第04讲 一次方程（组）及其应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次方程（组）及其应用”核心考点，涵盖一元一次方程解法与应用、二元一次方程组解法与应用，构建“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-分层训练”系统复习框架，通过真题梳理与方法指导突破古代数学文化应用等难点。 亮点在于融合数学文化与核心素养，如以《九章算术》“凫雁相逢”问题为典例，培养学生抽象能力与模型意识，采用“消元思想+整体思想”策略提升推理能力。分层练习与限时训练结合，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第二章 方程与不等式 第04讲 一次方程（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 5 命题点一 一元一次方程的解法 题型01 根据一元一次方程的解求参数的值 题型02 一元一次方程的解法 命题点二 一元一次方程的应用 题型01 根据实际问题列方程 题型02 用一元一次方程解决实际问题 命题点三 二元一次方程组的解法 题型01 根据二元一次方程组的解求代数式的值 题型02 解二元一次方程组 命题点四 二元一次方程组的应用 题型01用二元一次方程解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 8 突破一 与古代数学文化有关的一元一次方程 突破二 用二元一次方程解决实际问题 06·优题精选·练能提分 9 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程 连云港T6 无锡T11 无锡T7 宿迁T6 扬州T15 连云港T7 宿迁T6 理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义， 掌握等式的基本性质；能解一元一次方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 二元一次方程组 淮安T6 宿迁T7 南通T14 盐城T14 徐州T11 连云港T22 宿迁T17 无锡T13 淮安T20 苏州T18 徐州T22 无锡T3 南通T10 盐城T13 南京T22 连云港T18 掌握消元法，能解二元一次方程组，能针对具体问题列出方程组；理解方程组解的意义，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 命题预测 2026 年江苏中考数学对一元一次方程和二元一次方程组的考查将呈现 "基础强化、应用创新、素养导向" 的特点：基础题占比提升但更注重理解而非记忆；应用题情境更丰富多元，强调数学建模能力；同时，作为重要工具，方程组将更多地与其他知识融合考查，体现数学的整体性和应用性。根据近三年江苏各城市对一次方程的考查情况可以看出重点会考查二元一次方程组的解法和应用，对一元一次方程的考查会融于二元一次方程组中考查，一般很少会单独考查。 考点一 一元一次方程 1.等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2.一元一次方程概念及其解法 （1）一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程． 它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． （2）一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 易错指点 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去分母时有两点易错处：（1）不含分母项漏乘分母最小公倍数；（2）分子是多项式的忘记添加括号。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号时，括号前是“”的忘记括号内各项变号。 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 移项忘记变号 合并同类项 把方程化成的形式 合并同类项法则不熟悉导致错误 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 系数化成1的时候，两边同除以未知数的系数，结果分母分子写颠倒。 3.一元一次方程的应用常用题型及等量关系： （1）销售问题中的数量关系： 利润售价-进价； 利润率=×100％； 售价=标价×折扣； 销售额=售价×数量． （2）工程问题中的数量关系： 工作量=工作效率×工作时间． （3）行程问题中的数量关系： 路程=速度×时间． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 二元一次方程组 1.二元一次方程组的概念及其解法 （1）二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． （3）元一次方程组解法的基本思想和转化思想： 消元思想（代入消元法和加减消元法）．转化思想（二元方程转化成一元方程） 2.二元一次方程（组）的应用一般步骤： （1）审题，找出等量关系； （2）设出未知数，可直接设，也可间接设； （3）根据等量关系列方程组； （4）解方程组； （5）检验结果的合理性； （6）写出答案． 1．（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 命题点一 一元一次方程的解法及应用 ►题型01 运用一元一次方程的解决古代数学问题 / 【典例】．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙两人不知有多少钱．若甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱数的，则乙也有50钱．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱，则根据题意列方程（    ） A． B． C． D． ►题型02 一元一次方程的解的概念 / 【典例】．（2025·江苏宿迁·二模）下列四个数中，是一元一次方程的解的是（    ） A． B．1 C．5 D．10 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）已知是方程，那么m的值是（   ） A． B． C． D．3 2．（2024·江苏连云港·二模）若是关于x的方程的解，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 命题点二 二元一次方程组的解法及应用 ►题型01 二元一次方程组的解法 / 【典例】．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【变式】 1.（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． ►题型02 二元一次方程组的应用 / 【典例】．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【变式】 1．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 突破一 利用二元一次方程组+整体思想求代数式的值 【典例】．（2025·江苏盐城·三模）关于、的方程组则的值为 ． 【变式】 1．（2025·江苏淮安·二模）已知是方程的一个解，则的值是 ． 2．（2025·江苏无锡·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 突破二 利用消元思想求解问题 【典例】．（2025·江苏镇江·模拟预测）设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则 ． 【变式】 1．（2025·江苏南京·二模）已知实数，满足方程组，则的值为 ． 2．（2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ． 1．（2025·江苏·模拟预测）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 3．（2025·江苏扬州·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·二模）把一些糖果分给学生，如果每名学生分5颗糖果，那么多3颗糖果；如果每名学生分6颗糖果，那么最后一名学生只有4颗糖果．设一共有名学生，颗糖果，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏苏州·二模）我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少两银子？（1斤等于10两） 其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少银？ 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶ 8．（2025·江苏镇江·二模）解方程组： 9．（2025·江苏苏州·一模）解方程组：． 10．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 1．（2025·江苏扬州·三模）有一批学生分配宿舍，如果每间宿舍住8人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住6人，那么有12个人剩下来没地住，设宿舍有x间，可列方程为： ． 2．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 3．（2025·江苏徐州·一模）若x，y满足方程组，则 ． 4．（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 5．（2025·江苏盐城·一模）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 6．（2025·江苏苏州·二模）解方程组：． 7．（2025·江苏泰州·三模）某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，饮料的成本价与销售价如下： 饮料品种 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 18 24 乙 22 25 (1)商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？ (2)该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？ 8．（2025·江苏宿迁·二模）某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 1．（2025·四川宜宾·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 4．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 5．（2025·青海·中考真题）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 8．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 9．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 10．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 11．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 12．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 13．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第04讲 一次方程（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 一元一次方程的解法 题型01 根据一元一次方程的解求参数的值 题型02 一元一次方程的解法 命题点二 一元一次方程的应用 题型01 根据实际问题列方程 题型02 用一元一次方程解决实际问题 命题点三 二元一次方程组的解法 题型01 根据二元一次方程组的解求代数式的值 题型02 解二元一次方程组 命题点四 二元一次方程组的应用 题型01用二元一次方程解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 14 突破一 与古代数学文化有关的一元一次方程 突破二 用二元一次方程解决实际问题 06·优题精选·练能提分 16 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程 连云港T6 无锡T11 无锡T7 宿迁T6 扬州T15 连云港T7 宿迁T6 理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义， 掌握等式的基本性质；能解一元一次方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 二元一次方程组 淮安T6 宿迁T7 南通T14 盐城T14 徐州T11 连云港T22 宿迁T17 无锡T13 淮安T20 苏州T18 徐州T22 无锡T3 南通T10 盐城T13 南京T22 连云港T18 掌握消元法，能解二元一次方程组，能针对具体问题列出方程组；理解方程组解的意义，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 命题预测 2026 年江苏中考数学对一元一次方程和二元一次方程组的考查将呈现 "基础强化、应用创新、素养导向" 的特点：基础题占比提升但更注重理解而非记忆；应用题情境更丰富多元，强调数学建模能力；同时，作为重要工具，方程组将更多地与其他知识融合考查，体现数学的整体性和应用性。根据近三年江苏各城市对一次方程的考查情况可以看出重点会考查二元一次方程组的解法和应用，对一元一次方程的考查会融于二元一次方程组中考查，一般很少会单独考查。 考点一 一元一次方程 1.等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2.一元一次方程概念及其解法 （1）一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程． 它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． （2）一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 易错指点 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去分母时有两点易错处：（1）不含分母项漏乘分母最小公倍数；（2）分子是多项式的忘记添加括号。 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号时，括号前是“”的忘记括号内各项变号。 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 移项忘记变号 合并同类项 把方程化成的形式 合并同类项法则不熟悉导致错误 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 系数化成1的时候，两边同除以未知数的系数，结果分母分子写颠倒。 3.一元一次方程的应用常用题型及等量关系： （1）销售问题中的数量关系： 利润售价-进价； 利润率=×100％； 售价=标价×折扣； 销售额=售价×数量． （2）工程问题中的数量关系： 工作量=工作效率×工作时间． （3）行程问题中的数量关系： 路程=速度×时间． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 考点二 二元一次方程组 1.二元一次方程组的概念及其解法 （1）二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． （3）元一次方程组解法的基本思想和转化思想： 消元思想（代入消元法和加减消元法）．转化思想（二元方程转化成一元方程） 2.二元一次方程（组）的应用一般步骤： （1）审题，找出等量关系； （2）设出未知数，可直接设，也可间接设； （3）根据等量关系列方程组； （4）解方程组； （5）检验结果的合理性； （6）写出答案． 1．（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，列出方程组即可． 【详解】解：设设合伙人数为x人，金价为y钱，由题意，得： ； 故选B． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分． 【答案】6 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得， 因此可列方程组， 故选D． 命题点一 一元一次方程的解法及应用 ►题型01 运用一元一次方程的解决古代数学问题 / 【典例】．（2024·江苏淮安·中考真题）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设有x间房，根据人数相等列一元一次方程即可． 【详解】解：设有x间房， 则， 故选：C． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙两人不知有多少钱．若甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱；若乙得到甲钱数的，则乙也有50钱．问甲、乙各有多少钱？设甲有钱，则根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲有钱，根据甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱可知乙有钱，再根据乙得到甲钱数的，则乙也有50钱列出方程即可． 【详解】解：设甲有钱， 由题意得，， 故选：A． ►题型02 一元一次方程的解的概念 / 【典例】．（2025·江苏宿迁·二模）下列四个数中，是一元一次方程的解的是（    ） A． B．1 C．5 D．10 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据移项，合并同类项，系数化为1，解答即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项，得， 系数化为 1 ，得． 故选：C． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·二模）已知是方程，那么m的值是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定义，解一元一次方程的方法是解题关键．根据方程的解得定义把代入方程转化为关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵是方程， ∴， 解得：， 故选：D． 2．（2024·江苏连云港·二模）若是关于x的方程的解，则m的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了方程的解和解一元一次方程等知识点 ，把方程的解代入方程，可得关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案，熟练掌握方程的解的定义和解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】把代入，得： ， 解得， 故选：A． 命题点二 二元一次方程组的解法及应用 ►题型01 二元一次方程组的解法 / 【典例】．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 【变式】 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 ►题型02 二元一次方程组的应用 / 【典例】．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 【变式】 1．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 突破一 利用二元一次方程组+整体思想求代数式的值 【典例】．（2025·江苏盐城·三模）关于、的方程组则的值为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组求解问题．本题可以通过将两个方程相加或相减来简化计算，直接得到的值，而无需单独求解的值． 【详解】解：观察， 将两个方程相加，得到：， 将上述方程两边同时除以3，得：． 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏淮安·二模）已知是方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据是方程的一个解，得，即，进行作答即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 即， ∴， 故答案为： 2．（2025·江苏无锡·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程的解与代数式求值的结合应用，以及因式分解的能力．将已知解代入方程得到关于a和b的关系式，再通过观察所求代数式的结构特征，利用完全平方公式进行因式分解求值． 【详解】解：将代入二元一次方程，得 ． ． 故答案为：25． 突破二 利用消元思想求解问题 【典例】．（2025·江苏镇江·模拟预测）设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则 ． 【答案】69 【知识点】数字类规律探索、加减消元法 【分析】本题考查了数字类的规律问题和整式的加减，解二元一次方程组，本题正确设未知数是关键．设这一列数中有个，个2，根据已知列方程组得，解方程组可得和的值，最后代入可得答案． 【详解】解：设这一列数中有个，个2， ，， ，， ， 解得：， ． 故答案为：69． 【变式】 1．（2025·江苏南京·二模）已知实数，满足方程组，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．解方程组得到、的值，即可求解． 【详解】解：， 得： ， 将代入②得：， 解得：， ， 故答案为：． 2．（2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、加减消元法 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，也考查了二元一次方程组的求解，熟知非负数的性质是解题的关键； 根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b后再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：1． 1．（2025·江苏·模拟预测）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把解代入得出一元一次方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，再解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：将代入得，， 解得， 故选：A． 2．（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者， ∴． 对化简： ，即，， ∴，也就是． 对变形可得． 把代入上式，得． 故选：C 3．（2025·江苏扬州·三模）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了列二元一次方程组，属于古代问题，由题意，根据等量关系：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，列出方程组即可． 【详解】解：苦果有x个，甜果有y个， 则根据九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，得方程； 根据四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，得方程； 故得方程组：； 故选：D． 4．（2025·江苏南京·二模）把一些糖果分给学生，如果每名学生分5颗糖果，那么多3颗糖果；如果每名学生分6颗糖果，那么最后一名学生只有4颗糖果．设一共有名学生，颗糖果，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 根据“如果每名学生分5颗糖果，那么多3颗糖果；如果每名学生分6颗糖果，那么最后一名学生只有4颗糖果”列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得，即． 故选B． 5．（2025·江苏苏州·二模）我国民间流传这样一道数学名题： 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少两银子？（1斤等于10两） 其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少银？ 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为 ． 故选：A 6．（2025·浙江杭州·一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答． 【详解】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人， ∴， 故选：D． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程组∶ 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：，解得； 把代入，得：，解得； ∴方程组的解为． 8．（2025·江苏镇江·二模）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，掌握运用加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键． 由可得，再与②结合，运用加减消元法先求解y，再求解x， 【详解】解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得 ， 解得：， 方程组的解为． 9．（2025·江苏苏州·一模）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 10．（2025·江苏徐州·二模）算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍；个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数． 【答案】这个三位数是648 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键； 由题意可知：这个三位数的百位数字是6，设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意可知：这个三位数的百位数字是6， 设这个三位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意可得： ，即， 解得：， ∴这个三位数是648； 答：这个三位数是648． 1．（2025·江苏扬州·三模）有一批学生分配宿舍，如果每间宿舍住8人，最后多余1间宿舍；如果每间宿舍住6人，那么有12个人剩下来没地住，设宿舍有x间，可列方程为： ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到题目中的等量关系，列出方程．设宿舍有x间，则学生人数为人或人，进一步可得方程． 【详解】解：设宿舍有x间， 由题意可得：， 故答案为：． 2．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 3．（2025·江苏徐州·一模）若x，y满足方程组，则 ． 【答案】7 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．求解即可． 【详解】解：， ，得． 故答案为：7． 4．（2025·江苏盐城·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用． 【详解】解：将代入原方程组得， 得：， ∴的值为6． 故答案为：6． 5．（2025·江苏盐城·一模）已知方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将x看做已知数求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江苏苏州·二模）解方程组：． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 首先用加减消元法消去y求出x，然后代入原方程求出y即可． 【详解】解：， 由①+②得：，解得：， 将代入①，得：，解得：， ∴原方程组的解为． 7．（2025·江苏泰州·三模）某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，饮料的成本价与销售价如下： 饮料品种 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 18 24 乙 22 25 (1)商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？ (2)该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？ 【答案】(1)商场购进甲种饮料箱，乙种饮料箱 (2)销售完这150箱饮料后可获得利润750元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意列二元一次方程组，利用代入法解方程组即可； （2）根据总利润甲种饮料利润乙种饮料利润解题． 【详解】（1）解：设购进甲种饮料x箱，乙种饮料y箱，根据题意可得， ， 由①得，③， 把③代入②中，得， ， ， 把代入③得， 解得， 答：商场购进甲种饮料箱，乙种饮料箱； （2）解：(元)， 答：销售完这150箱饮料后可获得利润750元． 8．（2025·江苏宿迁·二模）某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动，已知用1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；用3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生． (2)①见解析；②最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元． 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案；②利用总租金=每辆车的租金×租车辆数，可分别求出3种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生， 依题意可得，， 解得， 答：每辆小客车能坐20名，每辆大客车能坐45名学生． （2）解：①依题意可得，， ， ，为非负整数， 或或， 答：租车方案有三种：方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆． ②方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：（元）； ， 最省钱的租车方案为2辆小客车，8辆大客车，最少租金为元． 1．（2025·四川宜宾·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组 ． 故选：A． 2．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（    ） A．7cm B．8 C．9 D． 【答案】B 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， 则每块小平行四边形地砖的短边长为， 故选：B． 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、二元一次方程的解、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 4．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 5．（2025·青海·中考真题）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 6．（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 7．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【知识点】零指数幂、数字问题(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 8．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂、代入消元法、位似图形相关概念辨析 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 9．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 10．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 11．（2025·海南·中考真题）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元． (1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确； (2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法． 【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确； (2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【知识点】代入消元法、加减消元法、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解 （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意可列出方程组， 解得： ∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元； 该销售经理的估计正确； （2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法． 12．（2025·广西·中考真题）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ (2)周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【答案】(1) (2)特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 【知识点】列代数式、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了代数式、二元一次方程组： （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）此次行程高速费原价总共为：元 实际支付高速费用：元 （2）解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 13．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $