阶段检测验收卷 数与式（培优综合训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

阶段检测验收卷 第一章 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 2．4的平方根是（    ） A．4 B． C． D．2 3．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 4．2013年4月20日，四川雅安市发生级强烈地震．地震无情人有情，社会各阶层人士纷纷伸出援助之手．据不完全统计，仅两天时间就收到捐款捐物总额达万元．用科学记数法表示万为（  ） A． B． C． D． 5．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 6．下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 8．根据规律，x的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 9．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 10．若，则（   ） A． B． C．2 D． 11．若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 12．定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．因式分解： ． 14．若分式的值为0，则x的值为 ． 15．已知实数，满足，则 ． 16．如图，小智设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圆形上的个数字之和都相等，则的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． 20（8分）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 21．（10分）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题． (1)求；若，求矩形C落在边l上的长； (2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 22．（10分）如图，O为数轴原点，点M，N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，且，．蚂蚁P从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁Q从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动．设点P，Q的运动时间t（秒）． (1)点M表示的数为 ；点N表示的数为 ； (2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数； (3)若蚂蚁Q沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求t的值； (4)蚂蚁Q沿数轴向左运动，若无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，求m的值． 23．（10分）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 24．（12分）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第一章 数与式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义，是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解： ∵的倒数为 ， ∴ 故选：B. 2．4的平方根是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的平方根． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数作答即可． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 故选：B． 3．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握“绝对值表示数到原点的距离，可用于判断与标准量的接近程度”是解题的关键． 通过计算每个足球与标准质量差值的绝对值，比较绝对值大小，绝对值越小越接近标准． 【详解】解：∵ ，，，， 又∵ ， ∴ 最接近标准的是选项C． 故选：C． 4．2013年4月20日，四川雅安市发生级强烈地震．地震无情人有情，社会各阶层人士纷纷伸出援助之手．据不完全统计，仅两天时间就收到捐款捐物总额达万元．用科学记数法表示万为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：万， 故选：B 5．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用乘法公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为，完全平方公式分解因式的形式为和，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式可以用平方差公式分解因式，符合题意； B、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； C、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； D、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； 故选：A． 6．下列各式计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法. 根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法逐一计算即可. 【详解】A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确； 故选：D 7．若，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的求值，首先应从题目中获取代数式与的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．将整体代入计算可得． 【详解】解：当时， ， 故选：B． 8．根据规律，x的值为（ ） A．135 B．153 C．169 D．170 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解； 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， …… ∴，，， ∴，． 故选：D． 9．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 10．若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值、二次根式的性质、完全平方公式等知识，根据题意可得，，将整理为，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 11．若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则． 【详解】解：由可得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12．定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【答案】B 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练应用提取公因式和平方差公式是解题的关键．先提取公因数，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 14．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是分子为0且分母不为0是解题的关键．根据分式值为零的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴x的值为， 故答案为：． 15．已知实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，小智设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圆形上的个数字之和都相等，则的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程的应用，设小圈上的数为，大圈上的数为，先求出这个数的和，然后即可求出横行、竖列以及内外两圆圈上的个数之和，从而求出的值，即可得出，进而分别分析求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设小圈上的数为，大圈上的数为， ∵，且横、竖以及内外两个圆形上的个数字之和都相等， ∴两个圆形的和均是，横、竖的和也是， 则，解得， 由，解得， 由，得； 当，，则； 当时，，则， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握有理数的乘方、绝对值的性质、二次根式的性质是解答本题的关键． 【详解】解： 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握正确化简分式． 先将括号里面的通分，再作除法，化简分式后，再将代入求值． 【详解】解： 当时， 原式． 19．（8分）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有． (1)求的值； (2)若，求的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的乘方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键． （1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题中定义列算式，再利用幂的乘方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法正确表示计算结果． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解： ． 20（8分）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小王的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小王认为“该分式的值不可能为6”； ②小王的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为8． 21．（10分）如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题． (1)求；若，求矩形C落在边l上的长； (2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【答案】(1)；x (2)，见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积等于长乘宽，先表示，因为，故，即可作答． （2）依题意，，，结合，即一定大于0，所以，即可作答． 【详解】（1）解：结合图形，； ∵ ∴， ∴矩形C落在边l上的长为x； （2）解：，理由如下： 依题意，， ∴ ∵， ∴一定大于0， ∴， 即． 22．（10分）如图，O为数轴原点，点M，N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，且，．蚂蚁P从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁Q从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动．设点P，Q的运动时间t（秒）． (1)点M表示的数为 ；点N表示的数为 ； (2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数； (3)若蚂蚁Q沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求t的值； (4)蚂蚁Q沿数轴向左运动，若无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，代数式表示，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）根据点P的运动情况，结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （3）用t表示出点P、Q两点运动过程中表示的数，然后根据“两只蚂蚁之间的距离为6”分情况列方程求解，即可解题； （4）用m、t表示出，然后根据值始终固定不变可求出m的值． 【详解】（1）解：O为数轴原点，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，，． 点M表示的数为，点N表示的数为， 故答案为：，． （2）解：经过t秒时点P表示的数为； （3）解：蚂蚁Q沿数轴向右运动，经过t秒时点Q表示的数为， 两只蚂蚁之间的距离为6， 或， 解得或； （4）解：蚂蚁Q沿数轴向左运动，经过t秒时点Q表示的数为， ， 经过t秒时， 无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变， 中， 解得． 23．（10分）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1： （1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） （2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2： （3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3： （4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）①；②见解析，相邻刻度线间的距离是 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、有理数混合运算的运用、列代数式等知识点，根据题意、列出相关代数式成为解题的关键． （1）①②根据弹簧伸长的长度求解即可； （2）根据拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，得出，，结合求解即可； （3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，然后利用不等式的性质求解即可； （4）用最大拉力F除以弹簧最大伸长x，再乘以即可． 【详解】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度； 故答案为：； ②图4中弹簧伸长的长度， 故答案为：． （2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是， ∴， ∴，即， ∴该弹簧测力计的量程为； （4）①∵， ∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加， 故答案为：． ②画出对应的刻度线如图所示： 在弹性限度范围内，拉力增大，弹簧伸长， ∴相邻刻度线间的距离是． 24．（12分）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $