专题3.4 圆周角和圆心角的关系（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“圆周角和圆心角的关系”核心知识点，系统梳理圆周角定义、定理及推论（同弧等圆周角、直径对直角等）、圆内接四边形性质，构建“定义辨析-定理理解-综合应用”的递进学习支架，衔接圆心角知识与圆的后续性质探究。 资料以素养导向设计，8个考点均配典例精讲与变式训练，通过图形直观呈现圆心与圆周角位置关系等，培养几何直观与推理意识。中考真题演练贴合课标要求，难度分层（基础夯实、培优拔高）满足差异化需求，课中辅助教师突破重点，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与创新意识。

专题3.4 圆周角和圆心角的关系 【知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆周角的定义 1 知识点梳理02：圆周角定理 2 知识点梳理03：圆内接四边形 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求圆弧的度数 3 考点2：圆周角的概念辨析及简单运算 5 考点3：圆周角定理 7 考点4：同弧或等弧所对的圆周角相等 11 考点5：半圆(直径)所对的圆周角是直角 14 考点6：90度的圆周角所对的弦是直径 18 考点7：已知圆内接四边形求角度 24 考点8：求四边形外接园的直径 28 中考真题 实战演练 32 难度分层 拔尖冲刺 38 基础夯实 38 培优拔高 45 知识点梳理01：圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。 【易错点拨】 （1）圆周角具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（相交指的是除了顶点外，角两边分别与圆还有另一个交点）。 （2）圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角。 （3）一条弧所对的圆周角有无数个。 知识点梳理02：圆周角定理 1. 圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 2.圆周角定理的推论： 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 【易错点拨】 (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角 的外部．（如下图） 知识点梳理03：圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 【易错点拨】 当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 考点1：求圆弧的度数 【典例精讲】（2024·北京·三模）如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，注意数形结合思想的应用．根据是等边三角形，得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【规范解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵点O在过点A且平行于的直线上运动， ∴， 作关于直线的对称点，在圆上，连接，， 则， ∴，， ∴， ∴B，A，G三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所对的圆周角的度数是， 故答案为：． 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】94 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质、圆周角等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，首先根据题意可知，由“两直线平行，同位角相等”可得，再根据圆周角定理可得，进而求得的值，即可获得答案． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，的度数为，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 故答案为：94． 【变式训练2】（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系．先利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再求得，最后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是半的内接四边形， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 考点2：圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【规范解答】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【变式训练1】（24-25九年级下·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【规范解答】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（2024九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【规范解答】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点3：圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、最短路径问题，明确问题中的不变元素，化折为直是解题关键． 由可证，进而可证，令为中点，可得，说明点的运动轨迹为在矩形内的半圆上，再根据“最短距离=点到圆心的距离-圆的半径”求解即可． 【规范解答】解：如图，设中点为，连接． 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 则点的运动轨迹为以点为圆心，为半径，且在矩形中的半圆， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，A，B，C是上的三点，且C是弧的中点，弦于点E，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了利用三角函数的定义求线段，圆的性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握三角函数的定义，利用勾股定理，得到方程． 如图，作直径，连接，先根据弦，弧的关系可得，，利用三角函数的定义可得，设，利用勾股定理可得，求解即可． 【规范解答】解：如图，作直径，连接， ∵， ∴， ∵C是弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， 由勾股定理得，即，解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，求出、即可解决问题． 【规范解答】解：作于，连接．   ， ， 在中，，， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：． 考点4：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（2024·江苏南京·二模）如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证； （）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证； 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴都在的垂直平分线上， ∴． 【变式训练1】（24-25九年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）连接，容易得到和相等，利用证明和全等即可； （2）连接，设，则，根据容易求出，再根据垂径定理求出的值，最后在中根据勾股定理求出r的值即可． 【规范解答】（1）证明：如图：连接， ∵于E，于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图： 连接，设，则， 由（1）可知， ∴， ∵于E，， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的半径为． 【变式训练2】（2025·浙江丽水·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直角所对的圆周角是直角得到的度数，则可求出的度数，据此可得答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 考点5：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（2025·吉林长春·一模）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【规范解答】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由尺规作图可知：平分， ∴， ∴； 故选：D． 【变式训练1】（2024·广东江门·二模）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)ODAB，证明见解析 【思路点拨】（1）根据，证得，进而根据垂径定理证得； （2）先证明是的中位线，得出，进而得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想 ． ∵，， ∴． ∵，， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【变式训练2】（2025·安徽合肥·二模）如图，为的直径，C为上的一点，过点C作，交于点D，交于点E，连接，，过点C作于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1 ）根据已知条件和直角三角形的性质证明，根据对顶角相等的性质，得从而证明； （2 ）根据垂径定理求出，最后在中，利用勾股定理求出，进而求出即可． 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理及勾股定理． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，为的直径，， ∴， 设的长为x，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴的半径为． 考点6：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（2025·安徽芜湖·二模）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则 ； （2）若，，则 ． 【答案】 /45度 【思路点拨】（1）根据题意可得点A，B，F，P均在以为直径的圆上，再由圆周角定理，即可求解； （2）连接，过点P分别作于点Q，于点K，可得四边形为矩形，从而得到，证明，可得，从而得到，进而得到，再由均为等腰直角三角形，可得，再由勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理解答即可．． 【规范解答】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴点A，B，F，P均在以为直径的圆上， ∴； 故答案为： （2）如图，连接，过点P分别作于点Q，于点K， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式训练1】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，先将两块含的三角板和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接，设． (1)当时，_______；当时，_______； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 _______． 【答案】(1)2，30或210 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了三角形综合应用，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活应用旋转的性质． （1）当时，A，，B共线，A，D，C共线，可得是等边三角形，故；当时，过点A作于点H，分两种情况画出图形，可得答案； （2）画出图形，可得，，故，同理，从而两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）连接，由，点F为的中点，知，故点F的运动轨迹是以为直径的圆，利用圆的周长公式即可得答案． 【规范解答】（1）解：如图， 则，， ∴， 当时，A，，B共线，A，D，C共线， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，过点A作于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图， 同理可得， ∴， ∴当时，或； 故答案为：2；30或210； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴两块三角板重叠部分图形的面积为； （3）解：连接，如图， ∵，F为中点， ∴， ∴点F的运动轨迹是以为直径的圆， ∴点F的运动路径长为， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵菱形的边长为4，，为边上的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧， 如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是， ∴， ∴， ∴， 即线段长度的最大值是， 故选：C． 考点7：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由垂径定理得，，则有，，然后通过三角形的内角和定理即可求证； （）由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出的值即可． 【规范解答】（1）证明：设与交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵平分， ∴， 设，则， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 【变式训练1】（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆内接四边形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．在上的优弧上任取一点，连接，，，利用圆内接四边形性质得出，利用圆周角定理得出，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，在上的优弧上任取一点，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路点拨】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点C作于H，， 设，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， 同理可证明 ， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得. 考点8：求四边形外接园的直径 【典例精讲】（2023·重庆江北·一模）如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，由圆内接四边形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的度数，由锐角的正弦求出的长．关键是求出的度数，圆的半径长，并掌握弧长公式． 【规范解答】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于， ， ， ， ，， ， ， 的半径为4． 故选：A． 【变式训练1】（2025·河南濮阳·一模）如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 12 6 【思路点拨】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、圆内接四边形，过点作于点，如图1所示．根据锐角三角函数求出，最后求出，再根据运动情况及圆的性质，判断求出最大和最小值，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【规范解答】解：过点作于点，如图所示， ，， ，． 在中，， ， ， ，， ， 点，，，四点共圆， 是此圆的直径时，最大， ， 时，最大， 当，有最大值， 当时，设与交于点， ， ， ， ， ，四边形为菱形， ， ， ，则， 的最大值为12， 如图，当点与点重合时，有最小值， 此时， 的最小值为6． 故答案为：12；6． 【变式训练2】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】如图，作于，于．连接，，．设，则．根据，可得，解得，推出，由，，，四点共圆，推出当的直径最小时，的长最小，根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，由此即可解决问题． 【规范解答】解：如图，作于，于．连接，，．设，则． ， ， 解得， ，， ，，， ， ， ，， ， ，，，四点共圆， 当的直径最小时，的长最小， 根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，的最小值为， 此时，， 的最小值为， 故答案为：． 1．（2024·江苏泰州·中考真题）如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识点，根据半径弦，由垂径定理可得，结合圆周角定理可推出得是等腰直角三角形，即可求解. 【规范解答】解：∵半径弦， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 2．（2024·全国·中考真题）如图,是的直径，点C在上，连接，以为边作菱形交于点，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，则的长度为 的长度为 ． 【答案】 3 【思路点拨】本题考查了圆的性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用垂径定理得到线段相等关系，结合菱形边长相等的特性，再通过三角函数和勾股定理逐步推导线段长度． 由及垂径定理得，；利用勾股定理求出，根据菱形性质得，进而算出；连接，由是直径得，通过的等量关系求出，再利用求出；过作，结合菱形得，利用三角函数求出和，证得垂直平分，从而得出． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ． 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴ ，即 ， 即 ，解得 ． ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴ ， 如图，过H作于M， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴垂直平分， ∴ ． 故答案为：3，． 3．（2024·甘肃武威·中考真题）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了圆周角定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质．连接，根据题意得出，根据勾股定理求出，再根据角的直角三角形的性质即可得解． 【规范解答】解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 故选：B． 4．（2024·广东江门·中考真题）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据可知点E在以为直径的半上，再进一步求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴点E在以为直径的半上， 连接交于点， ∴当点E位于点位置时，线段取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 则. 故选：B． 5．（2024·福建龙岩·中考真题））如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理的推论得出，根据平行线的性质推得，然后根据垂径定理即可证明； （2）根据勾股定理得出，根据垂径定理得出，结合勾股定理即可求出，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵是的直径，点是上的点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴点为弧的中点． （2）解：∵，，， 故在中，， ∵， ∴， ∵， 故在中，， ∴． 基础夯实 1．（24-25九年级下·安徽淮北·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】先根据弧中点的意义得出，再根据直径所对的圆周角是直角得出，从而可利用勾股定理得出，进而得到，再利用圆周角定理得出，从而可求得，于是有，从中可求得． 【规范解答】解：连接， ∵点B是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 故选：C． 2．（24-25九年级下·福建宁德·月考）如图，是的直径，点，在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：，， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级下·陕西·期末）如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理的应用，熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）及勾股定理是解题的关键． 连接、，利用圆周角定理得出圆心角，再结合等腰直角三角形的性质计算弦的长． 【规范解答】解：连接、． ∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得 ， 故选：C． 4．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，点、、、在上，，若，则 度． 【答案】 【思路点拨】此题考查了垂径定理和圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据垂径定理可得点是中点，由圆周角定理可得，继而得出答案． 【规范解答】解：， ∴， ∴． 故答案为：28． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【思路点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【规范解答】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 6．（2024·广东清远·一模）如图，同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角是 ． 【答案】/50度 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据圆周角定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵所对的圆心角是， ∴所对的圆周角是， 故答案为：． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，，是的两条半径，点在上，若，则度数为 【答案】/60度 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据同圆中，同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半直接求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级下·全国·期末）如图，是的外接圆，是的直径，于点．求证：． 【答案】证明见详解 【思路点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理的推论等知识，熟记垂径定理及圆周角定理的推论是解决问题的关键． 先由垂径定理可得，再由圆周角定理的推论：等弧所对的圆周角相等即可得证． 【规范解答】证明：∵是的直径，， ∴由垂径定理可知，， ∴． 9．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 10．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【规范解答】（1）证明： ， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． 培优拔高 11．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 【答案】B 【思路点拨】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【规范解答】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示：    当时，， ， 故选：B． 12．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【思路点拨】作，于E，于M，连接．在中，，则，根据垂线段最短可知，点E与M重合时，的值最小，最小值为． 【规范解答】解：作，于E，于M，连接． ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 故选：B． 13．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，以为直径的圆分别交边，于点D，E，连接，若所对的圆心角比所对的圆心角大，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接、、，设，得到，再证明，根据解得，即可求出，最后由圆内接四边形得到． 【规范解答】解：连接、、， 设， ∵所对的圆心角比所对的圆心角大，， ∴， ∵为直径的圆 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵A、B、E、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 14．（2025·江苏连云港·二模）如图，点A，B，C都在上，若，，则的度数为 ° 【答案】75 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点D，连接，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用圆内接四边形的性质可得，从而可得，进而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形的性质可得，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【规范解答】解：延长交于点D，连接， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查圆的性质与角平分线的性质，掌握“直径所对圆周角为直角、三角形内角和及角平分线的定义”是解题的关键．由是外接圆直径得，故；又是内切圆，平分，则，因此． 【规范解答】是的直径， ， ， 是的内切圆， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 16．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是 ． 【答案】/34度 【思路点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角得出，利用圆内接四边形的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可． 【规范解答】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 17．（24-25九年级下·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值 ． 【答案】2 【思路点拨】要想求的最小值，则需要知道点F的轨迹，由题意可知，因为点F是因点E而变化的，这意味着点F在以为弦的上运动，且为定值，设F在以为弦的上运动，，，在中可求得 的半径，在中求出，点A在外，要想最短，点F应在线段上，问题进而得解． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 点F在以为弦的上运动， 当A、F、O三点共线时，即F运动到位置时，最小， ， ， ， ， ，， ， ， ，即AF最小值为2． 故答案为：2． 18．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)25° (2)2 【思路点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题； （2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图，连接． ，是的直径， ． ， ． ，， ， ． ． （2）如图，连接． ，． ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ，是的直径， ． 19．（24-25九年级下·全国·期末）四边形为的内接四边形，连接相交于点E． (1)如图①，连接，已知． 求证：； (2)如图②，若，延长相交于点F，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据圆周角定理易证明，得到，即可求证； （2）由勾股定理得到，由，得到为直径，又有得到，．进而证明，利用对应线段成比例及勾股定理即可求出； 【规范解答】（1）证明∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴，为的直径． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．． ∵， ∴． ∴． 20．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知、是以为直径的上的两点，连接、、，若，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查圆的基本性质、平行线的性质，理解“相等的圆心角所对的弧相等”是解题关键． 由半径相等得，由平行线得，，进而推出圆心角相等，再证弧相等． 【规范解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 圆周角和圆心角的关系 【知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆周角的定义 1 知识点梳理02：圆周角定理 2 知识点梳理03：圆内接四边形 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求圆弧的度数 3 考点2：圆周角的概念辨析及简单运算 3 考点3：圆周角定理 5 考点4：同弧或等弧所对的圆周角相等 5 考点5：半圆(直径)所对的圆周角是直角 7 考点6：90度的圆周角所对的弦是直径 8 考点7：已知圆内接四边形求角度 10 考点8：求四边形外接园的直径 11 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 16 知识点梳理01：圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。 【易错点拨】 （1）圆周角具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（相交指的是除了顶点外，角两边分别与圆还有另一个交点）。 （2）圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角。 （3）一条弧所对的圆周角有无数个。 知识点梳理02：圆周角定理 1. 圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 2.圆周角定理的推论： 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 【易错点拨】 (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3） 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角 的外部．（如下图） 知识点梳理03：圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 【易错点拨】 当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 考点1：求圆弧的度数 【典例精讲】（2024·北京·三模）如图，为等边三角形，点O在过点A且平行于的直线上运动，以的高为半径的分别交线段、于点E、F，则所对的圆周角的度数 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）如图，点在以为直径的半圆O上，且，若的度数为，则的度数为 ． 【变式训练2】（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是半圆的直径，点C，D在半圆上，且D为的中点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 考点2：圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【变式训练1】（24-25九年级下·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．    B．   C．   D．   【变式训练2】（2024九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 考点3：圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期末）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接．在上取一点，满足，则长度的最小值为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，A，B，C是上的三点，且C是弧的中点，弦于点E，若，则的长为 ． 【变式训练2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为 ． 考点4：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（2024·江苏南京·二模）如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 【变式训练1】（24-25九年级下·浙江金华·期中）如图，在中，为弦，为直径，于E，于F，与相交于G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式训练2】（2025·浙江丽水·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点5：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（2025·吉林长春·一模）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·广东江门·二模）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 【变式训练2】（2025·安徽合肥·二模）如图，为的直径，C为上的一点，过点C作，交于点D，交于点E，连接，，过点C作于点F，交于点G． (1)求证：． (2)若，求的半径． 考点6：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（2025·安徽芜湖·二模）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则 ； （2）若，，则 ． 【变式训练1】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，先将两块含的三角板和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接，设． (1)当时，_______；当时，_______； (2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； (3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 _______． 【变式训练2】（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 考点7：已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)点为上一点，平分，且，求的度数． 【变式训练1】（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ． 【变式训练2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 考点8：求四边形外接园的直径 【典例精讲】（2023·重庆江北·一模）如图，内接于，，，则的半径为（   ） A．4 B． C． D． 【变式训练1】（2025·河南濮阳·一模）如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为 ，最小值为 ． 【变式训练2】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ． 1．（2024·江苏泰州·中考真题）如图，中，半径弦于点D，点E在上，，则半径等于 ． 2．（2024·全国·中考真题）如图,是的直径，点C在上，连接，以为边作菱形交于点，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，则的长度为 的长度为 ． 3．（2024·甘肃武威·中考真题）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 4．（2024·广东江门·中考真题）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·福建龙岩·中考真题））如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． (1)求证：点为弧的中点； (2)若，，求的长． 基础夯实 1．（24-25九年级下·安徽淮北·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建宁德·月考）如图，是的直径，点，在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·陕西·期末）如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．6 4．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，点、、、在上，，若，则 度． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ． 6．（2024·广东清远·一模）如图，同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角是 ． 7．（2024·广东·模拟预测）如图，，是的两条半径，点在上，若，则度数为 8．（25-26九年级下·全国·期末）如图，是的外接圆，是的直径，于点．求证：． 9．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 10．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 培优拔高 11．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 12．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 13．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，以为直径的圆分别交边，于点D，E，连接，若所对的圆心角比所对的圆心角大，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江苏连云港·二模）如图，点A，B，C都在上，若，，则的度数为 ° 15．（24-25九年级下·全国·期末）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为 ． 16．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是 ． 17．（24-25九年级下·江苏镇江·期中）如图，已知中，，，，点E在射线上运动，连接，过点A，B，E三点的圆交于点E，则的最小值 ． 18．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 19．（24-25九年级下·全国·期末）四边形为的内接四边形，连接相交于点E． (1)如图①，连接，已知． 求证：； (2)如图②，若，延长相交于点F，，求的长． 20．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知、是以为直径的上的两点，连接、、，若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $