18.5(第1课时)分式方程及其解法（分层作业，4大题型）数学人教版2024八年级上册

18.5(第1课时)分式方程及其解法（解析版） 目 录 类型一、分式方程的定义 1 类型二、解分式方程 2 类型三、根据方程的解的情况求值 5 类型四、分式方程无解问题 6 类型一、分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 3．下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 4．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 5．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 6．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 7．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 类型二、解分式方程 8．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 9．方程的解的情况是（    ） A． B． C． D． 10．题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 11．我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 12．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 13．方程的解为（   ） A． B． C． D． 14．分式方程的解是（   ） A．0 B．2 C．3 D．无解 15．方程（    ） A．解为 B．无解 C．解为任何实数 D．解为的任何实数 16．方程的解为 ． 17．方程的解是 ． 18．方程的解为 ． 19．分式方程的解是 ． 20．分式方程的解是 ． 21．当 时，分式的值比分式的值大1． 22．对于两个不相等的实数，，规定：表示，中较小值，如．按照这个规定，方程的解为 ． 23．方程的解是 ． 24．分式方程的解是 ． 25．分式方程的解为 ． 26．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 27．解下列方程： (1)； (2)． 28．解分式方程： (1) (2) 29．解方程： (1)； (2)． 30．解分式方程 (1) (2) 31．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．解分式方程： (1) (2)． 34．解方程： (1)； (2)． 35．解分式方程： (1)； (2)． 36．解方程： (1) (2) 37．解方程 (1)； (2)． 类型三、根据方程的解的情况求值 38．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 39．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 40．若关于x的分式方程的解是非负数，则a需满足的条件是（   ） A．.且 B．.且 C． D． 41．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 42．关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 43．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 44．已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 45．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 46．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 47．关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 48．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 49．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 50．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 类型四、分式方程无解问题 51．若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 52．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 53．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 54．已知关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．4或 B．或4 C．或 D．或4或 55．关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 56．若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 57．关于的方程无解，则的值为（） A．0或1 B．1 C．0 D．3 58．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 59．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 60．如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 61．若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 62．关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 63．若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．0 B． C．1或 D．1 64．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 65．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 66．已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3或或 D．5或或 67．若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 68．若关于 x 的分式方程无解，则 k 的值为 ． 69．若分式方程无解，则k的值是 ． 70．已知关于的分式方程有增根，则增根是 ． 71．若关于的方程有增根，则 ． 72．若关于的方程有增根，则这个增根是 ． 73．已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 1．关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 2．阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 4．若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 5．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为 ． 1．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 2．若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 3．观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为 ． 4．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 5．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 6．我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 7．观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． (1)若为正整数，猜想_____； (2)计算：_____； (3)解关于的分式方程：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.5(第1课时)分式方程及其解法（解析版） 目 录 类型一、分式方程的定义 1 类型二、解分式方程 3 类型三、根据方程的解的情况求值 22 类型四、分式方程无解问题 30 类型一、分式方程的定义 1．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 3．下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 4．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 5．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式方程的是 ．（请填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程是分母中含有未知数的方程这一概念是解题的关键．根据分式方程的定义，判断每个方程是否为分式方程，即方程中是否含有分母且分母里含有未知数． 【详解】解：方程①，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程②，分母分别为、、，均不含有未知数，不是分式方程； 方程③，分母为和，含有未知数，是分式方程； 方程④，分母为，含有未知数，是分式方程； 方程⑤，分母为和，是常数，不含有未知数，不是分式方程； 方程⑥，分母为2，不含有未知数，不是分式方程． 故答案为：①③④． 6．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 7．在下列方程中，关于的分式方程的个数有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：①、⑤不是等式，故不符合题意； ②，⑥，是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意； ③，④是分式方程，故符合题意； 故选：A． 类型二、解分式方程 8．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 9．方程的解的情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程的能力，观察式子确定最简公分母为．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：∵ ，且分母 ，即， ∴ 两边同乘，得， ∴ ， 经检验，时分母，符合题意． ∴ 方程的解为 ． 故选D． 10．题目：“已知关于的分式方程无解，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解需考虑整式方程无解和增根两种情况，缺一不可． 根据分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解（矛盾），二是解出的根使分母为零（增根）．通过化简方程，分别讨论m的值． 【详解】解：∵ 去分母，， 整理得： ， 情况一：当 ，即 时，无解． 情况二：当 时， ，若 ，则分母为零，无解，此时 ，解得 ∴ 当 时，方程有增根 ，无解． 综上， 或 时，方程无解． 甲答 ，乙答 ，两者合在一起才完整． 故选C． 11．我们规定一种新运算“★”，其意义为，若，则x的值为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了新运算的定义、解分式方程等知识，根据题意新定义运算将方程转化为分式方程并求解，检验即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又 ∵， ∴ ，解得， 经检验，是该方程的解， ∴x的值为． 故选：C． 12．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 13．方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并验证解是否使分母为零即可． 【详解】解：， 去分母得：， 即 ， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C． 14．分式方程的解是（   ） A．0 B．2 C．3 D．无解 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握知识点是解题的关键． 根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得 解得， 经检验，不是原方程的解，原方程无解． 故选D． 15．方程（    ） A．解为 B．无解 C．解为任何实数 D．解为的任何实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程解法，解分式方程需考虑分母不为零的条件，方程两边分母相同，直接比较分子，但所得解使分母为零，故无解． 【详解】∵ 分母 ，即 ， 又 ∵ ， ∴ 两边同乘 （），得 ， 但 与 矛盾， ∴ 原方程无解． 故选B． 16．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 17．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 检验：当时，分母 ， 所以原方程的解为， 故答案为：． 18．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解题的关键，最后要记得检验．先去分母化成一元一次方程，再解整式方程最后再检验即可． 【详解】解： ， 去分母，得 ， 即 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当 时，分母 且 ， 所以原方程的解为 ． 19．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程． 先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得． 经检验，当 时，分母， 所以原方程的解为． 故答案为：． 20．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；方程两边同乘最简公分母化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得． 展开得． 移项得，即． 检验：当时，分母，，所以是原方程的解． 故答案为：． 21．当 时，分式的值比分式的值大1． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据题意，列出分式方程，通过去分母转化为整式方程，求解后检验分母不为零即可． 【详解】解：根据题意，得方程：， ， ， ， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 22．对于两个不相等的实数，，规定：表示，中较小值，如．按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，实数大小比较． 先根据定义求出 ，将方程转化为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：由规定，， 原方程化为：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为： ． 23．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能正确提公因式，找到公分母是解题关键． 通过观察方程分母，提取公因式后找到公分母，然后两边同乘公分母，将原方程转化为整式方程求解，要注意检验分母不为零． 【详解】解：， 方程可化为 ， 公分母为 ，且 ， 两边同乘 ，可得， 移项得：， ， 检验：当 时，分母 ，， 故是分式方程的解． 故答案为： 24．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程，再检验解是否使分母为零． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母 ，得： 化简得： 移项，合并同类项得： 解得： 检验：当 时，分母， 故原方程的解为 ． 25．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 移项得 ， 两边同乘 得 ， 即 ， 解得 ， 检验：当 时，分母 ，满足条件， 原分式方程的解为， 故答案为：． 26．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 （1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化成整式方程是解题关键，同时不要忘记验根． （1）两边同乘以最简公分母后，按照整式方程的解法继续求解，检验后得到方程的解； （2）两边同乘以最简公分母后，按照整式方程的解法继续求解，检验后得到方程的解； （3）两边同乘以最简公分母后，按照整式方程的解法继续求解，检验后得到方程的解； （4）两边同乘以最简公分母后，按照整式方程的解法继续求解，检验后得到方程的解． 【详解】（1）， 两边同乘以得，， 解得，， 经检验，是原方程的解； （2）， 两边同乘以得，， 解得，， 经检验，是原方程的解； （3）， 两边同乘以得，， 解得，， 经检验，是原方程的解； （4）， 两边同乘以得，， 解得，， 经检验，是原方程的解． 27．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 即， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 28．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) 无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，注意解分式方程最后要进行检验． （1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，时，， 原方程无解； （2）解：， ， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得， 经检验，时，， ∴原方程的解为． 29．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后并检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后并检验即可． 【详解】（1）解：， 方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）解：， 方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 30．解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的求解，解决本题的关键是将分式方程化为一元一次方程求解． （1）通过观察分母关系，将方程化简后求解； （2）通过寻找公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解． 【详解】（1）解： ， 方程化为， 去分母可得， 解得， 经检验，是方程的解， 故方程的解为； （2）解：， ∵，且 ，， 两边同乘以，得 ， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 解得 ， 经检验，是方程的解， 故方程的解为． 31．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)无解； (4)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （2）解： ， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （3）解： ， 检验：当时，， ∴分式方程无解； （4）解： ， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：． 32．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)无解； (4)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 【详解】（1）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （2）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （3）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解； （4）解： 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：． 33．解分式方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），解题关键是掌握解分式方程并能熟练运用求解． （1）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根； （2）去分母，移项，合并同类项，即可求解，再检验根． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即， 经检验：是原分式方程的解； （2）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验：是原分式方程的解． 34．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母，将原方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验即可； （2）先去分母，将原方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验即可． 【详解】（1）解： 检验，当时， ∴ （2）解： 检验，当时，，即是增根 ∴原方程无解 35．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)分式方程无解 (2) 【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，然后求解，最后检验即可； （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】（1） 去分母得， 解得 检验：当时，最简公分母 ∴原方程无解； （2） 去分母得， 解得 检验：将时，最简公分母 ∴原方程的解为． 36．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 37．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【详解】（1）解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． （2）解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 类型三、根据方程的解的情况求值 38．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 39．已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键． 通过解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵， 方程两边乘，得 ， ， ， ∴ ． ∵ 解为非负数， ∴ ，即 ， ∴ ． 又 ∵ 分母 ， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上， 且 ． 故选：A． 40．若关于x的分式方程的解是非负数，则a需满足的条件是（   ） A．.且 B．.且 C． D． 【答案】A 【详解】∵原方程，且分母不为零， ∴且． 化简左边：， ∴方程化为， 两边同乘（）：， 整理得：， 若，则，无解， 若，则． ∵解为非负数， ∴（因为），即， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即，解得， ∴且． 故选：A． 41．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，先解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 42．关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题． 首先解分式方程得到 ，根据有负整数解且 ，得 ， 为偶数且 ．再解不等式组，由无解条件得 ．综合得 或 ，求和即可． 【详解】解：， 去分母得 ， 化简得， ∴， 即 ． ∵方程有负整数解且， ∴ 且为整数，且 ， ∴， 为偶数，且 ． ∵不等式组 ， 解第①不等式，得， 解第②不等式得 ∵不等式组无解， ∴， 即 ， ∴（ 为整数）． 综合得 为偶数， 且 ， ∴ 或 ． ∴和为． 故选：C． 43．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，注意解分式方程时要保证分母不能是0是解题的关键．通过求解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是正数， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 综上，且． 故选：C． 44．已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】该题考查了分式方程，先解分式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非正数（）和分母不为零（）的条件，求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 两边同乘公分母，得：， 展开并简化：， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴，即，解得：， ∵分母不为零，∴且， 当时，，解得， 当时，，解得， 但，故自动满足，只需， ∴且， 故选：C． 45．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且． 故选：A． 46．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 47．关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，通过解分式方程得到的表达式，根据解为非正数且分母不为零的条件，列出不等式求解． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 48．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 由于解为非正数，即， 所以， 即， 又因为分母且，即且， 当时，，解得，但此时，不符合非正数条件； 当时，，解得，但此时分母，分式无意义， 因此需排除， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 49．关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，含字母系数的分式方程的解：先去分母，再移项，合并同类项，用含有a的代数式表示x，然后根据，且，求出解即可． 【详解】解：即， 去分母，得， 移项，合并同类项，得． ∵这个分式方程的解是正数， ∴，且， 即，且，     解得，且． 故答案为：且． 50．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 类型四、分式方程无解问题 51．若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 52．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：原方程， 又， ， 方程化为，即， 两边同乘得，， 整理得，， ， ， 当时，， 方程无解的情况： ①当时，方程化为，即，矛盾，无解； ②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，， 综上，或时方程无解． 故选：． 53．关于的分式方程无解，则实数的取值是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解为增根（使分母为零）或化简后矛盾． 首先化简方程，解出x关于m的表达式，然后检查x的取值是否使分母为零． 【详解】解：方程两边乘得：， 解得， 由分式方程无解，得到， 解得． 故选：D． 54．已知关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．4或 B．或4 C．或 D．或4或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的无解问题， 分式方程无解的情况包括：解出的根为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解（如系数为零导致矛盾）．先找公分母化简方程，再根据方程无解讨论m的取值． 【详解】解：， 两边同乘得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， 或， ①当时，； ②当时，，此时或， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，或或． 故选：D． 55．关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 移项并合并同类项可得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴当，即时，原分式方程无解； 当时，， 当，即时，原分式方程无解； 综上所述，n的值为1或， 故选：C． 56．若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出； 【详解】解：∵ 原方程：，且 ， ∴ 公分母为 ； 两边乘 得： ， 即 ， 整理得：； 增根为 或 ，代入方程： 当 时：，解得 ； 当 时：，即 ，解得 ； 故选：D 57．关于的方程无解，则的值为（） A．0或1 B．1 C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的情况． 先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当整式方程有解，分式方程无解时，即可求解． 【详解】解：， 分式方程两边同乘，得， 整理得：， 当，时，整式方程无解，原分式方程无解； 当时，， ∵原分式方程无解， ∴，解得． 综上所述，方程无解时，或． 故选：A． 58．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 59．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．原分式方程可解得，若此分式方程无解即这个根是增根，据此解答即可． 【详解】解： 两边同乘公分母 ： ， ， 原分式方程无解即为增根， 即 或 ， 当时，则 ，解得 ； 当时，则，解得 ． ∴ 或 时方程无解． 故选： D． 60．如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟知方程无解的情况通常发生在解出的根使分母为零（即增根）时． 先化简方程，利用分母关系，求解关于的表达式，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴ ， 两边乘以（），得， 解得：， ∴ ， 当时，分母为零，原方程无解， 令，则， 解得：． 故当 时，方程无解． 故选：B． 61．若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，根据分式方程解的情况求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程矛盾（系数为零但常数项不为零），二是解出的根是增根（分母为零）． 【详解】解：原方程：． 去分母，得， 整理得：． 情况一：方程矛盾无解． 当且， 即． 情况二：解为增根． 代入方程：， 解得：． 当时，解出，为增根． 综上，或． 故选：C． 62．关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 63．若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．0 B． C．1或 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解．先将分式方程化为整式方程，得到，当解使分母 时，即，代入得，此时原方程无解，其他情况下方程均有解，故，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵原方程 ， ∴ 方程化为， 即 ∴， 整理得 ， ∴ ， 即 当时，分母为零，方程无解， 代入得，解得 ∴ 当时，方程无解． 故选：D 64．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可． 【详解】解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 65．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 66．已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3或或 D．5或或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，化分式方程为整式方程是解题的关键．原分式方程无解有两种情况，由分式方程化为的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，据此解答即可． 【详解】解： 方程两边同乘以得： ， 若，即时，方程无解，故原方程也无解； 若有解，但此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解， 即， 解得或， 综上所述，或或时，原方程无解． 故选：C． 67．若关于的分式方程无解，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．根据掌握分式方程无解的条件，即可求解． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：， 原方程无解， ， ， 故选：C． 68．若关于 x 的分式方程无解，则 k 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解方程无解的含义、掌握求解的方法是关键．将分式方程化为整式方程，解出的表达式，令其等于分母为零的值，从而求出． 【详解】解：方程，两边同乘（），得， 整理得， 解得， 当时，分母为零，方程无解，故， 解得． 故答案为：． 69．若分式方程无解，则k的值是 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值． 【详解】解：原方程两边同乘（需），得， 化简得，即， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根，则， 解得， 故或时方程无解， 故答案为：1或2． 70．已知关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】考查了分式方程的增根．分式方程的增根是使分母为零的根．根据分式方程有增根，可得，求出的值即可． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴增根为． 故答案为： 71．若关于的方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 故答案为：1． 72．若关于的方程有增根，则这个增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是掌握分式方程无解的意义并能熟练运用求解． 对于方程，右边分母可因式分解为，因此最简公分母为．令最简公分母为0，解得或．但根据题意及常见增根情况，增根为． 【详解】解：方程， 方程两边同乘， 得． 因为原方程有增根， 所以增根是使最简公分母的根， 即或． 当是增根时，需满足整式方程， 代入得， 解得． 故可以是原方程的增根． 当是增根时，需满足整式方程， 代入得，即， 此式不成立．故不可能是原方程的增根． 综上，这个增根是1． 故答案为：1． 73．已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)或6或1 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先把代入分式方程，再方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘，得出①，整理后得出②，再分别把，，代入①求出m，由②得出当时，方程无解，最后代入答案即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； （2）解：， 方程两边都乘，得①， 整理得②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 1．关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，解分式方程 ，得到 ，但需满足分母不为零，即 ，从而 ，然后根据各选项条件判断． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 当 时，方程无解， 对于选项A：当 时，，方程有解 ，且 ，故解为负数，A正确，符合题意； 对于选项B：当 时方程无解，故B错误，不符合题意； 对于选项C：当 时，若 无解，故解不一定为正数，C错误，不符合题意； 对于选项D：以上A正确，故不符合题意； 故选：A． 2．阅读所给的材料．并解决问题： 3 0 分式的值（其中为常数） 无意义 0 4 则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值求法是解题的关键． 根据分式有意义的条件可求出的值，将代入求出的值，进而可求的值． 【详解】解：∵时分式无意义， ∴， 即， 将，代入得：， 解得：， 将，代入，则分式为：． 将代入得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 将代入得：， 解得：， 则C结论错误， 故选：C． 3．题目：当时，定义一种新运算： 例：，．若，则的值为（） A． B． C．或0 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，解分式方程；根据定义，分和两种情况计算和，代入方程求解，并验证是否满足大小关系． 【详解】，且， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， 即， 解得， 但，与矛盾，无解． 当时， ，， ， 即， 解得， 且，满足条件． ， 故选：D． 4．若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，根据分式方程解的情况求字母的值；先去分母化简分式方程，再求解关于的方程，根据为整数且分母不为零的条件，确定的取值，最后求和. 【详解】解：， ， 两边同乘（）， ， ， 整理得：， ， ∵为整数且， ∴为的约数，即或或或， 当即，则， 当即，则（舍去）， 当即，则， 当即，则， ∴或4或0， 其和为. 故选：D. 5．若关于x的不等式组有三个整数解，且关于y的分式方程的解是负整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求不等式组的解集、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先解不等式组，根据有三个整数解的条件，确定a的取值范围为，且a为整数，即a可能为7、8、9，然后解分式方程，得到y关于a的表达式，根据分式方程的解为负整数且分母不为零的条件，分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组有三个整数解， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， 去分母，得， 整理得， 解得， 当时，，方程的解为正整数，不符合题意； 当时，无意义，不符合题意； 当时，，方程的解为负整数，符合题意； 故满足条件的整数a的值为9． 故答案为：9． 1．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 2．若实数使关于的不等式组，有解且至多有3个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为（   ） A． B．7 C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多个整数解，求得的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有个整数解， 所以， 解得：， ， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 当时，， ∵是分式方程的增根，此时分式方程无解， ∴，解得：， ∵方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， 又∵且，， ∴或或， ∴， 故选：B． 3．观察下面的变形规律：，，，， 解答下面问题：若，则的值为 ． 【答案】998 【分析】本题考查了规律题—数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式； 根据给定的变形规律，将求和中的每一项拆分为两个分数的差，通过（裂项相消法）化简求和式，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 由方程得： 经检验， 满足分母不为零的条件； 故答案为： 998． 4．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 5．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 6．我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，、，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：可化为， 则， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，的两个解分别为，， 则、， ； （3）解：可化为， 设，则原方程可化为， 令的解为、， 由于可得，， 则、， ， 由于， 则， 解得、， ∵， 即、， 则、， 因此，． 7．观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． (1)若为正整数，猜想_____； (2)计算：_____； (3)解关于的分式方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律类问题，发现数列规律是解题的关键． （1）根据已知的算式进行归纳即可解答； （2）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并即可解答； （3）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 经检验，是原分式方程的解． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $