3.4圆周角与圆心角的关系（2） 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦九年级下册“3.4圆周角与圆心角的关系（2）”，核心内容包括圆周角定理推论（直径所对圆周角是直角、90°圆周角所对弦是直径）及圆内接四边形性质（对角互补、外角等于内对角）。通过知识回顾复习圆周角定理，以图形观察引导探索新知，逆向探究形成完整知识脉络，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“观察猜想—演绎证明”为主线，通过图形观察培养数学眼光，如探索直径所对圆周角特点；逻辑推理发展数学思维，如证明90°圆周角所对弦是直径；规范几何语言强化数学表达，如归纳小结中的定理表述。巩固练习结合具体题目应用性质，助力学生发展推理意识与应用意识，教师可借此提升教学效率。

初中数学九年级(下) 3.4圆周角与圆心角的关系（2） 知识回顾 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半. 求图1中∠α 的度数. ∠α =_______ ∠α =________ 35° 120° A O 70° α C A O α 120° C D B 图1 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探索新知 观察图2，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ A B C O 图2 解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°. ∵BC为直径， ∴∠BOC=180°. ∴ 推论：直径所对的圆周角是直角 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探索新知 如图3，如果圆周角∠BAC=90°，那么弦BC是直径吗？为什么？ ∴BC是⊙O的一条直径. B C A O 图3 解：弦BC是直径. 连接OC，OB. ∵∠BAC=90°， ∴∠BOC=2∠BAC=180°（圆周角的度数 等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）. ∴B，O，C三点在同一直线上. 推论：90°的圆周角所对的弦是直径 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 归纳小结 几何语言： ∵BC为直径， ∴∠BAC=90°. 几何语言： ∵∠BAC=90°， ∴BC为直径. A B C O B C A O 推论：直径所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 深入思考 （1）如图4，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径， ∴∠BAD与∠BCD互补. A B C O D 图4 解：∠BAD与∠BCD互补. ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，∠ADC=90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. 请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 深入思考 （2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系 还成立吗？为什么？ A B C O D 1 2 ∵ （圆周角的度数等 于它所对弧上圆心角的一半）， 图5 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立. ∵∠1+∠2=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补. 如图5，连接OB，OD. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 深入思考 （3）观察图6，两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形. A B C O D A B C O D 图6 这个圆叫做四边形的外接圆.. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 A B C O D （4）观察图7，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？ 圆内接四边形的对角互补. 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）. A B C O D 图7 归纳小结 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学以致用 ∴∠A=∠DCE. A B C O D E 图8 解：∠A=∠DCE. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角 互补）. ∵∠BCD+∠DCE=180°， 如图8，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 归纳小结 A B C O D E 图8 外角 内对角 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的任何一个外角等于它的內对角 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 巩固练习 1.如图，⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长. ∴ A B C O ∴∠BCA=90°. 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=10 ， 解：∵AB为直径， 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数. 解：∵∠BOD =80°， ∴ （圆周角的度数等于它所 对弧上的圆心角的度数的一半）. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠DAB+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-40°=140°（圆内接四边形的对 角互补）. A B C O D 巩固练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ∵AB为直径 ， ∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角）. ∴∠BCD+∠DCA=90°. ∵ ∠ACD=15°， ∴∠BCD=90°-15°=75°. ∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）. 3.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数. A B C O D 解法一：连接BC. 巩固练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数. A B C O D ∵∠ACD=15°， ∴∠AOD=2∠ACD =30°（圆周角的度数等于 它所对弧上的圆心角的度数的一半）. ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA. 又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°， ∴∠BAD=75°. 解法二：连接OD. 巩固练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 方法提升 圆周角 圆心角 弧 直角三角形 内接四边形 构造 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 反思提升 在得出本节课结论的过程中，你用到了哪些方法？有哪些收获？ 测量猜想 演绎证明 推论1：直径所对的圆周角是直角 90°的圆周角所对的弦是直径 特殊 一般 推论2：圆内接四边形对角互补 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的內对角 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 教师寄语： 行百里者半九十，只有坚持才能收获最美好的风景 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 $$