第03讲 分式（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学讲义聚焦“分式”专题，覆盖分式概念、性质及运算等中考核心考点，构建“考点深解-命题突破-难点攻坚-练测提能”复习体系。通过梳理分式有意义条件、化简求值等要点，结合真题典例与变式训练，帮助学生系统突破分式运算、规律探究等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“题型+难点”双维突破策略，如“分式化简求值”题型中融入整体代入法，培养学生运算能力与推理意识。设置分层练习与即时检测，确保学生掌握分式应用、新定义等综合问题，提升数学思维与应用意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1分式及其性质 考点2分式的运算 命题突破👉破解常考题型 题型1分式有、无意义的条件 题型2 分式值为0的条件 题型3 分式运算 题型4 判断分式运算的错误步骤 题型5 分式的化简求值 题型6 分式运算的应用 题型7 分式的规律探究 题型8 与分式运算有关的新定义问题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 分式化简-整体代入法 难点2分式化简求值-倒数法 难点3 因式分解+约分 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 分式及其性质 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号;若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 最简公分母是分式通分时，各分母的最小公倍式，确定方法分两步： （1）分解分母 （2）取各因式的 “最高配” · 系数：取所有分母系数的 最小公倍数； · 字母/多项式因式：取所有分母中相同因式的最高次幂； · 不同因式：全部保留。 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. ◇考点 2 分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：. 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 （3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（为正整数且b≠0）. 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1.忽略分母不为0的前提 - 错误：化简约分丢定义域；解题不考虑分母限制 2.约分通分操作失误 - 错误：未因式分解强行约分；找错最简公分母；通分漏乘分子 3.加减运算符号错误 - 错误：分子是多项式时，相加减忘加括号错算 4.乘除运算法则混淆 - 错误：除法不变除式倒数；乘除混合运算顺序混乱 5.乘方运算漏项 - 错误：分式乘方只乘分子或分母6. 分式方程两大遗漏 - 错误：去分母漏乘常数项；解完忘验根（忽略增根） 7.混合运算顺序混乱 - 错误：跳步运算，打乱“乘方→乘除→加减，有括号先算括号”的顺序 ◇题型 1 分式有、无意义的条件 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 典例2（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 解｜题｜技｜巧 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. 变式1（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 变式2（2025·江苏宿迁·中考真题）要使分式有意义，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得， 故答案为：． ◇题型 2 分式值为0的条件 典例1（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 解｜题｜技｜巧 分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 变式1（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 变式2（2024·山东·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】1 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 变式3（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【分析】本题考查分式值为零的条件，解题关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式的值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或9， 故答案为或． ◇题型 3 分式运算 典例1（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 变式1（2025·陕西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 变式2（2025·甘肃·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 变式3（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． ◇题型 4 判断分式运算的错误步骤 典例1（2025·浙江杭州·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式…①， …②， …③． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是 （填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值． 【答案】(1)②；见解析 (2) 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤②错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）根据题意得，然后解分式方程，并检验即可． 【详解】（1）解：根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤②错了， 正确的化简过程如下： 原式 ； （2）解：根据题意得， ， 经检验，是原分式方程的解， 则题目中被墨水遮住的x的值为． 变式1（2025·宁夏银川·二模）数学课上王老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学对分式进行了_____，依据是_____． ②在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误原因是_____． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是_____； ②从这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)①约分，分式的基本性质；②乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； (2)①；②4 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）①利用分式的相应的运算法则进行分析即可； ②根据去括号的法则解答即可； （2）①利用分式的运算法则进行计算即可； ②根据分式有意义取代入解答即可． 【详解】（1）解：①丁同学对分式进行了约分，依据是分式的基本性质， 故答案为：约分，分式的基本性质； ②从乙同学开始出现错误，错误的原因是：去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； 故答案为：乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号； （2）解：①原式 ， 故答案为：； ②∵不能取2和， 故取， 原式． 变式2（2025·江西宜春·二模）下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二、三 (2)； 时，值为7，时，值为6． 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：二、三； （2）解：原式= = = = ∵，， ∴，2，3 ∴可取4，5 当时，原式（或当时，原式） 变式3（2025·浙江金华·一模）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式 当时，原式． 【答案】首次出现错误步骤的序号是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据分式的运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解：首次出现错误步骤的序号是， 正确的解答：原式， ， ，      ， 当时，原式． ◇题型 5 分式的化简求值 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 典例2（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 解｜题｜技｜巧 1.挖隐含 确定分母≠0、零指数幂底数≠0等限制条件，排除代入后无意义的数值。 2.化分式 分子分母先因式分解→处理符号(分子、分母、分式符号任改两个)一异分母加减找最简公分母通分一约去公因式→整理为最简分式或整式， 3.变条件 已知条件变形(整体变形、设参数、比例转化等)，适配最简式。 4. 代入算 优先整体代入，其次直接代入，计算结果。 5.验结果 检验代入后分母是否为 0，确认结果有效。 变式1（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 变式2（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 变式3（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． ◇题型 6 分式运算的应用 典例1（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【答案】(1) (2)①，；②，；③， 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 变式1（2024·河北沧州·一模）将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）根据“糖水浓度糖糖水”，即可求解； （2）先表示出加入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出； （3）利用作差法进行证明即可． 【详解】（1）解：糖水的浓度为：， 故选：B； （2）再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ， 故答案为：； （3）证明： ，， ，， ， 即． 变式2（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ 【答案】小李两次加油的平均单价更低 【分析】本题考查列代数式、分式的加减，正确列出代数式是解答的关键．先求解小李两次加油每次300元的平均单价，再求得小王两次加油30升的平均单价，然后作差比较大小即可得出结论． 【详解】解：根据题意，小李两次加油每次300元的平均单价为（元/升）， 小王两次加油30升的平均单价为（元/升）， ∴ ， ∵， ∴，则， 故小李两次加油的平均单价更低． ◇题型 7 分式的规律探究 典例1（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，分式的加法计算，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据题目中等式的特点，可以写出第6个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 第6个等式：． （2）解：猜想第n个等式为，证明如下： 等式左边 ， ∴此时等式左右两边相等，即等式成立． 变式1（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 变式2（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． ◇题型 8 与分式运算有关的新定义问题 典例1（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 变式1（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 变式22025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． 【答案】(1)分式是分式的“和美分式”，见解析 (2) 【分析】本题考查分式的计算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出两个分式的差和积，根据新定义，进行判断即可； （2）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：分式是分式的“和美分式”，理由如下： ∵ ， ∴， ∴分式是分式的“和美分式”； （2）设的“和美分式”为A， 则， 整理得， ∴ ， ∴的“和美分式”为． ◇难点 1 分式化简-整体代入法 典例1（2024·山东日照·中考真题）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是： 根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，， 原式 解｜题｜思｜维 不单独求解单个字母的值，通过变形已知条件或构造待求式，转化为相同的代数式整体，代入最简分式计算 变式1（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 变式2（2025·江西赣州·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 变式3（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，再由，得，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． ◇难点 2 分式化简求值-倒数法 典例1（2025·广东深圳·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 解｜题｜思｜维 当分母的次数大于分子的次数时，可把分子分母颠倒.利用已知条件，将其分子分母颠倒得到化简后的式子.整理并将式子代入所求分式的倒数，化简得出结果.（注意: 结果要再次颠倒回来） 变式1在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了用倒数法解决分式问题，解决本题的关键是读懂题目中的解题思路，仿照材料中的思路进行解答． 仿照材料中的思路把取倒数，可得：，化简可得：； 设知，可得：，，，然后代入代数式，可得：原式，化简即可求出结果； 把方程组中的两个方程分别取倒数，可得：，，解方程组分别求出和，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解： ， ， ， 移项得：， 故答案为：； （2）解：设知， 则，，， ； （3）解：， 由可得：， 整理得：， 由可得：， 整理得：， 可得：， 得：， ， 把代入得：， 解得：， ， 方程组的解为． ◇难点 3 因式分解+约分 典例1（2025·北京·三模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，先将分式的分子、分母分别因式分解，约分化为最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 变式1（2025·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把分子合并同类项后分解因式，再把第一个分式的分子分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 变式2若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． ◇测能力 1．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可． 【详解】解： 故选：A． 2．（2023·江苏·中考真题）若代数式的值是0，则实数x的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由即可求解． 【详解】解：由分母不为零得： ∵代数式的值是0 ∴ 综上： 故选：B 【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零．掌握分式有意义的条件是关键． 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 4．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 5．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．（2025·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． ◇提能力 1．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy ∴ 故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入． 2．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则 ． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 15 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1分式及其性质 考点2分式的运算 命题突破👉破解常考题型 题型1分式有、无意义的条件 题型2 分式值为0的条件 题型3 分式运算 题型4 判断分式运算的错误步骤 题型5 分式的化简求值 题型6 分式运算的应用 题型7 分式的规律探究 题型8 与分式运算有关的新定义问题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 分式化简-整体代入法 难点2分式化简求值-倒数法 难点3 因式分解+约分 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 分式及其性质 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号;若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 最简公分母是分式通分时，各分母的最小公倍式，确定方法分两步： （1）分解分母 （2）取各因式的 “最高配” · 系数：取所有分母系数的 最小公倍数； · 字母/多项式因式：取所有分母中相同因式的最高次幂； · 不同因式：全部保留。 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. ◇考点 2 分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：. 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 （3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（为正整数且b≠0）. 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1.忽略分母不为0的前提 - 错误：化简约分丢定义域；解题不考虑分母限制 2.约分通分操作失误 - 错误：未因式分解强行约分；找错最简公分母；通分漏乘分子 3.加减运算符号错误 - 错误：分子是多项式时，相加减忘加括号错算 4.乘除运算法则混淆 - 错误：除法不变除式倒数；乘除混合运算顺序混乱 5.乘方运算漏项 - 错误：分式乘方只乘分子或分母 6. 分式方程两大遗漏 - 错误：去分母漏乘常数项；解完忘验根（忽略增根） 7.混合运算顺序混乱 - 错误：跳步运算，打乱“乘方→乘除→加减，有括号先算括号”的顺序 ◇题型 1 分式有、无意义的条件 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）若分式有意义，则a的取值范围是 ． 典例2（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 解｜题｜技｜巧 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. 变式1（2025·江苏常州·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·江苏宿迁·中考真题）要使分式有意义，实数的取值范围是 ． ◇题型 2 分式值为0的条件 典例1（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 解｜题｜技｜巧 分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 变式1（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 变式2（2024·山东·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 变式3（2025·山东济南·模拟预测）当 时，分式的值为． ◇题型 3 分式运算 典例1（2025·四川·中考真题）化简：． 变式1（2025·陕西·中考真题）化简：． 变式2（2025·甘肃·中考真题）化简：． 变式3（2025·江西·中考真题）化简： ◇题型 4 判断分式运算的错误步骤 典例1（2025·浙江杭州·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式…①， …②， …③． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是 （填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值． 变式1（2025·宁夏银川·二模）数学课上王老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”完成两个任务： 老师：化简： 甲同学：原式 乙同学： 丙同学： 丁同学：． (1)【任务一】 ①在“接力游戏”中，丁同学对分式进行了_____，依据是_____． ②在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误原因是_____． (2)【任务二】 ①该“接力游戏”正确的化简结果是_____； ②从这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 变式2（2025·江西宜春·二模）下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 变式3（2025·浙江金华·一模）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式 当时，原式． ◇题型 5 分式的化简求值 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 典例2（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 解｜题｜技｜巧 1.挖隐含 确定分母≠0、零指数幂底数≠0等限制条件，排除代入后无意义的数值。 2.化分式 分子分母先因式分解→处理符号(分子、分母、分式符号任改两个)一异分母加减找最简公分母通分一约去公因式→整理为最简分式或整式， 3.变条件 已知条件变形(整体变形、设参数、比例转化等)，适配最简式。 4. 代入算 优先整体代入，其次直接代入，计算结果。 5.验结果 检验代入后分母是否为0，确认结果有效。 变式1（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 变式2（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 变式3（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 ◇题型 6 分式运算的应用 典例1（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 变式1（2024·河北沧州·一模）将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 变式2（2024·宁夏银川·一模）现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？ ◇题型 7 分式的规律探究 典例1（2025·安徽阜阳·三模）观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出第6个等式： ． (2)请你猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 变式1（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 变式2（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． ◇题型 8 与分式运算有关的新定义问题 典例1（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 变式1（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 变式22025·山东淄博·二模）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“和美分式”． (1)判断分式是否为分式的“和美分式”，并说明理由； (2)小颖在求分式的“和美分式”时，用了以下方法：设的“和美分式”为A， 则， 所以，整理得， 所以，． 请你仿照小颖的方法，求分式的“和美分式”． ◇难点 1 分式化简-整体代入法 典例1（2024·山东日照·中考真题）先化简，再求值：，其中x满足． 解｜题｜思｜维 不单独求解单个字母的值，通过变形已知条件或构造待求式，转化为相同的代数式整体，代入最简分式计算 变式1（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 变式2（2025·江西赣州·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 变式3（2025·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． ◇难点 2 分式化简求值-倒数法 典例1（2025·广东深圳·一模）【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 解｜题｜思｜维 当分母的次数大于分子的次数时，可把分子分母颠倒.利用已知条件，将其分子分母颠倒得到化简后的式子.整理并将式子代入所求分式的倒数，化简得出结果.（注意:结果要再次颠倒回来） 变式1在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：，即 ，． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，， 根据材料回答问题： (1)已知，则______． (2)已知，求的值． (3)解关于，的方程组． ◇难点 3 因式分解+约分 典例1（2025·北京·三模）已知，求代数式的值． 变式1（2025·四川泸州·中考真题）化简：． 变式2若，则（    ） A． B． C．3 D．6 、 ◇测能力 1．（2025·新疆·中考真题）计算：（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·江苏·中考真题）若代数式的值是0，则实数x的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 4．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： ． 7．（2025·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． ◇提能力 1．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 2．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $