第04讲 二次根式（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学讲义聚焦二次根式中考核心考点，涵盖概念、性质与化简、运算等内容，构建“考点深解-命题突破-难点攻坚-练测提能”复习体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破多个限制条件取值范围等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料亮点在于12类典型题型分类突破与分层练习设计，如通过“二次根式与数轴结合”题型培养几何直观，借助“分母有理化规律探究”发展推理意识，配合限时测试与即时反馈，能在有限时间内提升学生运算能力，助力教师精准把控复习节奏。

第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1二次根式的相关概念 考点2二次根式的性质与化简 考点3二次根式运算 命题突破👉破解常考题型 题型1二次根式有意义的条件 题型2 与二次根式有关的开放性试题 题型3 利用二次根式的性质化简 题型4 二次根式与数轴 题型5 应用乘法公式求二次根式的值 题型6 最简二次根式的判断 题型7 分母有理化 题型8 二次根式的混合运算 题型9 二次根式估值 题型10 与二次根式有关的新定义问题 题型11 与二次根式有关的规律探究 题型12 二次根式的应用 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 含多个限制条件的取值范围 难点2含绝对值的二次根式化简 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 二次根式的相关概念 1.二次根式 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有意义的条件分两种情况： （1）一般情况（在分子上），被开方数为非负数，即a≥0 （2）特殊情况（在分母上），被开方数为正数（分母不能为 0），即a>0。 1.忽略分母含二次根式的情况，误把条件写成 a≥0； 2.多个二次根式组合时，需保证每个被开方数都满足条件（取各条件的公共范围） ◇考点 2 二次根式的性质与化简 二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： ◇考点 3 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则： 二次根式的乘法法则的推广 2.二次根式的除法 除法法则： 3.最简二次根式 1. 概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 4.二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 5.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 6.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 二次根式混合运算易错点： (1)化简不彻底：未将根式化为最简 (2)同类根式错合并 (3)乘法公式误用 (4)运算顺序混乱 (5)分母有理化失误 (6)符号处理不当 (7)隐含条件忽略 ◇题型 1 二次根式有意义的条件 典例1（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ， ， 故选：D． 典例2（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 解｜题｜技｜巧 （1）一般情况（在分子上），被开方数为非负数，即a≥0 （2）特殊情况（在分母上），被开方数为正数（分母不能为 0），即a>0。 变式1（2025·江苏连云港·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：D． 变式2（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴使代数式有意义的整数有，，0，1． 共有4个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单． ◇题型 2 与二次根式有关的开放性试题 典例1（2025·山西吕梁·一模）写出一个能与合并的实数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，根据二次根式的性质化简，能熟记同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式）是解此题的关键．根据同类二次根式的定义得出答案即可． 【详解】解：， 能与合并的实数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1（2024·江苏无锡·一模）请写出的一个同类二次根式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解本题的关键．利用同类二次根式定义写出答案即可． 【详解】的同类根式有、…（答案不唯一） 故答案为： ． 变式2（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ． 【答案】4或7或8 【提示】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值． 【详解】解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数 ∴为4或7或8 故答案为：4或7或8． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． ◇题型 3 利用二次根式的性质化简 典例1（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 解｜题｜技｜巧 (1)分解被开方数拆成：平方数（式）× 非平方数（式）；若含分母，保持分数形式。 (2)拆分根式提因数：用积的算术平方根性质拆分，平方数（式）的平方根提至根号外 (3)分母有理:（若有分母）分子分母同乘分母的根式，消去分母根号，化为最简分数形式。 (4)处理绝对值（含²时）:用²=∣a∣，根据a的取值范围去绝对值符号 (5)检验:确认结果是最简二次根式. 变式1（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 变式2（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． ◇题型 4 二次根式与数轴 典例1（2025·山东威海·一模）在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减，解题的关键是根据题意列出算式． 先根据题意，列出算式，再计算． 【详解】解：∵在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为， ∴点表示的数是． 故答案为：． 变式1（2025·河北邯郸·三模）如图，的值在数轴上对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的乘法，无理数的估算，利用二次根式的乘法法则计算可得，估算出得到，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值在数轴上对应的点可能是点， 故选：B． ◇题型 5 应用乘法公式求二次根式的值 典例1（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 典例2（2025·上海徐汇·二模）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：将代入得： ． 故答案为：． 变式1（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2（23-24八年级下·湖南湘西·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】22 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式加法和乘法的运算，代数式求值，解题的关键是掌握平方差公式并正确计算． 首先得到，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ◇题型 6 最简二次根式的判断 典例1（2025·甘肃定西·一模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选；A． 变式1（2025·广西钦州·一模）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 变式2（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． ◇题型 7 分母有理化 典例1（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式1（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2（2024·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：① ；② 等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． ◇题型 8 二次根式的混合运算 典例1（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 解｜题｜技｜巧 （1）化简根式：将所有二次根式化为最简二次根式 （2）计算乘方：用乘法公式（完全平方、平方差）计算 （3）计算乘除： （3）计算加减：合并同类二次根式（被开方数相同的最简根式），系数相加减，根式部分不变 （4）检验结果：确保最终结果是最简二次根式 变式1（2024·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ． 变式2（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解： ． 变式3（2023·甘肃武威·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键． ◇题型 9 二次根式估值 典例1（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 变式1（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 变式2（2025·重庆·二模）已知，则实数m的范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据的近似值计算的值，即得答案． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故选：B． 变式3（2025·重庆·一模）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算、无理数的估算，先根据二次根式的运算法则得到，再估算出的范围即可求解． 【详解】解： ， ∵，即， ∴，即， 故选：B． ◇题型 10 与二次根式有关的新定义问题 典例1（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由，得到且即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴且， ∴且， 故答案为：且 变式1（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 变式2（2025·山东聊城·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义计算即可． 本题考查了实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． ◇题型 11 与二次根式有关的规律探究 典例1（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数字的变化规律，多项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 观察多项式规律，分别分析a的指数部分和根号部分的规律，结合选项进行判断． 【详解】解：将多项式拆分为两部分： a的指数部分：第1项为，第2项为，第3项为，依此类推，第n项为， 根号部分：第1项为，第2项为，第3项为（即2），第4项为，依此类推，第n项为， 因此，第n个多项式为， 故选：C 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求出第9个式子即可． 【详解】解：∵，，，…， ∴， ∴当时：； 故答案为：． 变式2（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 变式3（（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：； ； ； ； 第5个等式为 根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：，． ◇题型 12 二次根式的应用 典例1（2025·河北保定·一模）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数及二次根式的运算．根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 则． 又， ∴， ∴． 故选：A． 变式1（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：一个周期， ∵， ∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为； 故选：C． 变式2（2025·山东滨州·一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，然后代入题中所给公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：B ◇难点 1 含多个限制条件的取值范围 典例1（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 解｜题｜思｜维 解决二次根式有无意义的关键： 1.牢记核心前提：二次根式 有意义的基础是 被开方数 a≥0； 2.特殊情况判断：若二次根式在分母上，需满足 a>0（分母不能为 0）； 3.多个二次根式组合时，取各被开方数取值范围的公共部分 变式1（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 变式2（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． ◇难点 1 含绝对值的二次根式化简 典例1（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）表示实数，b的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题的关键是根据二次根式的性质化简解答．先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知，，， ， ． 故选：C． 解｜题｜思｜维 牢记被开方数非负，含参数需分类讨论范围。 变式1（2024·西藏·二模）如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简后结果正确的是（    ）    A． B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的点，二次根式的性质以及绝对值的意义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先确定a，b的符号，，然后判断的正负，以此来取绝对值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式2（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置得到，，然后推出，，，再根据二次根式的性质和绝对值进行化简，再合并同类项． 【详解】解：根据数轴，得， ，， ． 故答案为：4． 变式3（2024·四川乐山·模拟预测）已知的三边分别为，化简 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． ◇测能力 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 4．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 7．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 8．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． ◇提能力 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 2．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 3．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1二次根式的相关概念 考点2二次根式的性质与化简 考点3二次根式运算 命题突破👉破解常考题型 题型1二次根式有意义的条件 题型2 与二次根式有关的开放性试题 题型3 利用二次根式的性质化简 题型4 二次根式与数轴 题型5 应用乘法公式求二次根式的值 题型6 最简二次根式的判断 题型7 分母有理化 题型8 二次根式的混合运算 题型9 二次根式估值 题型10 与二次根式有关的新定义问题 题型11 与二次根式有关的规律探究 题型12 二次根式的应用 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 含多个限制条件的取值范围 难点2含绝对值的二次根式化简 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 二次根式的相关概念 1.二次根式 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 ． 2.二次根式有意义的条件分两种情况： （1）一般情况（在分子上），被开方数为非负数，即a≥0 （2）特殊情况（在分母上），被开方数为正数（分母不能为 0），即a>0。 1.忽略分母含二次根式的情况，误把条件写成a≥0； 2.多个二次根式组合时，需保证每个被开方数都满足条件（取各条件的公共范围） ◇考点 2 二次根式的性质与化简 二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： ◇考点 3 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则： 二次根式的乘法法则的推广 2.二次根式的除法 除法法则： 3.最简二次根式 1. 概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 4.二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 5.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 6.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 二次根式混合运算易错点： (1)化简不彻底：未将根式化为最简 (2)同类根式错合并 (3)乘法公式误用 (4)运算顺序混乱 (5)分母有理化失误 (6)符号处理不当 (7)隐含条件忽略 ◇题型 1 二次根式有意义的条件 典例1（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 典例2（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 解｜题｜技｜巧 （1）一般情况（在分子上），被开方数为非负数，即a≥0 （2）特殊情况（在分母上），被开方数为正数（分母不能为 0），即a>0。 变式1（2025·江苏连云港·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 ◇题型 2 与二次根式有关的开放性试题 典例1（2025·山西吕梁·一模）写出一个能与合并的实数： ． 变式1（2024·江苏无锡·一模）请写出的一个同类二次根式 ． 变式2（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ． ◇题型 3 利用二次根式的性质化简 典例1（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 解｜题｜技｜巧 (1)分解被开方数拆成：平方数（式）× 非平方数（式）；若含分母，保持分数形式。 (2)拆分根式提因数：用积的算术平方根性质拆分，平方数（式）的平方根提至根号外 (3)分母有理:（若有分母）分子分母同乘分母的根式，消去分母根号，化为最简分数形式。 (4)处理绝对值（含²时）:用²=∣a∣，根据a的取值范围去绝对值符号 (5)检验:确认结果是最简二次根式. 变式1（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 变式2（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． ◇题型 4 二次根式与数轴 典例1（2025·山东威海·一模）在数轴上表示、的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数是 ． 变式1（2025·河北邯郸·三模）如图，的值在数轴上对应的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 ◇题型 5 应用乘法公式求二次根式的值 典例1（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 典例2（2025·上海徐汇·二模）已知，那么 ． 变式1（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ． 变式2（23-24八年级下·湖南湘西·期中）已知，，求代数式的值． ◇题型 6 最简二次根式的判断 典例1（2025·甘肃定西·一模）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·广西钦州·一模）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◇题型 7 分母有理化 典例1（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 变式1（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 变式2（2024·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：① ；② 等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． ◇题型 8 二次根式的混合运算 典例1（2025·甘肃·中考真题）计算：． 解｜题｜技｜巧 （1）化简根式：将所有二次根式化为最简二次根式 （2）计算乘方：用乘法公式（完全平方、平方差）计算 （3）计算乘除： （3）计算加减：合并同类二次根式（被开方数相同的最简根式），系数相加减，根式部分不变 （4）检验结果：确保最终结果是最简二次根式 变式1（2024·甘肃·中考真题）计算：． 变式2（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 变式3（2023·甘肃武威·中考真题）计算：． ◇题型 9 二次根式估值 典例1（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 变式1（2023·山东临沂·中考真题）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 变式2（2025·重庆·二模）已知，则实数m的范围为（　　） A． B． C． D． 变式3（2025·重庆·一模）已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． ◇题型 10 与二次根式有关的新定义问题 典例1（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 变式1（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 变式2（2025·山东聊城·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么 ． ◇题型 11 与二次根式有关的规律探究 典例1（2025·云南文山·模拟预测）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，……，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）通过计算我们知道，，，…，则按此规律第9个式子为 ． 变式2（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 变式3（（2025·河北保定·一模）小明做数学题时，发现规律：；；；；… （1）第5个等式为 ； （2）若（a，b为正整数），则 ． ◇题型 12 二次根式的应用 典例1（2025·河北保定·一模）如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为，，，其中是，的平均数，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1（2025·山西长治·模拟预测）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 变式2（2025·山东滨州·一模）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（    ） A． B． C．2 D． ◇难点 1 含多个限制条件的取值范围 典例1（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 解｜题｜思｜维 解决二次根式有无意义的关键： 1.牢记核心前提：二次根式 有意义的基础是 被开方数 a≥0； 2.特殊情况判断：若二次根式在分母上，需满足 a>0（分母不能为 0）； 3.多个二次根式组合时，取各被开方数取值范围的公共部分 变式1（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 变式2（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． ◇难点 1 含绝对值的二次根式化简 典例1（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）表示实数，b的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 解｜题｜思｜维 牢记被开方数非负，含参数需分类讨论范围。 变式1（2024·西藏·二模）如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简后结果正确的是（    ）    A． B．b C． D． 变式2（2024·山西·模拟预测）已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 变式3（2024·四川乐山·模拟预测）已知的三边分别为，化简 ． ◇测能力 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．6 B． C． D．1 2．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 6．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 7．（2025·陕西·中考真题）计算：． 8．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． ◇提能力 1．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 3．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $