可分为正有理数和负有理数 7．（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在下列说法中，正确的个数是（   ） （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；（2）数轴上的每一个点都表示一个有理数；（3）任何有理数的绝对值都不可能是负数；（4）每个有理数都有相反数． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如果某商场盈利2万元，记作万元．那么亏损万元，应记作 万元． 11．（24-25六年级上·上海·期中）能够写成分数（，是整数，）的数叫做 ． 12．（24-25六年级上·上海闵行·期中）比大小： （填、 或） 13．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，，，把，，，按从大到小的顺序排列 ． 14．（24-25六年级上·上海闵行·期中）绝对值不大于2.9的所有整数有 ． 15．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是 ． 16．（24-25六年级上·上海金山·期中）如果一个数的绝对值为，那么这个数是 ． 17．（24-25六年级上·上海·期中）的相反数是，那么 ． 18．（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上，对应的点分别为M、N、P、Q，且，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 三、解答题 19．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，，，     正有理数：{__________________________…} 负分数：{__________________________…} 整数：{__________________________…}． 20．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 21．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： (1)请在数轴上标出表示和的点，并用字母表示． (2)请在数轴上标出到1的距离为个单位长度的点，并用字母表示． 22．（24-25六年级上·上海虹口·期中）（1）填空：如图，写出数轴上的点A、点B所表示的数．点A表示的数是，点B表示的数是； （2）已知点C表示的数是，点D表示的数是，请在图中的数轴上分别画出点C和点D，并标明相应字母； （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 23．（24-25六年级上·上海闵行·期中）在数轴上有A、B、C、D四个点，点A、点B的位置如图所示，点C表示的数是，点D表示的数是． (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________； (2)在数轴上分别画出点C、点D； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“<”连接________． 24．（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 25．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【考点题型二】有理数的基本运算（共15题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果两个数的和为负数，那么这两个数一正一负，且负数的绝对值较大； B．如果两个数的差为正数，那么这两个数一定都为正数； C．如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数： D．如果两个有理数相加，那么它们的和一定大于每一个加数． 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 5．（24-25六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 6．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 7．（24-25六年级上·上海闵行·期中）已知一个数减去2.4的差的绝对值为0，那么这个数是 ． 三、解答题 8．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 9．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 10．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： 11．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 12．（24-25六年级上·上海·期中）求的最小值． 13．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 14．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 15．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【考点题型三】有理数中新定义运算（共10题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 二、填空题 2．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新运算“”：，如，计算 ． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义一种新运算．例如：．则的值为 ． 4．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是 ． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ． 6．（24-25六年级上·上海青浦·期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ． 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 . 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海闵行·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (3)算一算：． 10．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【考点题型四】有理数运算中的框图（幻方）（共4题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ． 三、解答题 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）按流程图进行计算： 如第一次，不大于100，第二次重复再做， 请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【考点题型五】有理数的运算实际应用题（共11题） 1．（24-25六年级上·上海松江·期中）苏州河青浦段上周末的水位为3.44米，下表是本周内水位的变化情况：（“+”表示水位比前一天上升，“﹣”号表示水位比前一天下降） 星期 一 三 三 四 五 六 日 水位变化/米 +0.03 -0.55 +0.25 +0.20 +0.30 -0.45 +0.05 根据上表，请计算哪天水位最高？本周日的水位是多少？ 2．（24-25六年级上·上海·期中）股民小张上星期五买进某公司股票1000股，每股28元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元) 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是______元？ (2)本周内最高价是每股______元？最低价每股______元？ (3)已知小张买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果小张在星期五收盘时将全部股票卖出，他赚了还是亏了？赚或亏了多少？ 3．（24-25六年级上·上海·期中）一天下午，某出租车以中学为出发点在东西方向上营运，假设向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：、、、、、、、、、； (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在中学的什么方向？离出发点中学有多远？ (2)若3千米内为14元；超过3千米的每千米价格为2.4元，那么这位司机一个下午的营业额是多少？ 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝国庆75周年，一个广场在四周等距离挂设彩旗，该广场是一个长方形，其长为200米，宽为140米，广场的四个角各挂设一面彩旗． (1)在各方案中，相邻两面彩旗之间的最大距离是多少米？ (2)至少要在广场四周挂设多少面彩旗？ 5．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）某电商公司原计划每月卖出件衣服，但由于服装行业存在淡季旺季，每月销售件数不定，为统计该公司前三季度每月实际销售情况，记录表格如下：（单位：件） 月 月 月 月 月 月 月 月 月 件数 （注：规定该月实际销售件数多于件记为正，反之记为负）． 回答下列问题： (1)前三季度共卖出多少件衣服？ (2)如果一件衣服利润为元，那么第二季度比第一季度多赚几分之几？ 7．（24-25六年级上·上海虹口·期中）某网络平台商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店星期_____销售量最多，是_____辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售了_____辆； (3)该店这一周平均每天销售多少辆？ 8．（24-25六年级上·上海闵行·期中）乐乐的爸爸上周五以收盘价买进某种股票1000股．每股27元．下表为本周每天该股票的涨跌情况，股票上涨记为“+”，股票下跌记为“”．（星期六、日股市休市，收盘价为当天涨跌后的最终价格）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内该股票每股最高收盘价多少元？最低收盘价是多少元？ (2)如果乐乐爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 9．（24-25六年级上·上海闵行·期中）现有一批橘子共5筐，以每筐为标准，超过或不足的质量分别用正、负数来表示，统计如下（单位：）： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 1 (1)这批橘子中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)已知橘子每千克售价8元，求售完该批橘子的总金额． 10．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪80元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 11．（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 【考点题型六】有理数的运算综合题（共17题） 1．（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式． 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的（填序号）： (2)请你根据材料尝试计算：． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一串分数，，，，，，，，，，…，问： (1)是这串分数的第________个，第50个分数是________． (2)计算________，________． (3)利用得到的规律求的和． 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 8．（24-25六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 9．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 10．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则，所以，即，所以． 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1)； (2)． 12．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）【溯源】“、”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“”作为加号，从而“”号中拿去“”竖，就可表示减少的意思，于是把“”作为减号．“”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受．四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】小文同学通过有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认知，小文同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求： ①；②，其中、、可以取任何有理数， 求：的值． 【分析问题】爱思考的小丽同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________，于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________．（用含字母的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到_______（用含字母、的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求的倒数． 14．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 直接写出计算结果：_____，_____；（结果直接写成幂的形式） (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式．将下列运算结果直接写成幂的形式． _____：_____；_____． (3)算一算： 16．（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 17．（24-25六年级上·上海·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数（考点清单，5个考点清单+6种题型解读） 【清单01】有理数的引入 1.相反意义的量：用正数和负数表示具有相反意义的量，哪种意义的量为正或负，是可以任意选择的. 2.正数、负数概念 3.有理数的概念 或者 4.数轴 5.相反数 6.绝对值 【清单02】有理数的加法与减法 1.有理数的加法 2.有理数的减法 【清单03】有理数的乘法法与除法 1. 有理数的乘法 2.有理数的除法 【清单04】有理数的乘方 有理数的乘方 【清单05】有理数的混合运算 【考点题型一】有理数的相关概念（共25题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）下列数字中，，，0，，，，，有理数有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，解题的关键是注意不是有理数．根据有理数的概念即可得出答案． 【详解】有理数有，，0，，，，，， 共有个， 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（　　） A．的绝对值等于 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 C．绝对值等于自身的数只有0和1 D．一个有理数的绝对值不小于它本身 【答案】D 【知识点】相反数的定义、绝对值的意义 【分析】本题主要考查了绝对值，掌握相反数和绝对值的概念是解答此题的关键． 根据相反数和绝对值的概念进行判断． 【详解】解：A、当时，的绝对值等于，故错误，不符合题意； B、如果两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故错误，不符合题意； C、正数和0的绝对值是它本身，故错误，不符合题意； D、正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以一个有理数的绝对值不小于它自身，故正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点距离越远的点，表示的数就越大 B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小 C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数 D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的意义 【分析】本题考查了数轴，绝对值，正数和负数定义，相反数，数轴上在原点右边的点离原点距离越远的点表示的数越大，而在原点左边离原点越远的点表示的数越小，据此可判断A、B；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可判断C、D． 【详解】解：A．数轴上在原点右边的点离原点距离越远的点表示的数越大，而在原点左边离原点越远的点表示的数越小，原说法错误，不符合题意； B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小，原说法正确，符合题意； C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数或0，原说法错误，不符合题意； D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海·期中）在5，，1.4，，0，这六个数中，正数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．根据“大于0的数都是正数”进行分析判断即可． 【详解】解：在5，，1.4，，0，这六个数中，属于正数的有5，1.4，共2个． 故选：A． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）以下结论错误的是（    ） A．和的绝对值相同 B．的相反数是 C．是素数 D．和互素 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、素数与合数 【分析】本题考查了绝对值、相反数、素数的定义，解题的关键是掌握相关知识．根据绝对值、相反数、素数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，， 和的绝对值相同，故该选项正确； B、的相反数是，故该选项正确； C、不是素数，故该选项错误； D、和互素，故该选项正确； 故选：C． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．0既不是正数也不是负数 B．只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数 C．0是自然数，也是整数，还是有理数 D．有理数可分为正有理数和负有理数 【答案】D 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是自然数，也是整数，还是有理数，但不是正数也不是负数． 根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，正确，故此选项不符合题意； B、只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数，正确，故此选项不符合题意； C、0是自然数，也是整数，还是有理数，正确，故此选项不符合题意； D、有理数可分为正有理数、0、负有理数，原就法错误，故选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的定义与有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、正数和负数、零统称为有理数 ，选项错误，不符合题意； B、是最大的负整数，选项错误，不符合题意； C、零不是正数，也不是负数，但是整数，选项正确，符合题意； D、除0以外的自然数就是正整数，选项错误，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的有（　　） ①能够写成分数的数叫作有理数； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数； ③所有的素数都是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】素数与合数、相反数的定义、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义，解题的关键是掌握有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义．利用有理数的概念，相反数的定义，合数、素数的定义解答． 【详解】解：①能够写成分数的数叫作有理数，说法正确； ②符号不同的两个数，其中一个数一定是另一个的相反数，说法错误，如：和两数符号不同，绝对值不同也不是相反数； ③所有的素数都是奇数，说法错误，2是素数但不是奇数； ④如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数，说法错误，例如，8，9互素，但都是合数， 所以只有①正确． 故选：B． 9．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在下列说法中，正确的个数是（   ） （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；（2）数轴上的每一个点都表示一个有理数；（3）任何有理数的绝对值都不可能是负数；（4）每个有理数都有相反数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的意义 【分析】本题考查了有理数和数轴，绝对值的意义和相反数．根据有理数与数轴的关系，可判断（1）、（2），根据绝对值的意义，可判断（3），根据相反数的意义，可判断（4）． 【详解】解：（1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，故（1）正确； （2）数轴上的每一个点不一定表示有理数，例如，故（2）错误； （3）绝对值是数轴上的点到原点的距离，任何有理数的绝对值都不可能是负数，故（3）正确； （4）每个有理数都有相反数，故（4）正确； 综上，正确的有（1）（3）（4），共3个． 故选：C． 二、填空题 10．（24-25六年级上·上海宝山·期中）如果某商场盈利2万元，记作万元．那么亏损万元，应记作 万元． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【详解】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【解答】“正”和“负”相对， 且商场盈利2万元，记作万元， 亏损万元，应记作万元． 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海·期中）能够写成分数（，是整数，）的数叫做 ． 【答案】有理数 【知识点】有理数的分类 【分析】此题主要考查了有理数的概念，有理数分为整数和分数，而整数和分数都可以写出分数（，是整数，）的形式，据此可得答案． 【详解】解：能够写成分数（，是整数，）的数叫做有理数， 故答案为：有理数． 12．（24-25六年级上·上海闵行·期中）比大小： （填、 或） 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法， 解题的关键是正确理解两个负数相比较， 绝对值大的数反而小． 利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，，，把，，，按从大到小的顺序排列 ． 【答案】 【知识点】绝对值的意义、有理数大小比较 【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：，，且， ，， ． 故答案为：． 14．（24-25六年级上·上海闵行·期中）绝对值不大于2.9的所有整数有 ． 【答案】2，，1，，0 【知识点】绝对值的意义、有理数大小比较 【分析】本题考查了绝对值的意义和有理数大小比较，熟练掌握绝对值的意义是解决本题的关键． 根据题意找出绝对值不大于2.9的所有整数有：0，，求解． 【详解】解：根据题意可得， 绝对值不大于2.9的所有整数有：2，，1，，0． 故答案为：2，，1，，0． 15．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】绝对值的意义 【分析】本题主要考查了数轴上的点到原点的距离，掌握在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值是解题的关键．根据在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值即可求解． 【详解】解：在数轴上的点到原点距离等于， 该点的绝对值为， 该点表示的数是或， 故答案为：或． 16．（24-25六年级上·上海金山·期中）如果一个数的绝对值为，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的意义 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：如果一个数的绝对值为，那么这个数是， 故答案为：． 17．（24-25六年级上·上海·期中）的相反数是，那么 ． 【答案】1 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为1． 18．（24-25六年级上·上海长宁·期中）如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上，对应的点分别为M、N、P、Q，且，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是 ． 【答案】p 【知识点】相反数的定义、绝对值的意义、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了相反数的几何意义，数轴，以及绝对值．根据题意得到q与n化为相反数，且中点为坐标原点，即可找出绝对值最小的数即离原点最近的点． 【详解】解：∵， ∴原点如图所示， ∴绝对值最小的数是p， 故答案为：p． 三、解答题 19．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）把下列各数填在相应的大括号里： ，，，0，，，     正有理数：{__________________________…} 负分数：{__________________________…} 整数：{__________________________…}． 【答案】；，，；，0 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数是大于等于0的整数和分数，负分数是小于0的分数，再结合整数和分数的定义即可得到答案． 【详解】解：正有理数：{}； 负分数：{，，} ； 整数：{，0 }． 20．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 【答案】见详解 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的概念与分类，整数和分数统称为有理数，大于0的有理数为正有理数，自然数是指0和正整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 21．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： (1)请在数轴上标出表示和的点，并用字母表示． (2)请在数轴上标出到1的距离为个单位长度的点，并用字母表示． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数． （1）根据数轴表示有理数的方法求解即可； （2）画出数轴，根据数轴可得答案． 【详解】（1）解：点，点如图所示， ； （2）解：点，点如图所示． 22．（24-25六年级上·上海虹口·期中）（1）填空：如图，写出数轴上的点A、点B所表示的数．点A表示的数是，点B表示的数是； （2）已知点C表示的数是，点D表示的数是，请在图中的数轴上分别画出点C和点D，并标明相应字母； （3）将A、B、C、D四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把到之间的长度平均分成6份，每份表示一，所以点表示的数是，然后把1到2之间的长度平均分成4份，每份表示一，所以点表示的数是； （2）根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点、点，并标明相应字母即可； （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将、、、四个点所表示的数从小到大排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是． 故答案为：，； （2）点C和D在数轴上的位置如图所示： （3）根据（2）可得． 23．（24-25六年级上·上海闵行·期中）在数轴上有A、B、C、D四个点，点A、点B的位置如图所示，点C表示的数是，点D表示的数是． (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________； (2)在数轴上分别画出点C、点D； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“<”连接________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）如图， ； （3）由数轴知：． 故答案为： 24．（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)； (2)，4，； (3)向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、数轴上的动点问题、化简绝对值 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出是解题关键 （1）利用数轴上a，b，c的位置进而得出大小关系； （2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案； （3）利用（2）中所求得出爬行的方法． 【详解】（1）解：由图可得：； （2）解：∵，，表示数b的点到原点的距离为4，且， ∴由数轴可得：，，； （3）解：由（2）可得：向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度，能爬行到距离原点三个单位长度的位置． 25．（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是 (2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【知识点】数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解； （2）设这个数是，根据题意得：，即可求解； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点， 故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：， 解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点， 故答案为：或； （3）设点运动的时间为， 由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒）， 分四种情况： ①当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ②当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ③当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ④当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 【考点题型二】有理数的基本运算（共15题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【知识点】绝对值的意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】绝对值的意义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查绝对值、有理数的乘方，根据的符号情况，找出反例，逐项判断即可． 【详解】解：当互为相反数时，，但， 故（1）错误； 若，则，故（2）正确； 当a为负数时，若，则， 故（3）错误； 当a为负数，若，则， 故（4）错误； 综上可知，正确的个数有1个， 故选B． 3．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．如果两个数的和为负数，那么这两个数一正一负，且负数的绝对值较大； B．如果两个数的差为正数，那么这两个数一定都为正数； C．如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数： D．如果两个有理数相加，那么它们的和一定大于每一个加数． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、绝对值的意义 【分析】本题考查了有理数的加减法法则，绝对值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数的加减法法则，绝对值的定义逐项分析即可得选出正确结果． 【详解】解：A.两个负数相加，和也为负数，故选项错误． B.一个绝对值小的负数减去一个绝对值大的负数，和也为正数，故选项错误． C. 如果两个负数相加，那么它们的和一定小于每一个加数，故选项正确． D. 一个正数和一个负数相加，它们的和小于正数，故选项错误． 故选：C 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海·期中）满足的整数对共有 组． 【答案】6 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，绝对值的非负性，有理数乘法计算，根据绝对值的非负性可推出或，再分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， 又∵， ∴或， 当时，则或， ∴此时有4对整数对满足题意； 当时，则，且， ∴， ∴此时有2对整数对满足题意； 综上所述，一共有6对整数对满足题意， 故答案为：6． 5．（24-25六年级上·上海·期中）、、从小到大排列 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，有理数比较大小，先根据有理数的乘方计算，进而比较得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】8或/或8 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，先计算出x和y的值，再进行乘方运算． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， 故答案为：8或． 7．（24-25六年级上·上海闵行·期中）已知一个数减去2.4的差的绝对值为0，那么这个数是 ． 【答案】2.4 【知识点】绝对值的意义、绝对值方程、有理数的减法运算 【分析】本题考查绝对值，解绝对值方程，有理数减法，掌握绝对值的意义是解题的关键． 设这个数是为x，则，解之即可． 【详解】解：设这个数是为x，根据题意，得 ∴ ∴ 故答案为：2.4． 三、解答题 8．（24-25六年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键．先根据有理数减法法则计算，再运用加法结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 9．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键，应用运算律会使计算简便，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】解： 11．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的四则运算．解答本题的关键是明确有理数混合运算法则和运算顺序．先求绝对值，然后计算乘除法，最后计算加减法即可求解． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25六年级上·上海·期中）求的最小值． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、绝对值的意义 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的运算．原式整理得，即表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和，求得在取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴表示x到1的距离，2倍x到的距离，3倍x到的距离，，99倍x到的距离之和， ∵（偶数）， ∴当为第2475、2476项所对应的数时，有最小值． 经计算：且， ∴当取得最小值， 原式 ． 13．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数四则运算法则是解题的关键．根据有理数四则运算法则和顺序计算即可． 【详解】解：原式 14．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解：原式 ． 15．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； 【详解】 ； 【考点题型三】有理数中新定义运算（共10题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海虹口·期中）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棒形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1，根据刘徽的表示法，一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示，因为，所以图1表示的数为0．如果将图2与图3所表示的数分别记为A、B，那么A的2倍与B的差是（　　） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据一根正放的小棒表示，一根斜放的小棒表示列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 2．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新运算“”：，如，计算 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了新定义和有理数的加法计算，根据新定义可得，再根据有理数加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）定义一种新运算．例如：．则的值为 ． 【答案】15 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查定义新运算，根据新定义的运算规则逐步计算是关键． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ， 故答案为：15． 4．（24-25六年级上·上海·期中）规定一种新的运算：对于一个合数，表示不是的素因数的最小素数，如，，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，根据新定义可得，再计算加法即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）有一种新定义运算：，则 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的混合运算，理解新定义的运算法则是解题关键．根据新定义的运算法则计算即可求值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海青浦·期中）现定义两种运算“□”“”，对于任意两个整数，则 ． 【答案】67 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】此题是定义新运算题型．认真审题，读懂新运算的新规则，按新规则解答． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：67． 7．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据新定义进行正确的计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 . 【答案】3 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则． 根据新定义，即可求出的值． 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 三、解答题 9．（24-25六年级上·上海闵行·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (3)算一算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的乘方运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及除方定义的运用． （）根据的圈次方定义计算可得； （）根据计算结果得出规律即可； （）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及的圈次方的法则计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（）得： ． 10．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【考点题型四】有理数运算中的框图（幻方）（共4题） 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 二、填空题 2．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如图，是一个运算程序的示意图．输入一个数便能按图中程序进行运算，如果某次运算输出的数，那么输入的数a是 ． 【答案】或 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序图与有理数的混合运算，分当时和当时两种情况列式计算即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ． ． 所以输入的数a是或． 故答案为：或． 三、解答题 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）按流程图进行计算： 如第一次，不大于100，第二次重复再做， 请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程． 【答案】，计算过程见详解 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：最后输出的结果是，计算过程如下： 依题意，， 第二次重复再做，， 第三次重复再做，， ∴最后输出的结果是． 4．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【答案】任务1：（1）4，；（2）或；任务2：（1）2；（2）见解析 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是关键． 任务一：（1）把所给数字相加乘以2，然后除以4即可求出幻和；根据幻和即可求出x的值； （2）根据幻和求出y的值，然后分两种情况计算即可； 任务二：（1）共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2； （2）利用每条边的和为2将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是： ， x处所填的数字是， 故答案为：4，； （2）， 当时，， 当时，， 故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是： ， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ， ， ， ∵，d，e，f可能取的数为， ∴． 如图， ． 【考点题型五】有理数的运算实际应用题（共11题） 1．（24-25六年级上·上海松江·期中）苏州河青浦段上周末的水位为3.44米，下表是本周内水位的变化情况：（“+”表示水位比前一天上升，“﹣”号表示水位比前一天下降） 星期 一 三 三 四 五 六 日 水位变化/米 +0.03 -0.55 +0.25 +0.20 +0.30 -0.45 +0.05 根据上表，请计算哪天水位最高？本周日的水位是多少？ 【答案】本周五水位最高；本周日的水位高为3.27米． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查正数和负数，用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数． 计算出每一天的水位变化，比较即可得出答案，根据题中数据得出周日的水位． 【详解】解：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降： 周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， 周六：， 周日：． 故本周五水位最高；本周日的水位高为米． 2．（24-25六年级上·上海·期中）股民小张上星期五买进某公司股票1000股，每股28元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元) 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是______元？ (2)本周内最高价是每股______元？最低价每股______元？ (3)已知小张买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果小张在星期五收盘时将全部股票卖出，他赚了还是亏了？赚或亏了多少？ 【答案】(1) (2)， (3)赚了元 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算的应用； （1）利用正数和负数的意义，将星期一和星期二、星期三的涨跌相加，可得到星期三收盘时每股的价格； （2）分别计算出星期一到星期五每天的股价，然后比较大小即可； （3）先计算出以星期五收盘前每股的价格卖出所得，然后再计算买进股票所需费用，然后求出它们的差即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元） 故星期三收盘时，每股元； 故答案为：； （2）解：星期一收盘时每股价格为：（元）； 星期二收盘时每股价格为：（元）； 星期三收盘时每股价格为：（元）； 星期四收盘时每股价格为：（元）； 星期五收盘时每股价格为：（元）； 所以本周内最高价是每股元，最低价每股元； 故答案为：，； （3）解：星期五收盘前将全部股票卖出所得为： （元） 买进股票的费用为： （元） （元） 答：小张在星期五收盘时将全部股票卖出，他赚了元． 3．（24-25六年级上·上海·期中）一天下午，某出租车以中学为出发点在东西方向上营运，假设向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：、、、、、、、、、； (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在中学的什么方向？离出发点中学有多远？ (2)若3千米内为14元；超过3千米的每千米价格为2.4元，那么这位司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】(1)东方，5千米 (2)元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数． （1）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西； （2）求出记录数字的绝对值的和，再减去，再用差乘以2.4，把它们的积加上10个14元即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴出租车在中学的东方，离出发点中学5千米； （2）解：由题意得： （元）． 答：这位司机一个下午的营业额是元． 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝国庆75周年，一个广场在四周等距离挂设彩旗，该广场是一个长方形，其长为200米，宽为140米，广场的四个角各挂设一面彩旗． (1)在各方案中，相邻两面彩旗之间的最大距离是多少米？ (2)至少要在广场四周挂设多少面彩旗？ 【答案】(1)米 (2)面彩旗 【知识点】有理数四则混合运算、公因数与最大公因数 【分析】本题主要考查公因数和最大公因数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）要求相邻两面彩旗之间的最大距离，即求相邻两面彩旗的距离是和的最大公因数； （2）根据和的最大公因数，即可得到相邻两面彩旗之间的距离，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵与的最大公因数是， ∴相邻两面彩旗之间的最大距离是米； （2）解：（面）， 答：至少要在广场四周挂设面彩旗． 5．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 【答案】(1)，， (2) (3)到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了 (4)这一趟公交车票价总收入为92元 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用、正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用及有理数的乘除法的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据表格数据根据正负数的意义，有理数的加减进行计算即可求解； （2）先计算出中间第三站开车时车上人数，再根据中间第四站上车人数结合中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，列式计算即可； （3）观察表格中数据，求出到达终点站时的人数，即可解答； （4）根据表格数据，求出所有上车的人数再加上起点站的人数，最后乘以票价即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知：中间第二站上车人数是4人，下车人数是6人， 中间第二站开车时车上人数是：（人）； 故答案为：4，6，21 （2）解：中间第三站开车时车上人数是：（人）， 中间第四站上车后人数：（人）， 根据题意：中间第四站开车时的人数为：（人） 则（人） 故； 故答案为： （3）解：到达终点站时的人数为：（人）， ， ， 到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了； （4）解： （元） 答：这一趟公交车票价总收入为92元． 6．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）某电商公司原计划每月卖出件衣服，但由于服装行业存在淡季旺季，每月销售件数不定，为统计该公司前三季度每月实际销售情况，记录表格如下：（单位：件） 月 月 月 月 月 月 月 月 月 件数 （注：规定该月实际销售件数多于件记为正，反之记为负）． 回答下列问题： (1)前三季度共卖出多少件衣服？ (2)如果一件衣服利润为元，那么第二季度比第一季度多赚几分之几？ 【答案】(1)件； (2)． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列示计算即可． （2）根据正数和负数的实际意义列示计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可列：， ∴原式， ∴前三季度共卖出件衣服， （2）解：根据题意可得第一季度总利润为：（元）， 第二季度总利润为：（元）， ∴， ∴第二季度比第一季度多赚了：． 7．（24-25六年级上·上海虹口·期中）某网络平台商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知该店星期_____销售量最多，是_____辆； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售了_____辆； (3)该店这一周平均每天销售多少辆？ 【答案】(1)六，121 (2)29 (3)103辆 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是掌握正数和负数的意义，有理数的混合运算法则． （1）利用正数和负数的意义解答； （2）用最多的一天减去最少的一天即可； （3）利用有理数的混合运算法则计算． 【详解】（1）解：， （辆）， 根据记录的数据可知该店星期 六销售量最多，是 121辆； 故答案为：六，121； （2）解：（辆）， 故答案为：29； （3）解：， （辆）， 答：该店这一周平均每天销售103辆． 8．（24-25六年级上·上海闵行·期中）乐乐的爸爸上周五以收盘价买进某种股票1000股．每股27元．下表为本周每天该股票的涨跌情况，股票上涨记为“+”，股票下跌记为“”．（星期六、日股市休市，收盘价为当天涨跌后的最终价格）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内该股票每股最高收盘价多少元？最低收盘价是多少元？ (2)如果乐乐爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 【答案】(1)本周内每股最高收盘价为元，最低收盘价为28元 (2)会获利，获利3000元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意并正确列出算式是解题关键． （1）分别计算本周内每天的股价，比较即可获得答案； （2）结合（1）可知周五的收盘价大于买入价，然后计算获利即可． 【详解】（1）解：星期一股票收盘价格为：元， 星期二股票收盘价格为：元， 星期三股票收盘价格为：元， 星期四股票收盘价格为：元， 星期五股票收盘价格为：元， ∵， ∴本周内每股最高收盘价为元，最低收盘价为28元； （2）解：由（2）可知，周五的收盘价为30元， ∵， ∴会获利， 又∵元， ∴他会获利3000元． 9．（24-25六年级上·上海闵行·期中）现有一批橘子共5筐，以每筐为标准，超过或不足的质量分别用正、负数来表示，统计如下（单位：）： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 1 (1)这批橘子中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)已知橘子每千克售价8元，求售完该批橘子的总金额． 【答案】(1)这批橘子中，最重的一筐比最轻的一筐重 (2)售完该批橘子的总金额为584元 【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）用表格中数字最大的那一筐的质量减去数字最小的那一筐的质量即可得到答案； （2）把表格中5筐橘子的质量相加，再加上求出这5筐橘子的总质量，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴这批橘子中，最重的一筐比最轻的一筐重； （2）解：， 元， ∴售完该批橘子的总金额为584元． 10．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪80元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐53单 (3)该外卖小哥这一周工资收入元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数减法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用： （1）用表格中的最大值减去最小值即可得到答案； （2）求出表格中所有数据的平均数再加上50即可； （3）根据工资的计算方式算出每天的工资再求和即可． 【详解】（1）解：送餐最多的一天比送餐最少的一天多送（单）． 故答案为：22； （2）解： （单） 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）解： （元） 答：该外卖小哥这一周工资收入元． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 【答案】(1) (2)早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 【知识点】 公倍数与最小公倍数、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查最小公倍数及整数四则运算的应用，理解题意是解题关键． （1）甲台新闻加广告是12分钟，乙台新闻加广告是18分钟；12，18的最小公倍数是36，所以是36分钟之后早间新闻播报结束，由此即可得； （2）用最小公倍数36分别除以新闻加广告共用的时间再乘插播广告时间即可． 【详解】（1）解：分钟，分钟， 因为12和18的最小公倍数为36， 所以早间新闻播报用了36分钟， 因为早晨开始播报早间新闻， 所以结束时间为； （2）解：分钟，分钟， 答：早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 【考点题型六】有理数的运算综合题（共17题） 1．（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 2．（24-25六年级上·上海闵行·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式． 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的（填序号）： (2)请你根据材料尝试计算：． 【答案】(1)① (2) 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误； （2）先计算原式的倒数，再转化为原式即可． 【详解】（1）解：除法当中的除式不能进行加减法分解，解法①是错误的， 故答案为：①； （2）解：原式的倒数为 ， 原式． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一串分数，，，，，，，，，，…，问： (1)是这串分数的第________个，第50个分数是________． (2)计算________，________． (3)利用得到的规律求的和． 【答案】(1)26； (2)；2 (3)885 【知识点】有理数四则混合运算、有理数加法运算 【分析】本题考查的是数字的规律探究，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． （1）分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个……，分母是n的分数有个，据此解答即可； （2）根据同分母分数运算法则进行计算即可； （3）根据解析（2）中的计算结果得出，然后求出的结果即可． 【详解】（1）解：根据题目中给出的这串分数可知：分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个……，分母是n的分数有个， ， ∴是这串分数的第26个； ∵， ， ∴分母是：； 分子是：； ∴这列数中第50个数是． （2）解：，； （3）解：∵， ， ， ， …… ， ∴ ． 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的等式归纳总结得到一般性规律，所求式子变形后抵消合并即可得到结果； （2）把式子变形为，然后抵消合并即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 【答案】(1)①99，100；②99，101 (2)①；② 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查的是找规律，根据题目意思找出对应的规律是解决本题的关键． （1）①根据题目中的式子特点，即可得出答案；②根据题目中的式子特点，即可得出答案； （2）①根据（1）中的结论即可得出答案；②对所求式子进行变形即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意可知，； 故答案为：99，100； ②， 故答案为：99，101； （2）解：① ． ② ， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【答案】(1)；； (2)； 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）用点A表示的数加上M运动的路程即为点C表示的数，用点B表示的数减去N运动的路程即为点D表示的数，据此求解即可； （2）先根据时间等于路程除以速度求出t，进而求出M运动的路程，最后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：∵M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒，且二者相向而行，运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∴点P表示的数为． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 【答案】（1）6；或6；（2）4.5或5.5；（3）5；（4）4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用、数轴上两点间的距离、有理数的加减和乘法，掌握是解答本题的关键． （1）直接求解即可；由表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是4可求解； （2）分、、化简绝对值，然后利用有理数的加减和乘法运算法则即可求解； （3）根据3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，又表示数x与和3两数在数轴上所对应的两点之间的距离和，据此求解即可； （4）分、、、四种情况，化简绝对值，利用有理数的加减法和乘法的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； ∵表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是4， ∴或6， 故答案为：6；或6； （2）对于， 当时，，即，解得； 当时，，x不存在，舍去； 当时，，即，解得， 综上，x的值为4.5或5.5； （3）∵3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，又表示数x与和3两数在数轴上所对应的两点之间的距离和， ∴当数x在和3两数之间时，有最小值，又， 故的最小值为5， 故答案为：5； （4）对于， 当时，； 当时，，则； 当时，； 当时，， 综上，的最小值为4． 8．（24-25六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【答案】(1)2；； (2)③ (3) 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的乘除法计算．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【答案】(1) (2) (3)7； 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 10．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】（）或；（），；（）表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】（）分点向右或向左移动两种情况讨论； （）根据题意点到的距离，的距离，到的距离相等，即可求得答案； （）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄； 本题主要考查了有理数加减的应用，以及用数轴解决实际问题，解题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值． 解：令，则，所以，即，所以． 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）令，则，则，进而得到，据此可得答案； （2）令，则，两式相减得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：令， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：令， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【答案】(1)，9； (2)负数； (3)； (4)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方运算，有理数的混合运算，正数和负数，熟练掌握有理数的乘方运算法则，有理数的混合运算法则，理解新定义是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）把除法转变为有理数的乘方，然后根据有理数的乘方意义解答即可； （3）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （4）根据新定义和有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）【溯源】“、”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“”作为加号，从而“”号中拿去“”竖，就可表示减少的意思，于是把“”作为减号．“”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受．四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】小文同学通过有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认知，小文同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求： ①；②，其中、、可以取任何有理数， 求：的值． 【分析问题】爱思考的小丽同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________，于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________．（用含字母的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到_______（用含字母、的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求的倒数． 【答案】[分析问题] ；[解决问题]；[拓展问题]的倒数为或 【知识点】绝对值方程、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查定义新运算，绝对值方程，掌握新运算的法则是解题的关键： [分析问题]：按照新定义的法则，进行作答即可； [解决问题]：按照新定义的法则，进行计算即可； [拓展问题]：按照新定义的法则，列出方程，求出的值，进而求出倒数即可． 【详解】解：[分析问题]：根据题意， ， ， ， 故答案为：； [解决问题]：∵， ， 故答案为：； [拓展问题]：， ∴， ， 或， ∴的倒数为或． 14．（24-25六年级上·上海金山·期中）阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、等式的性质2 【分析】（）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （）把转化为，再仿照阅读材料中的方法求出所求即可； 本题考查了有理数的混合运算，等式的性质，看懂阅读材料是解题的关键． 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】 直接写出计算结果：_____，_____；（结果直接写成幂的形式） (2)【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式．将下列运算结果直接写成幂的形式． _____：_____；_____． (3)算一算： 【答案】(1)； (2)；； (3) 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键． （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果即可； （3）根据运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ， ； （3）解： ． 16．（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 【答案】分析问题：；解决问题：12；拓展问题：或 【知识点】绝对值方程、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查定义新运算，绝对值方程，掌握新运算的法则是解题的关键： 分析问题：按照新定义的法则，进行作答即可； 解决问题：按照新定义的法则，进行计算即可； 拓展问题：按照新定义的法则，列出方程，求出的值，进而求出倒数即可． 【详解】解：分析问题：根据题意， ， ， ， 故答案为：； 解决问题：∵， ， 故答案为：12； 拓展问题：， ∴， ， 或， ∴的倒数为或． 17．（24-25六年级上·上海·阶段练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$