18.5 第1课时 分式方程及其解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 第十八章 分式 人教版八年级(上) 1 1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. (重点) 2. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. (难点) 3. 在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯. 素养目标 1.什么是方程？ 指含有未知数的等式. 2.我们已学过的方程有哪些？举例说明. 我们所学的方程，分母中都不含未知数，所以我们把这类方程叫作整式方程，例如一元一次方程，二元一次方程. 复习导入 情境探究： 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 90 km所用时间与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？ ① 分母中含有未知数． 问题：仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 探究点一：分式方程的概念 新知探究 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程. 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 动手写几个分式方程吧！ 分式方程 探究点一：分式方程的概念 新知探究 【针对训练】 1. 下列式子中，属于分式方程的是________； 属于整式方程的是_______. ②③ ① 探究点一：分式方程的概念 新知探究 探究点二：分式方程的解法 解：去分母得 2×(2＋3x)－6×2＝x＋2 4＋6x－6×2＝x＋2 5x＝10 去括号得 移项合并得 解得 x＝2 类比解整式方程 如何转化？ 去分母 探究：如何解分式方程 动手解一解！ 新知探究 【合作探究】 方程的最简公分母是：(30 + v)(30 - v). 解：方程两边同乘 (30 + v)(30 - v)，得 90(30 - v) = 60(30 + v)， 解得 v = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 检验：将 v = 6 代入①中，左边 = ，右边 = ， 这时左、右两边的值相等，因此 v = 6 是分式方程 ① 的解. ① 新知探究 【归纳总结】 解分式方程的基本思路： 整式方程 去分母 分式方程 (方程两边同乘 最简公分母) 新知探究 【合作探究】下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 新知探究 检验： x = 5 代入 分式无意义 x - 5 = 0 x2 - 25 = 0 分母 分式方程无解 x = 5 是整式方程的解 不是分式方程的解 新知探究 【想一想】 上面两个分式方程中，为什么 ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 新知探究 【对比探究】 x + 5 = 10 两边同乘(x + 5)(x - 5) 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 区别 ？ 整式方程的解是否使最简公分母为0 ① ② 新知探究 用图框的方式总结为： 当 x = m 时 最简公分母是 否为零 x = m 检验 x = m 是分式 方程的解 否 x = m 不是 分式方程的解 是 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验. 【归纳总结】 新知探究 例1 解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. ①将分式方程转化为整式方程 ②求整式方程的解 ③把解代入到最简公分母中，看是否为零 新知探究 例2 解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. ①化整式方程 ②求解 ③检验 新知探究 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得 4(x + 1) = 2x + 6. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 【针对训练】1. 解方程： . 新知探究 2. 如果关于 x 的方程 的解是无解，则 a 的值为_______. 解：将方程两边同乘 (x－2) 得 ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2. 因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2， 所以 a＝1 或 2. 1 或 2 新知探究 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 去分母 整式方程 x = m 解整式方程 x = m 是分式 方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 x = m 不是分式方程的解 检验 目标 课堂小结 1. 下列方程中，不是分式方程的是(　A　) A. ＝ B. x＋ ＝2 C. －5x＝ D. ＝7 A 当堂反馈 2. 解方程： (1) ＝ ； 书写通关 解：去分母，得 ⁠， 解得 ⁠. 检验，当x＝ 时， ≠0. ∴原分式方程的解为 ⁠. 4x＝6＋x　 x＝2　 2　 4(6＋x)　 x＝2　 当堂反馈 (2) ＝ ； 解：去分母得2x－2＝x＋3，解得x＝5. 经检验，x＝5是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝5. 解：去分母得2x－2＝x＋3，解得x＝5. 经检验，x＝5是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝5. 当堂反馈 (3) ＝ －3； 易错：常数项不要漏乘最简公分母. 解：去分母得1＝x－1－3(x－2)， 解：去分母得1＝x－1－3(x－2)， 解得x＝2. 检验：当x＝2时，x－2＝0， ∴x＝2不是方程的解. ∴原分式方程无解. 当堂反馈 (4) ＋1＝ ； 解：去分母得－x2＋x2－4＝x－2， 解：去分母得－x2＋x2－4＝x－2， 解得x＝－2. 检验：当x＝－2时，4－x2＝0， ∴x＝－2不是原方程的解. ∴原分式方程无解. 当堂反馈 (5) ＝ － . 解：去分母得x＋5＝5x－3(x－1)，解得x＝2. 经检验，x＝2是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝2. 解：去分母得x＋5＝5x－3(x－1)，解得x＝2. 经检验，x＝2是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝2. 当堂反馈 $