专题03 轴对称 11大高频考点（期末真题汇编，云南专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 11大高频考点概览 一、考点01轴对称图形的识别 二、考点02 垂直平分线的性质 三、考点03逆命题的判断 四、考点04画轴对称图形 五、考点05坐标的对称变化 六、考点06直角三角形斜边中线 七、考点07 等边对等角 八、考点08三线合一 九、考点09 等腰三角形的性质和判定 十、考点10含30度的直角三角形 十一、考点11 等边三角形的性质和判定 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，下面四种仪器的示意图中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（    ） A．禁止向左向右转弯 B．单行路 C．室内停车场 D．右侧变窄 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、该标志不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该标志是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该标志不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该标志不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握这一知识点是解题的关键． 【详解】解：A：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； B：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； C：可以找到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形； D：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 4．（19-20八年级下·云南红河·期末）下面图形中是轴对称图形的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案． 【详解】解：由轴对称图形的定义可得：左起第2，3，4个图形都是轴对称图形，左起第1个图形不是轴对称图形，共有3个， 故选：C． 5．（22-23八年级下·云南西双版纳·期末）下列几何图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．六边形 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，则此项不符合题意； B、平行四边形不一定是轴对称图形，则此项不符合题意； C、菱形一定是轴对称图形，则此项符合题意； D、六边形不一定是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级上·云南大理·期末）下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A．中 B．华 C．盛 D．世 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 地 城 考点02 垂直平分线的性质 7．（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，把长方形沿折叠，使得点落在边上的点处．若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换和平行线的性质，根据折叠得到，，根据平行得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵长方形沿折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（21-22八年级上·黑龙江·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，交于点F，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 先根据平角的定义求出，然后根据折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9．（16-17七年级上·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与BC交于点G．若，则的度数为 ． 【答案】/68度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质．先由平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，据此可利用平角的定义求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 10．（12-13七年级下·江苏扬州·期中）如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1= ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是利用折叠得到等角关系，结合平行线的性质求出角度． 由折叠性质得与折叠后对应角相等，根据纸条上下边平行的性质得到相关角的度数，再通过角的倍数关系计算∠1的度数． 【详解】解：根据折叠性质， 又由纸条对边平行得，即， 解得： 故答案为 11．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 故选：C． 12．（11-12八年级上·湖南岳阳·期末）到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握知识点：“到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．”是解题关键．根据线段垂直平分线的判定即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 13．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，若四边形的周长为18，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质； 根据线段垂直平分线的性质可得，，然后根据周长求出，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形的周长为18， ∴， ∴， 故选：B． 14．（21-22八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得BD=AD，，然后根据三角形周长可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴BD=AD，， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 地 城 考点03 逆命题的判断 15．（20-21八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线， ∴点D是AB的中点， ∴， ∵， ∴即△ADE的面积为5， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，三角形中线等分三角形面积的原理，熟练掌握作图，灵活运用三角形中线的性质是解题的关键． 16．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 17．（21-22八年级上·云南昭通·期末）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分，从而可求出． 【详解】如图连接BP． 　 ∵为等边三角形， ∴AD为BC的垂直平分线， ∴BP=CP， ∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE， ∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小， ∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图． 又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形， ∴P点即为等边角平分线的交点， ∴CP平分， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键． 18．（21-22八年级上·云南昆明·期中）如图，的周长为26，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2AE=12，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵△ABC的周长为26， ∴AB+BC+AC=26， ∵DE是线段AC的垂直平分线，AE=6， ∴DA=DC，AC=2AE=12， ∴AB+BC=14， ∴△ADB的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 19．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查命题的逆命题的概念．逆命题是将原命题的条件和结论互换后的命题，据此解答即可． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故选：B 地 城 考点04 画轴对称图形 20．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中的顶点在格点上． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是的对应点）； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据轴对称的性质作图即可； （）利用割补法计算即可求解； 本题考查了作轴对称图形，三角形的面积，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：． 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标______； (3)在y轴上找一点P，使得的值最小保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案． （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，连接交y轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 22．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，三个顶点坐标分别是． (1)请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)求出的面积； (3)在x轴上找出一点P，使点P到A，B两点的距离之和最小，在图中标出点P的位置并直接写出P点的坐标______． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，； （2）解：的面积为； （3）解：如图，取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 由图可得，P点的坐标为． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)11 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． （1）画出点A、B、C关于y轴对称的对称点，顺次连接并写出点坐标即可； （2）利用分割法求的面积即可； 【详解】（1）解：如图所示：点 （2）解： 24．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，已知网格上最小的正方形的边长为． (1)作关于轴对称的图形，并分别写出，，三点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， ， ， (2) 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． 分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，借助平面直角坐标系中的网格线可以求出点、、的坐标； 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，把补充成一个矩形，利用矩形的面积公式求出的面积． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求， 从网格图中可以看出：    ， （2）解：如下图所示，， ． 25．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析；，， (2)图见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： ，，； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作： 26．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，已知． (1)画出与关于轴对称的图形． (2)直接写出各顶点的坐标：（______），（______），（______） (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形： （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，再描出，最后顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案； （3）利用所在的长方形面积减去周围的三个小三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于轴对称，， ∴， 故答案为：； （3）解：． 地 城 考点05 坐标的对称变化 27．（24-25八年级上·云南红河·期末）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴，轴对称的点的坐标，掌握坐标的变化规律是解答本题的关键． 根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：A． 28．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为：． 29．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标的特征．根据两点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 30．（15-16八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是 ． 【答案】（2，﹣1） 【详解】解：点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是（2，﹣1）． 故答案为（2，﹣1）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 31．（24-25八年级上·云南普洱·期末）平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质．直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数分析得出答案． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 32．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知点和点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称，灵活利用轴对称的特点求点坐标是解题的关键．根据关于轴对称横坐标相同，纵坐标互为相反数可得，的值,进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ， 故答案为：1． 33．（24-25八年级上·云南昆明·期末）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为： 34．（24-25八年级上·云南昆明·期末）已知点和点关于轴对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系-轴对称，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键，根据关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求得m、n的值即可求得答案． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：6． 地 城 考点06 直角三角形斜边中线 36．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 37．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（   ）    A．3600 B．2400 C．1200 D．600 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，即可解题． 【详解】解：、互相垂直，M为的中点，的长为2400， ， 故选：C． 38．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 故， 故选：A． 39．（24-25七年级上·云南·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，分别在边上，分别以为折痕进行折叠并压平，点的对应点分别是点和点．甲同学的操作如图、其中 ；乙同学的操作如图、落在所在直线上；丙同学的操作如图，落在上，落在上． (1)图中的度数为 ； (2)求出图中的度数； (3)图中的度数为 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，找出角度之间的数量关系是解题的关键． （）由折叠性质可知，，可得，故有，最后通过平角定义即可求解； （）由折叠性质可知，，，又落在所在直线上，则，最后通过平角定义即可求解； （）由折叠性质可知，，，得，由，从而求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠性质可知，，， ∵落在所在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．（24-25八年级下·云南德宏·期末）命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等”的逆命题是 ． 【答案】如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形 【分析】本题考查了逆命题的概念，解题的关键是掌握逆命题的构造方法，即交换原命题的题设和结论．​ 先明确原命题的题设是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的两组对边分别相等”；再交换题设和结论，即可得到原命题的逆命题．​ 【详解】解：原命题的题设为“一个四边形是平行四边形”，结论为“这个四边形的两组对边分别相等”．​ 根据逆命题的定义，交换题设和结论后，逆命题为 “如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形”．​ 故答案为：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形． 41．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，点是斜边的中点，已知，则的长是 ． 【答案】12 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质，即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，来求解的长度．本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 【详解】解：∵ 在中，，点是斜边的中点， ∴． 又∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 地 城 考点08 三线合一 49．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（    ） A．射线是的平分线 B．是等腰三角形 C．C、两点关于所在直线对称 D．、两点关于所在直线对称 【答案】D 【分析】连接、，根据作图可得，进而可得射线是的平分线，可判断A选项，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，则可判断B，C选项，根据作图不能得出平分进而判断D选项．本题考查了角平分线的画法及相关几何证明，熟练运用全等三角形的证明方法是解题的关键． 【详解】A：连接、，根据作图得到、． 在与中， ， ， ，即射线是的平分线，A正确，不符合题意； B：根据作图得到， 是等腰三角形，B正确，不符合题意； C：根据作图得到， 又射线平分， 是的垂直平分线， 、两点关于所在直线对称，C正确，不符合题意； D：根据作图不能得出平分， 不一定是的平分线， 、两点不一定关于所在直线对称，D错误，符合题意． 故选：D． 50．（2018九年级·全国·专题练习）如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中线， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值是线段的长， 故选：C． 51．（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】根据，的周长为8，推出，根据，推出，根据，推出． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，三角形周长公式． 52．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，因为是边上的中线，所以是等腰三角形，平分，结合，即可作答． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴是等腰三角形，平分， ∵， ∴ 故答案为： 53．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的中线，、交于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由等腰三角形三线合一得出，由三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可得出答案． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， 是边上的高， ， ． 地 城 考点09 等腰三角形的性质和判定 54．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 55．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）利用等腰三角形性质证明，结合全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，进而求出，再结合四边形内角和得到进行求解，即可解题； （3）设时，是等腰三角形，结合全等三角形性质得到，进而得到，再根据是等腰三角形，分三种情况①当时，②当时，③当时，结合等腰三角形性质讨论求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：设时，是等腰三角形， ， ， ， ①当时，有， ， 解得，即； ②当时，有， ， 解得，即； ③当时，有， ， ， 解得，即； 综上所述，或或，是等腰三角形． 56．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，，垂直平分，交于点 (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再证明，推出，利用三角形外角的性质求解即可； （2）证明可得结论． 本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 的周长 57．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形的外角、等腰三角形的判定和性质、角平分线的计算以及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据是的角平分线，求得，根据，可得，即可求解； （2）根据，可得，求得，再结合三角形外角性质即可求解； 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； 58．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，． (1)当，求证：； (2)当时，是否一定为，如果一定，给出证明；如果不一定，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)一定，见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由条件得到直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，再利用等腰三角形的性质，等角对等边，从而证得结果； （2）通过作辅助线，得到，再利用，得到为等边三角形，从而得到结果． 【详解】（1）证明：当时， ∵， ∴， 又∵， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，，理由如下： 取的中点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 地 城 考点10 含30度的直角三角形 59．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，，则（   ） A． B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么，求出与的长度是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 60．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ，根据以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，得到点纵坐标是 ，以此类推得点的纵坐标是，从而完成求解． 【详解】解：点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是 ， 以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点， ，， ， 点纵坐标是 ，即， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点纵坐标是 ， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即， 故选：． 【点睛】本题考查了坐标规律探究，解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质． 61．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：D． 62．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．50米 B．100米 C．150米 D．200米 【答案】B 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 63．（21-22八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握角直角三角形的性质（在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）． 根据题意和直角三角形的性质“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”即可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ，即， ∴， 故选：C ． 64．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题主要查了直角三角形的性质；根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 65．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离长为（   ） A．12米 B．6米 C．3米 D．1.5米 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质．根据度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，米， ∴米， 故选：C． 66．（17-18八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明，结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质逐一分析判断即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确 ∵， ∴， ∴．故③正确， ∵．， ∴， ∴，故④正确， 若，则，，与题干条件不符， ∴无法判断，故②错误， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 67．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 68．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质．延长，交于点，根据已知证出是等边三角形，设，根据列出方程，即可求解． 【详解】解：延长，交于点， ，， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， 设， ，，， ， 解得， ． 地 城 考点11 等边三角形的性质和判定 69．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为，，得到是等边三角形，得出， 根据题意得到垂直平分，得到，即可得到答案． 【详解】解； ，， 是等边三角形， ， ，， 垂直平分， ， 故选：A． 70．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】先根据等边三角形性质得，，再根据得，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 71．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 72．（24-25八年级上·云南昆明·期末）已知：，点是平分线上的一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)如图1，若，连接，作于点，则和的数量关系是_____． (2)如图2，若，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，当，点在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)的形状是等边三角形．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义，角平分线的性质定理得到，，再证，得到，即可求解； （2）证明：如图所示，过点作于点，则，根据题意得到，根据四边形的内角和定理得到，可证，得到，根据等边三角形的判定即可求证； （3）根据题意可证，得到，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，点是平分线上的一点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是等边三角形，理由如下， 证明：如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵点是平分线上的一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （3）解：，理由如下， 证明：如图所示，过点作于点， ∵点是平分线上的一点，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 73．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图1，在等边中，D、E为边上的动点，且有，连接、，作点E关于的对称点F，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图2，连接交于点P，连接PE．若，在点D、E的运动过程中，当取得最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，利用即可证明 （2）连接，根据成轴对称的性质可得出，进而可得出，再根据平行线的判定定理即可得出答． （3）连接，证明为等边三角形，进一步得出，再得出当时，取得最小值，即取得最小值，根据根据含直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形 ∴， 在与中 ∴． （2）解：，理由如下： 连接，如图， ∵点E、F关于对称 ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． （3）解：连接， ∵垂直平分 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形 ∴ ∴ 即 ∴为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 当时，取得最小值，即取得最小值 此时，D、E两点重合， ∵ ∴ 在中， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，轴对称的性质，含30度直角三角形的性质，平行线的判定以及垂线段最短等线段，掌握这些形式是解题的关键． 74．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，已知为等边三角形，点为线段上一点，点为射线上一点，且． (1)如图甲，当点为线段的中点时，直接写出的度数为______； (2)如图乙，当点为线段上的任意一点时，求证：（提示：在上截取，连接）； (3)如图丙，当点在的延长线上时，猜想，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据为等边三角形，求得，根据等边三角形的性质可得，进而根据角的运算即可求解； （2）在上截取，连接，判定为等边三角形，再判定，即可求证； （3）过作交于点，根据题意判定为等边三角形，再判定，即可求解； 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ， 点为线段的中点， 为的角平分线， ， ， ； 故答案为： （2）证明：在上截取，连接， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：，理由如下： 过作交于点， ， ，， ， 为等边三角形， ， ，，， 由（2）知： ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 试卷第2页，共62页 试卷第1页，共57页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 11大高频考点概览 一、考点01轴对称图形的识别 二、考点02 垂直平分线的性质 三、考点03逆命题的判断 四、考点04画轴对称图形 五、考点05坐标的对称变化 六、考点06直角三角形斜边中线 七、考点07 等边对等角 八、考点08三线合一 九、考点09 等腰三角形的性质和判定 十、考点10含30度的直角三角形 十一、考点11 等边三角形的性质和判定 地 城 考点01 轴对称图形的识别 1．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，下面四种仪器的示意图中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（    ） A．禁止向左向右转弯 B．单行路 C．室内停车场 D．右侧变窄 3．（2024七年级下·全国·专题练习）体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（19-20八年级下·云南红河·期末）下面图形中是轴对称图形的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（22-23八年级下·云南西双版纳·期末）下列几何图形中，一定是轴对称图形的是（   ） A．直角三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．六边形 6．（24-25八年级上·云南大理·期末）下列四个汉字中是轴对称图形的是（ ） A．中 B．华 C．盛 D．世 地 城 考点02 垂直平分线的性质 7．（23-24七年级下·云南临沧·期末）如图，把长方形沿折叠，使得点落在边上的点处．若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（21-22八年级上·黑龙江·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点的位置，交于点F，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．（16-17七年级上·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与BC交于点G．若，则的度数为 ． 10．（12-13七年级下·江苏扬州·期中）如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1= ． 11．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 12．（11-12八年级上·湖南岳阳·期末）到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 13．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，若四边形的周长为18，，则的长为（   ） A．3 B．6 C．12 D．15 14．（21-22八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 逆命题的判断 15．（20-21八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 16．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是 ． 17．（21-22八年级上·云南昭通·期末）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 18．（21-22八年级上·云南昆明·期中）如图，的周长为26，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是 ． 19．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 地 城 考点04 画轴对称图形 20．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中的顶点在格点上． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是的对应点）； (2)求的面积． 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标______； (3)在y轴上找一点P，使得的值最小保留作图痕迹． 22．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，三个顶点坐标分别是． (1)请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)求出的面积； (3)在x轴上找出一点P，使点P到A，B两点的距离之和最小，在图中标出点P的位置并直接写出P点的坐标______． 23．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (2)求的面积． 24．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，已知网格上最小的正方形的边长为． (1)作关于轴对称的图形，并分别写出，，三点的坐标； (2)求的面积． 25．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 26．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，已知． (1)画出与关于轴对称的图形． (2)直接写出各顶点的坐标：（______），（______），（______） (3)求的面积． 地 城 考点05 坐标的对称变化 27．（24-25八年级上·云南红河·期末）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）点关于轴对称的点的坐标是 ． 29．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 30．（15-16八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）关于原点的对称点P′的坐标是 ． 31．（24-25八年级上·云南普洱·期末）平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是 ． 32．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知点和点关于轴对称，则的值为 ． 33．（24-25八年级上·云南昆明·期末）平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 34．（24-25八年级上·云南昆明·期末）已知点和点关于轴对称，则 ． 35．（24-25八年级上·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，则 ． 地 城 考点06 直角三角形斜边中线 36．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 37．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（   ）    A．3600 B．2400 C．1200 D．600 38．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，则的长度为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 39．（24-25七年级上·云南·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，分别在边上，分别以为折痕进行折叠并压平，点的对应点分别是点和点．甲同学的操作如图、其中 ；乙同学的操作如图、落在所在直线上；丙同学的操作如图，落在上，落在上． (1)图中的度数为 ； (2)求出图中的度数； (3)图中的度数为 ． 40．（24-25八年级下·云南德宏·期末）命题“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等”的逆命题是 ． 41．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，在中，，点是斜边的中点，已知，则的长是 ． 地 城 考点07 等边对等角 42．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，直线l是线段的垂直平分线，交于点D，则的度数是（　　） A． B． C． D． 43．（14-15八年级上·江苏南通·期中）如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 44．（17-18八年级上·湖北荆州·期中）如图，已知在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级上·云南昆明·期末）大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（2009·山东淄博·中考真题）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　   ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 47．（24-25八年级上·上海·月考）如图，垂直平分，垂直平分，若，则 ． 48．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为 ． 地 城 考点08 三线合一 49．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（    ） A．射线是的平分线 B．是等腰三角形 C．C、两点关于所在直线对称 D．、两点关于所在直线对称 50．（2018九年级·全国·专题练习）如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 51．（22-23八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 52．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ． 53．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，是边上的高，是边上的中线，、交于点，若，求的度数． 地 城 考点09 等腰三角形的性质和判定 54．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 55．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，M是内的一点，且，以为直角边作等腰直角，使，交线段于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． (3)当为多少度时，是等腰三角形？ 56．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，，垂直平分，交于点 (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 57．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 58．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，． (1)当，求证：； (2)当时，是否一定为，如果一定，给出证明；如果不一定，请说明理由． 地 城 考点10 含30度的直角三角形 59．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，，，则（   ） A． B．10 C．15 D．20 60．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 61．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 62．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．50米 B．100米 C．150米 D．200米 63．（21-22八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 64．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 65．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离长为（   ） A．12米 B．6米 C．3米 D．1.5米 66．（17-18八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 67．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 68．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求的长． 地 城 考点11 等边三角形的性质和判定 69．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 70．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 71．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 72．（24-25八年级上·云南昆明·期末）已知：，点是平分线上的一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)如图1，若，连接，作于点，则和的数量关系是_____． (2)如图2，若，连接，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，当，点在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 73．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图1，在等边中，D、E为边上的动点，且有，连接、，作点E关于的对称点F，连接． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并证明你的结论； (3)如图2，连接交于点P，连接PE．若，在点D、E的运动过程中，当取得最小值时，求的长． 74．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）如图，已知为等边三角形，点为线段上一点，点为射线上一点，且． (1)如图甲，当点为线段的中点时，直接写出的度数为______； (2)如图乙，当点为线段上的任意一点时，求证：（提示：在上截取，连接）； (3)如图丙，当点在的延长线上时，猜想，，三者之间的数量关系，并说明理由． 试卷第20页，共21页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $