18.5(第1课时)分式方程及其解法（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 18.5(第1课时) 第十八章 分式 分式方程及其解法 情境引入 QING JING YIN RU 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它以最大航速逆流航行60千米所用的时间，与以最大航速顺流航行90千米所用时间相等，江水的流速为多少？若江水的流速为v千米/时，根据题意可列方程为 . 这个方程是我们以前学过的方程吗？ 它与一元一次方程有什么区别？ 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 你能再写出几个分式方程吗？　　 　　 　　我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 注 意 三角形应满足以下两个条件 此方程的分母中含有未知数 v， 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 观察分母中是否含未知数 判断下列方程是不是分式方程： (1) (2) (3) (4) 解： (1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数． (2)是分式方程，因为分母中含有未知数． (3)是分式方程，因为分母中含有未知数． (4)是分式方程，因为分母中含有未知数． 分式方程 整式方程 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 特点分析 ①方程中含有分母；②分母中含有未知数． 1 根本区别 分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据． 2 有理方程 整式方程和分式方程统称为有理方程． 3 易错警示 分式方程中的分母含有未知数，而不是一般的字母参数，如π． 4 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ （5）解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 提示 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 方程的公分母是 解：方程两边同乘 ，得 解得 检验：将 代入原分式方程中， 左边 = 20 = 右边， 因此 是原分式方程的解. 是原分式方程的解吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 是原分式方程的解吗？ 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 所以，原分式方程无解. 因此x=1不是原分式方程的解. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得 整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 当x=0.4时，1.2x≠0，分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 分式方程要检验 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 4. 写出原方程的解. 2. 解这个整式方程； 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 解分式方程的步骤 检 解 化 答 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 公分母是 解：方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 解方程:(1) 公分母是2 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 解方程:(2) 解：方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 解方程: 解：(1)方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 解：(2)方程两边同乘，得 解得 检验：当时，≠0 所以，原分式方程的解为. 解分式方程的步骤 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =m 检验 x = m 是分式 方程的解 x = m 不是 分式方程的解 当 x = m 时 最简公分母是 否为零？ 否 是 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 把a,b当成常数 解关于x 的方程 （ b ≠ 1）. 　　解：方程两边同乘x-a，得 a+b（x-a）= （x-a） 去括号，得 a+bx-ab =x-a 移项、合并同类项，得 （b-1）x = ab-2a 　∴　 检验：当 时，∵ b ≠ 1，∴b-1 ≠0， x-a ≠ 0，所以 是原分式方程的解． 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 先解出分式方程的根 已知关于x 的方程 的根是负数，求a的取值范围. 解：(1)方程两边同乘，得 解得 ∵原方程的根是负数， ∴ ∴ 为什么 ？ 求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 分式方程有增根，即对应整式方程有解但其解使最简公分母为 0 ． 已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. 解：去分母，得3x+3-(x-1)=x2+kx， 整理，得x2+(k-2)x-4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得-4=0， 所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5， 所以k=5时方程有增根x=1. 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 分式方程无解，不但包括分式方程化为整式方程后，所得整式方程无解的情况，还包括整式方程有解但其解使最简公分母为 0 的情况． 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ① 当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ② 整式方程的解使分式方程的最简公分母为零， 即x＝2 或 x＝－2. 当 x＝2 时，(m－1)×2＝－10，解得 m＝－4； 当 x＝－2 时，(m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. ∴ m 的值是 1，－4 或 6. 课堂小结 QING JING YIN RU 定义 (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 (2) 去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用) (3) 忘记检验 分式方程 误区 分母中含未知数的方程叫做分式方程 步骤 (去分母法) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中，看是否为零) 当堂练习 QING JING YIN RU 　1.下列说法中，正确的是(　　) A．分母中含有未知数的式子就是分式方程 B．含有字母的方程叫做分式方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分式方程就是含有分母的方程 C 2.下列关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是(　　) 　 A.a<2 　 B.a<2且a≠1 C. a<-2 D.a<-2且a≠-3 B 当堂练习 QING JING YIN RU A.2－（2－x）=1 B.2+（2－x）=1 C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1） 3.把分式方程 两边同乘（x－1），约去分母后，得（ ） D 4.分式方程 的解是（ ） A. x=1 B. x =－1 C. x=－14 D.无解 D 当堂练习 QING JING YIN RU 5.有下列方程： 其中是分式方程的是________．（填序号） 6.， 则x的值为_________． 7.关于x的分式方程无解，则m的值是______． 2 当堂练习 QING JING YIN RU 8.解下列分式方程： (1)； (2)． （1）解：方程两边同时乘以最简公分母得∶ 解得 检验：当 时，， ∴是原方程的的解． 当堂练习 QING JING YIN RU （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得 ， ， ， ． 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 8.解下列分式方程： (1)； (2)． 当堂练习 QING JING YIN RU 9.若关于的分式方程的解是正数，的取值范围是. 解：， 去分母，得1-m-(x-1)=-2， 去括号，得1-m-x+1=-2， 移项，合并得x=4-m， ∵方程的解为正数， ∴4-m>0且4-m 1， 解得m<4且. 当堂练习 QING JING YIN RU 10.若关于的方程有增根，求实数的值． 解：该方程的最简公分母是x(x+1)， 该方程的增根为或， 方程两边同乘以x(x+1)得， 2mx-(m+1)=x+1， 当时， 2m×0-(m+1)=0+1， 解得； 当时， 2m×(-1)-(m+1)=-1+1， ， 实数的值为或． 当堂练习 QING JING YIN RU 11.若关于x的分式方程无解，求m的值？ 解：去分母，得：， 移项合并，得：， 当时，即时，该方程无解； 当原方程有增根时，分母，增根， 将代入整式方程， 得：， 解得， 即当时，原分式方程有增根，原方程也无解． ∴若原分式方程无解，则或． $