沪科版九年级上册月考压轴题汇总（专项训练，二次函数与反比例函数+相似形）数学新教材沪科版九年级上册

沪科版九上月考压轴题专项训练 题型一 二次函数的实际应用 题型二 二次函数与几何综合 题型三 反比例函数与几何综合 题型四 相似三角形常见模型 题型五 相似三角形的综合问题 题型一：二次函数的实际应用 1.“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 2.如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式． (2)求小球到斜坡的最大距离． (3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，可证明，解直角三角形得到．求出直线的解析式为．设点的坐标为，则，可求出，求出的最大值即可得到答案； （3）设，则，根据，可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，如图所示． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． ∴． 设所在直线的解析式为， 将，代入得， ∴， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，则， ∴． ∴ ． ∵， ∴当时，取最大值， ∴小球到斜坡的最大距离为． （3）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 3.如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 【答案】(1) (2)解：①在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下： ， 在中，当时，， ∵， ∴在正常水位时，此集装箱能顺利通过这座拱桥； ②应往集装箱内至少注入水的质量为800千克 【分析】（1）以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设此抛物线的函数表达式为，根据题意可得点A和点C的坐标，据此利用待定系数法求解即可； （2）①求出时，y的值，再与此时集装箱在水上的高度比较即可得到答案；②可求出集装箱在水上的部分最高为，那么需要增加的吃水深度最少为，再根据浮力等于重力和浮力计算公式建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设此抛物线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此抛物线的函数表达式为； （2）解：①略； ②在中，当时，， 当水面上涨到警戒水位时，集装箱在水上的部分最高为， 设应往集装箱内注入水的质量为t千克， 由题意得，， 解得， ∴t的最小值为800， 答：应往集装箱内至少注入水的质量为800千克． 4.【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 5.综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： (2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． (3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可得答案； （2）根据，间的水平距离为，得出点的横坐标为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可； （3）先求出列纵队的宽度为，可得第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为，把代入（1）中所求解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面，点为坐标原点， ∴抛物线顶点为，其坐标为， 设该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． 把代入，得， 解得， ∴该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式为． （2）解：∵两根同样高立柱，间的水平距离为，， ∴点的横坐标为， 当时，． 答：立柱的高度为． （3）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵各班同学排成列纵队依次通过“成功门”，且相邻两列纵队之间的水平间距保持， ∴列纵队的宽度为， ∴通过“成功门”时，第一排靠近立柱的同学的位置与点的水平距离为， ∵当时，． ∴班旗旗顶到地面垂直距离的最大值为． 6.如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 【答案】(1)；洒水车喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，即可求得抛物线的解析式；令，求得x的值，即可确定最大射程； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即可得点B的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ，解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则，解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为. （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为． （3）解：由题意可得，当点与点重合时，最小， 点的坐标为， ， 的最小值为， 当点在抛物线上时，最大，也最大 ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， 的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为：． 7.2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 8.甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为46米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①_________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为160平方米，求的长． (2)如图2，当时，直接写出养鸡场可达到的最大面积_________． 【答案】(1)①；②20米 (2)210.25平方米 【分析】（1）①木栏长门长； ②养鸡场的面积，把相关数值代入求得合适的x的解即可； （2）（木栏长门长+墙长），设养鸡场的面积为y，进而根据二次函数的性质可得y的最大值． 【详解】（1）解：①米； ②根据题意得，， 解得：，， 当时，，所以舍去； 答：的长为20米； （2）解：，则当时，， ∴，解得， 设养鸡场的面积为， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，（平方米）． 答：当时，求养鸡场可达到的最大面积为210.25平方米． 9.如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意易得然后根据矩形的性质可进行求解； （2）由题意可知此时，然后问题可求解； （3）由题意可分和进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 由题意得：， ∴； （2）解：当点E落在边上时，则有， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：由题意可分：①当时，设与分别交于点，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，此时在矩形的内部， ∴； 综上所述：S与t的函数关系式为． 10.综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 题型二：二次函数与几何综合 1.在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 【答案】(1)为； (2)存在，有最大值，此时； (3)或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出点G的坐标；然后根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上时符合题意；从而可知当与抛物线相交时有，再根据点或点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点，则， 设，则， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时， 即此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ∵，当时，， ∴当时，点在点上方， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方， 同理可得：， ， ∴不论为何值，点的坐标为，点坐标为； ∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意， ①当时，点在点上方， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交时， 则，解得； 如图4，点在抛物线上时， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得（大于的值舍去）； ②当时，点在点下方，如图5，此时点在抛物线上时符合要求， ， 解得（小于的值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用勾股定理求得，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； 3.综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、， (2) (3)（，）或 【分析】（1）分别令，可求得A，B，C三点的坐标，再运用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）过点P作轴交直线于D，过点A作轴交直线于E，则，设，且，则，得，由，可得，进而得出，可得关于m的方程，解方程即可求得答案； （3）可设，利用勾股定理表示出，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后分别解方程求出n即可得到对应的Q点坐标． 【详解】（1）解：令，得， 解得：， ∴， 令，得：， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过点P作轴交直线于D，过点A作轴交直线于E， ∵，直线的函数表达式为， ∴， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形， 设， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得（舍去）， ∴Q点坐标为（，）； 当时，， 解得（舍去）， ∴Q点坐标为； 当时，， 解得（舍去）， 综上所述，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q点坐标为（，）或． 4.在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①最大值为，② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标系中三角形面积的求解，掌握二次函数对称轴的计算和坐标系中三角形面积的表示是解题关键． （1）代入点的坐标，得到与的关系，再通过对称轴为直线求解即可； （2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可； ②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得；则，对称轴为直线． （2）解：①若，则该抛物线的表达式为，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为， 设，如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． ②设， 同①可得， 故当时，取得最大值，为， ， 令， ∵， ∴解得． 5.如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①的最大值为；②点的坐标为． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①设点坐标为，结合题意分别求出，进而可得，运用二次函数的性质求解即可； ②延长交轴于点，设点横坐标为，结合题意分别求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设点的横坐标为，则点坐标为， ∵是线段下方， ∴， ∵设直线表达式为， 把，代入得，解得， 直线表达式为， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∵将代入，解得， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； ②延长交轴于点，设点横坐标为，则点坐标为， ∴点坐标为，由①得， ∵， ∴， ∵ ∴， 整理得：，即：， 解得，（舍去） 当时，， ∴点的坐标为 7.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标． （3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴． （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 8.如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②时为锐角三角形 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）①连接，交于，根据二次函数解析式求出，进而求出，根据平分，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立直线与二次函数的解析式求出点坐标即可； ②设的中点为，连接，当时，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，利用两点间距离公式列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将、代入， ∴， 解得：， ∴． （2）解：①如图，连接，交于， 由（1）可知，， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． ②设的中点为，连接， ∵，， ∴， ∵点C的横坐标为， ∴， 当时，， ∴， 解得：或， ∴时，为锐角三角形． 9.如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，然后根据列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 10.如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为：；直线的解析式为： (2)见解析 (3)M的坐标为或 【分析】（1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线的解析式； （2）先用表示出，再利用配方法求出最值； （3）分M在直线下方，M在直线上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， ∴抛物线的解析式为：， 直线的解析式为：； （2） ∵， ∴当时取得最大值2； （3）①当M在直线下方时， 作点A关于y轴的对称点D， 由对称可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M在直线上， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，得， ∴； ②当M在直线上方时， 作点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ，(由①得)，， ∴， ∴点M在直线上， 设直线的解析式为：， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，解得， ∴， 综上所述M的坐标为或． 题型三：反比例函数与几何综合 1.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中___________，____________． …… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …… …… -3.8 -2.5 -1 1 5 5 -1 -3.8 …… ②描点：请根据表中所给的数值在图中描点； ③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象； (2)探究函数性质 ①当时，函数值y随着自变量x的增大而______________；（填“减小”或“增大”） ②函数的图象关于___________对称； (3)运用函数图象及性质 ①点，，在函数图象上，请比较，，的大小（    ） A．    B．    C．    D． ②点，在函数图象上，请比较，的大小（    ） A．    B．    C．    D．不确定 ③写出方程的解_____________； ④写出不等式的解集___________． 【答案】(1)，，描点、连线如下图： ； (2)减小，y轴； (3)①B，②D，③或，④或． 【分析】（1）代入计算即可求出，的值，在表格中描点、连线即可； （2）①由（1）所作图象可知当时，函数值y随着自变量x的增大而减小； ②函数的图象关于y轴对称； （3）①由图象可知，离对称轴越远，函数值越小，对称轴为y轴，依据即可比较； ②同①可知，由于可知； ③由（1）列表可知，方程的解； ④由（1）列表可知方程的解为或，结合图像可知解集． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，， 故答案为：，， （2）①由（1）所作图象可知， 当时，函数值y随着自变量x的增大而减小， ②函数的图象关于y轴对称， 故答案为：减小，y轴； （3）①由图象可知，离对称轴越远，函数值越小，对称轴为y轴， ， ， 故选：B； ②同①可知， ， ， 无法确， 故选D； ③由（1）列表可知， 方程的解为： 或， 故答案为：或； ④由（1）列表可知是方程的解， 由对称性可知方程的解为或， 结合图像可知解集为： 或， 故答案为：或． 2.综合与实践 在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为米的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），使得矩形花园的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？ (1)由简单情形入手，分析问题 假设篱笆长为4米，即时，设米，米，根据题意可得，解得_______________，______________，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”； (2)建立函数模型，画出函数图象 设米，米，依题意得，得到与的函数关系式为．再由篱笆长为米，得，即．兴趣小组的思路是用函数与函数来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”． 接下来先画函数的图象： 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算出对应的值，如表格所示， … 0 2 3 4 … … 4 3 2 … 描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 任务： ①上面表格中，___________，___________； ②请你将下图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察函数图象，数形结合解决问题 ①一次函数的图象可由直线平移得到．当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，此时交点坐标为，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长的范围，请你写出的取值范围，并说明理由； ②在直线平移的过程中，直接写出当为时“完美矩形”的长． 【答案】(1)2；2 (2)①0；； ②如图所示，即为所求； (3)①， 理由如下： 联立得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴或（舍去）； ②4米 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）解方程组即可得到答案； （2）①把和分别代入函数解析式中求解即可；②根据题意作图即可； （3）①联立两函数解析式得到关于x的一元二次方程，根据方程有实数根，利用判别式求解即可；②根据（3）①所得的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴，即， 解得， ∴； （2）解：①在中，当时，， 当时，， ∴； ②略 （3）解：① 略 ②当时，则， 解得或， 当时，， 当时，， ∴当为时“完美矩形”的长为4米． 3.知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键． （1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可； （3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，而，，与的距离为5， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，， 设， 如图， 当在的上方时，而轴，和间的距离为12， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12， ∴， 同理可得：，解得：， 综上：或． 4.在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 【答案】(1)4 (2)①11；② (3) 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （）根据点A在的图象上，可求出的值； （）标出区域，再统计区域内的整数点即可； 过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴， 即的值为； （2）解：当时，由图可知， 上的整点有个， 上的整点有个， 双曲线上段的整点有个， 区域内部的整点有个， 又点，，都被算了次， 所以区域的整点个数为：， 故答案为：； ∵区域的整点个数为4，且点横坐标满足， ∴区域内的整点为，，，，如图所示： ∴纵坐标的取值范围为； （3）解：由题知，， 则不论为何值，时，即直线过定点， 如图所示，当时，区域内的整点共有个， 又被分成的区域和的整点个数之差不超过， 则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求， 此时，得， 当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可， 此时， 解得：， 故的取值范围是：． 5.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 6.如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 【答案】(1)， (2)点，面积的最小值为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式； （2）求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图， ∵反比例函数过点， ， 反比例函数的解析式为， 设， ， ， 四边形的面积为， 四边形的面积为， ， 解得，舍去， ， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小， 设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时， 方程有唯一解， 即有两个相等的实数根， ， 解得或舍去， 与直线平行的直线的关系式为， 方程的解为， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点， 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点， 由题意得， ，，，， ， ， 答：点，面积的最小值为． 7.杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 (2)生锈秤砣的质量为 (3) 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解； （3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 8.定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： (1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； (2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； (3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 【答案】(1) (2) 不在，理由如下： 根据题意，， 若经过点， ∴， ∴， 整理，得． ∵， ∴此方程无解， ∴不存在的值，使得， ∴点不在函数和的“均值函数”图象上； (3) 证明：∵点在的图象上， ∴或， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴，． ∵和的“均值函数”为， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】（）根据两个函数的“均值函数”的定义即可求解； （）根据题意得，若经过点，则转化为，然后根据根的判别式即可求解； （）由点在的图象上，则或，再根据轴，轴，求出，，，，再由和的“均值函数”为，则，最后由平行四边形的判定与性质即可求证； 本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数和， ∴， ∴它们的“均值函数”是， 故答案为：； （2）解：略； （3）证明：略． 9.反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 10.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）将反比例函数图象上的点的坐标代入其解析式即可； （2）先求出一次函数的解析式，再进而得到与轴的交点坐标，最后通过三角形的面积公式即可求出答案； （3）先设，再根据等腰三角形的判定与性质，分情况讨论即可求值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点， 将代入得，， 解得，， 反比例函数的解析式为． （2）解：根据题意将代入得，， ． 将和分别代入得， ， 解得，， 一次函数的解析式为， 当时，即， 解得，， ， ， ． （3）解：存在． 设， ， ，，， 当时，， ， 解得，或， ，； 当时，， ， 解得，或（不符合题意，舍去）， ； 当时， ， 解得，， ． 综上，在轴上存在一点P，使得是等腰三角形；点P的坐标为，，，． 题型四：相似三角形常见模型 1.一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析． 【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求． 【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵DE∥AC ∴ ∴，解得 设正方形的边长为x米，如图乙 ∵DE∥AB ∴ ∴，解得 ∵ ∴乙木匠的加工方法符合要求． 2.如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解； （2）根据题意分别证明，问题可证． 【详解】解：（1）是的中点，是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）当，时， 由（1）可得 ，，， ， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ． 3．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析. 【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出; （2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN； ②由，得．又为正方形，得出，同理，有，又因为∽，所以，所以． 【详解】（1）证明：如图1 在中，由于， ∴∽， ∴． 同理在△ACQ和△AEP中，， ∴． （2）①如图2, 作AQ⊥BC于点Q． ∵BC边上的高 ∵DE=DG=GF=EF=BG=CF ∴DE：BC=1：3 又∵DE∥BC， ∴AD：AB=1：3， ∵DE边上的高为, 故答案为 ②证明：如图3 ∵， ∴． 又∵为正方形， ∴， ∴， ∴． 同理，在中有， ∴， ∴． 又因为∽， ∴， ∴． ∴． 4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 5．已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA． （1）求证：AD＝DE； （2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明； （2）根据平行线分线段成比例定理得到， ，得到，整理得到 CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论． 【详解】证明：（1）∵BC2＝CE•CA， ∴，又∠ECB＝∠BCA， ∴△BCE∽△ACB， ∴∠CBE＝∠CAB， ∵AC⊥BC，∠DAB＝90°， ∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°， ∴∠BEC＝∠DAE， ∵∠BEC＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE； （2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，如图，    ∵DF⊥AC，AC⊥BC， ∴∠DFE＝∠BCA＝90°， ∴DF∥BC， ∴， ∵DC∥AB， ∴， ∴， ∴CE2＝AE•EF， ∵AD＝DE，DF⊥AC， ∴AF＝EF， ∴CE2＝AE•AF． 6．如图，、是的两条高，连． （1）求证：； （2）若，点为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析;(2)1. 【分析】（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论； （2）连结ME，由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，由点M为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MB=ME=MD=MC，于是可判断点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，根据圆周角定理得∠DME=2∠EBD=60°，则可判断△MED为等边三角形，所以DE=DM．所以的值为1 【详解】（1）证明： ∵BE、CD是△ABC的高， ∴∠AEB=∠ADC=90°， 而∠EAB=∠DAC， ∴△AEB∽△ADC， ∴AB：AC=AE：AD， ∴AE•AC=AB•AD； （2）连结ME，如图， ∵∠BAC=120゜， ∴∠BAE=60°， ∴∠EBA=30°， ∵点M为BC的中点， ∴MB=ME=MD=MC， ∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上， ∴∠DME=2∠EBD=2×30°=60°， ∴△MED为等边三角形， ∴DE=DM． ∴ 7．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4． 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证； （3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， 在和中，， ； （2）点为的中点， ， 由（1）已证：， ， 设，则，， ， （等腰三角形的三线合一）， ， 又， ， 即； （3）由（2）已证：， ， ， ， ，即， 解得， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 由（2）可知，设，则， ， 解得或（不符题意，舍去）， ， 则在中，． 8．已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE•EF＝9． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC，由余角的性质可得∠EAB＝∠DAC，进而可得∠EAB＝∠C，进一步即可证得结论； （2）由（1）可得，进而可得AE2＝BE•CE＝9，易证△EAF∽△EDA，从而得，进一步即可求出结果． 【详解】解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠DAC， ∴∠EAB＝∠C， ∵∠E＝∠E， ∴△BAE∽△ACE； （2）∵△BAE∽△ACE， ∴， ∴AE2＝BE•CE＝9， ∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E， ∴△EAF∽△EDA， ∴， ∴DE•EF＝AE2＝9． 9．在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长； （2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证． 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②过作，与的延长线交于， ∵， ∴， ∴、和均为等腰三角形， ∴， ∵在等腰中，于， ∴，即， ∴的值为． 10．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）发生变化，． 证明：由（1）得，，， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴．    11．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 12．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解； （2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证； （3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 由题意可知，， ∴，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，2×， ． 13．已知中点分别在边、边上，连接点、点在直线同侧，连接且． （1）点与点重合时， ①如图1，时，和的数量关系是 ；位置关系是 ；      ②如图2，时，猜想和的关系，并说明理由； （2）时， ③如图3，时，若求的长度； ④如图4，时，点分别为和的中点，若，直接写出的最小值． 【答案】（1）①AE=FC；AE⊥FC；②AE=2FC；AE⊥FC；理由见解析；（2）③FC = 6；④MN的最小值为． 【分析】（1）①利用SAS证出△ABE≌△CDF，从而证出AE=FC，∠A=∠DCF，然后证出∠ACF=90°即可得出结论； ②根据相似三角形的判定证出△ABE∽△CDF，从而得出∠A=∠DCF，，然后证出∠ACF=90°即可得出结论； （2）③作GD⊥BC于点D，交AC于点G；作GH⊥AB于点H，交AB于点H；DM⊥AC，利用SAS证出△EDG≌△FDC，从而得出EG=FC，令DC=a，BD=2a，根据三角形的面积公式即可求出a值，从而求出结论； ④连接MD和MC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=，从而得出点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H，然后证出四边形NMHG为平行四边形，从而求出结论． 【详解】（1）①解：∵ ∴∠ABC=∠EDF=90°，∠A＋∠BCA=90° ∴∠ABE＋∠EDC=∠CDF＋∠EDC ∴∠ABE=∠CDF ∵ ∴AB=CB，DE=DF ∴△ABE≌△CDF ∴AE=FC，∠A=∠DCF ∴∠DCF＋∠BCA=90° ∴∠ACF=90° ∴AE⊥FC 故答案为：AE=FC；AE⊥FC； ②证明：AE=2FC；AE⊥FC ∵DF⊥DE ∴∠EDF=∠ABC=90° ∴∠ABE=∠CDF· ∵ ∴△ABE∽△CDF ∴∠A=∠DCF， ∵∠A+∠ACB=90° ∴∠DCF+∠ACB=90° ∴∠ACF=90°；即FC⊥AE· （2）③解：作GD⊥BC于点D，交AC于点G；作GH⊥AB于点H，交AB于点H；DM⊥AC．    ∴四边形BDGH为矩形 ∴DB=HG ∵∠ABC=90°， ∴∠A=∠HGA =∠ACB=45° ∴DC=DG ∵DE⊥DF ∴∠EDG=∠FDC ∴△EDG≌△FDC（SAS） ∴EG=FC ∵BD=2CD ∴令DC=a，BD=2a ∴AG= ∴EG=，MD=· ∵ ∴ 解得，（舍） ∴FC = EG=6 ④∵，AB=10 ∴BC=5 ∵ ∴CD= 由③易证∠ECF=90° 在Rt△EDF和Rt△ECF中，点M为EF的中点，连接MD和MC ∴DM=CM= ∴点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H ∴当NM⊥MH时，MN的最小，易知MN∥BC，MH∥AB，CH== 取BC的中点G，连接NG，则CG== ∴NG为△ABC的中位线 ∴NG∥AB ∴MH∥NG ∴四边形NMHG为平行四边形 ∴此时MN=GH=CG－CH=    即MN的最小值为． 14．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 题型五：相似三角形的综合问题 1.问题情境：如图1，在中，，是边上的中线．如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H．      猜想证明： (1)如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决； (2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析；(2)30 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到，即可得出结论． （2）先证明四边形为平行四边形，过点作于点，等积法得到的积，推出四边形的面积，即可得解． 【详解】解：（1）证明：四边形是菱形，理由如下： ∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， 由（1）知：，， ∴， 过点作于点，    ∵， ∴， ∵四边形的面积，， ∴四边形的面积． 2.我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为_____； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点，理由见解析 【分析】（1）由黄金比值直接计算即可； （2）如图，连接GE，设BG=x，则AG=20-x，易证得四边形EFCD是矩形，可求得CE，由折叠知GH=BG=x，CH=BC=20，进而EH=CE-CH，在Rt△GAE和Rt△GHE中由勾股定理得关于x的方程，解之即可证得结论； （3）当PB=BC时，证得Rt△PBF≌Rt△CBF≌Rt△BAE,则有BF=AE，设BF=x，则AF=a-x，由AE∥PB得AE:PB=AF:BF，解得x，即可证得结论． 【详解】解：（1）AB=×20=（）(cm)， 故答案为：； （2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠D=90º， 由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90º，AE=ED=10， 在Rt△CDE中，CE=， ∴EH=， 在Rt△GHE中， 在Rt△GAE中，, ∴， 解得：x=， 即， ∴是的黄金分割点； （3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点． 理由：∵， ∴∠BCF+∠CBE=90º，又∠CBE+∠ABE=90º， ∴∠ABE=∠BCF， ∵∠A=∠ABC=90º，AB=BC， ∴△BAE≌△CBF（ASA）， ∴AE=BF， 设AE=BF=x，则AF=a-x， ∵AD∥BC即AE∥PB， ∴即， ∴， 解得：或(舍去)， 即BF=AE=， ∴， ∴、分别是、的黄金分割点． 3.如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析；(2)①，；②或 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， 又； ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 取中点，连接，，作于N， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ∴，，， 根据垂线段最短知， 又， ∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为； ②∵，， ∴， 同理 ∴为直角三角形时，只有， 当A和重合时，如图， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， ∴为直角三角形， 此时旋转角； 当和C重合时，如图， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， 又 ∴为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 【答案】(1)y＝﹣x+9；(2)①m；②m2；③或15﹣2． 【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可； （2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标； ②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果； ③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可． 【详解】解：（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b， ∴， 解得． ∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9； （2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9， 令y＝0，则x＝12， ∴A（12，0）， ∴OA＝12，OB＝9， ∴AB＝15； 如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F， ∴CF∥OA， ∴∠OAB＝∠FCC′， ∵∠C′FC＝∠BOA＝90°， ∴△CFC′∽△AOB， ∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15， ∵CC′＝m， ∴CF＝m，C′F＝m， ∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m）， ∵C（8，3）， ∴直线OC的解析式为：y＝x， ∴E（8﹣m，3﹣m）. ∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m． 故答案为：m． ②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m）， 解得m＝ ， ∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC， 此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2； 故答案为：m2． ③分情况讨论， 当0＜m＜时，由②可知，S＝m2； 令S＝m2＝ ，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）； 当≤m＜5时，如图2， 设线段A′D′与直线OC交于点M， ∴M（m，m）， ∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3， D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8； ∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8） ＝﹣m2+m﹣12， 令﹣m2+m﹣12＝； 整理得，3m2﹣30m+70＝0， 解得m＝ 或m＝＞5（舍）； 当5≤m＜10时，如图3， S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意； 当10≤m＜15时，如图4， 此时A′B＝15﹣m， ∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m）， ∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2， 令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2． 故答案为：或15﹣2． 5.已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O． (1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______； (2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边． ①如图2，当与重合时，连接，若，求的长； ②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：． 【答案】(1)等腰三角形，；(2)①；②见解析 【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解． （2）①过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解． ②连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论． 【详解】解：（1）解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示： ∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD， ∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°， ∴四边形ABHC是矩形， ∴AC=BH， 又∵BD=2AC， ∴AC=BH=DH，且CH⊥BD， ∴的形状为等腰三角形， ∵AC、BD都垂直于l， ∴， ∴△AOC∽△BOD， ，即， ， 故答案为：等腰三角形，． （2）①过点E作于点H，如图所示： ∵AC，BD均是直线l的垂线段， ∴， ∵是等边三角形，且与重合， ∴∠EAD=60°， ∴， ∴， ∴在中，，， 又∵，， ∴， ∴，AE=6 在中，， 又由（1）知， ∴，则， ∴在中，由勾股定理得：． ②连接，如图3所示： ∵， ∴， ∵由（1）知是等腰三角形， ∴是等边三角形， 又∵是等边三角形， ∴绕点D顺时针旋转后与重合， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 6.如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②；(2)，理由见解析 【分析】（1）①根据，得出为的中点，证明出即可；②先证明出得到，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解； （2）连接交于点，证明，进一步证明出四边形为平行四边形，得出为的中位线，得到，再证明出得到，再通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）解：①， 为的中点， ， 是边的中点， ， ， 在中， ∴， 又∵， ， ， 是的中点； ②， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图：    由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点， ， 又， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的中点， ， ， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ． 7.在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，，根据勾股定理得， ，继而得出的值即可； （3）由（2）可得得出，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据勾股定理以及已知条件，分别求得，根据得出，根据得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：，，． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴ （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去） ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 8.问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．      【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：问题背景：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，    ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 9.如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10.数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．    【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三] 【分析】[探究一]证明，即可得证； [探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明 [探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：[探究一] ∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴ ∴ [探究二]证明：如图所示，    ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵公共角， ∴； [探究三] 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．    ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版九上月考压轴题专项训练 题型一 二次函数的实际应用 题型二 二次函数与几何综合 题型三 反比例函数与几何综合 题型四 相似三角形常见模型 题型五 相似三角形的综合问题 题型一：二次函数的实际应用 1.“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 2.如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式． (2)求小球到斜坡的最大距离． (3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标． 3.如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱漫在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？（参考数据：取，，，） 4.【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 5.综合与实践 问题情境： 为给九年级学子加油鼓劲，某学校举办了中考百日誓师活动，特意搭建了一座如图1所示的充气“成功门”，充气“成功门”的形状可近似看作抛物线，“成功门”内对称竖立着两根同样高的竖直充气红柱，上面分别写有“全力以赴”“中考必胜”的励志标语． 数学建模： 如图2，已知充气“成功门”底部的宽度为，最高点距地面．以点为坐标原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该充气“成功门”对应抛物线的函数表达式． 问题解决： (2)若充气“成功门”内两立柱，间的水平距离为，求立柱的高度． (3)活动最后一项为各班同学排成列纵队依次通过“成功门”（纵队居中行走），且相邻两列纵队之间的水平间距保持，第一排靠近立柱的同学高举本班班旗．为了安全通过该“成功门”，请直接写出班旗旗顶到地面垂直距离的最大值． 6.如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． (2)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 7.2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 8.甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为46米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①_________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为160平方米，求的长． (2)如图2，当时，直接写出养鸡场可达到的最大面积_________． 9.如图，在矩形中，，．动点P从点B出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，设和矩形重叠部分的面积为S． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点E落在边上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 10.综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 题型二：二次函数与几何综合 1.在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是线段上方的抛物线上一动点，过点P作 ，交于Q，请问线段是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转 后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4.在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 5.如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 7.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8.如图，二次函数的图象经过点和点，与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)在轴上方的二次函数图象上有一动点． ①如图，作射线，当平分时，求点的坐标； ②如图，连接，，设点的横坐标为，当为锐角三角形时，求出的取值范围． 9.如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 10.如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 题型三：反比例函数与几何综合 1.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中___________，____________． …… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …… …… -3.8 -2.5 -1 1 5 5 -1 -3.8 …… ②描点：请根据表中所给的数值在图中描点； ③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象； (2)探究函数性质 ①当时，函数值y随着自变量x的增大而______________；（填“减小”或“增大”） ②函数的图象关于___________对称； (3)运用函数图象及性质 ①点，，在函数图象上，请比较，，的大小（    ） A．    B．    C．    D． ②点，在函数图象上，请比较，的大小（    ） A．    B．    C．    D．不确定 ③写出方程的解_____________； ④写出不等式的解集___________． 2.综合与实践 在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为米的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），使得矩形花园的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？ (1)由简单情形入手，分析问题 假设篱笆长为4米，即时，设米，米，根据题意可得，解得_______________，______________，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”； (2)建立函数模型，画出函数图象 设米，米，依题意得，得到与的函数关系式为．再由篱笆长为米，得，即．兴趣小组的思路是用函数与函数来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”． 接下来先画函数的图象： 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算出对应的值，如表格所示， … 0 2 3 4 … … 4 3 2 … 描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 任务： ①上面表格中，___________，___________； ②请你将下图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来； (3)观察函数图象，数形结合解决问题 ①一次函数的图象可由直线平移得到．当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，此时交点坐标为，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长的范围，请你写出的取值范围，并说明理由； ②在直线平移的过程中，直接写出当为时“完美矩形”的长． 3.知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． (3)拓展延伸 如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值． 4.在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 5.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 6.如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值． 7.杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 8.定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： (1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； (2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； (3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 9.反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 10.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型四：相似三角形常见模型 1.一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）． 2.如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 3．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 5．已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA． （1）求证：AD＝DE； （2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．    6．如图，、是的两条高，连． （1）求证：； （2）若，点为的中点，求的值． 7．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 8．已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 9．在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过分别作交于，于． ①求证：； ②求的值． 10．（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    11．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 12．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 13．已知中点分别在边、边上，连接点、点在直线同侧，连接且． （1）点与点重合时， ①如图1，时，和的数量关系是 ；位置关系是 ；      ②如图2，时，猜想和的关系，并说明理由； （2）时， ③如图3，时，若求的长度； ④如图4，时，点分别为和的中点，若，直接写出的最小值． 14．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 题型五：相似三角形的综合问题 1.问题情境：如图1，在中，，是边上的中线．如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H．      猜想证明： (1)如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． 问题解决； (2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积． 2.我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为． （1）在图①中，若，则的长为_____； （2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 3.如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 5.已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O． (1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______； (2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边． ①如图2，当与重合时，连接，若，求的长； ②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：． 6.如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 7.在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 8.问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．      9.如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 10.数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．    【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $