第07讲 不等式（组）及其应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“不等式（组）及其应用”专题，覆盖不等式基本性质、解法及应用等中考核心考点，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-分层练习”的系统复习框架，通过考点梳理、方法指导和真题训练帮助学生突破重点难点。 亮点在于“命题规律剖析+分层突破”策略，如通过2024苏州中考题解析不等式变形判断培养推理意识，结合机器人购买方案问题强化模型意识。设置“基础巩固-能力提升-全国新趋势”三级练习，配合5分钟限时真题训练，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师提供精准复习节奏指导。

第二章 方程与不等式 第07讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 不等式的基本性质 题型01 判断不等式的变形是否正确 命题点二 一元一次不等式的解法 题型01 解一元一次不等式 题型02利用不等式求解二次根式和分式有意义条件 题型03求解不等式的整数解 命题点三 一元一次不等式组的解法 题型01解一元一次不等式组 命题点四 一元一次不等式（组）应用 题型01 利用一元一次不等式（组）解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 11 突破一 不等式（组）与函数的综合 突破二 不等式（组）的实际应用 06·优题精选·练能提分 13 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式的基本性质 常州T13 苏州T4 南京T6 / 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形； 一元一次不等式的解法 宿迁T11 淮安T17 连云港T18 盐城T18 宿迁T12 盐城T18 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 一元一次不等式的应用 盐城T24 南通T24 无锡T25 / 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。 一元一次不等式组的解法及应用 扬州T20 盐城T18 常州T20 苏州T18 连云港T19 常州T18 南京T17 扬州T20 常州T19 无锡20 苏州T18 扬州T20 常州T20 南京T18 淮安T17 徐州T20 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决实际问题。 命题预测 不等式（组）在每年中考中的地位是很稳定的，重点考查的有两个方面，一是不等式（组）的解法，其二是不等式或不等式组应用。在解法方面，主要考查的方向有两个，一个式直接解一元一次不等式组，二是考查求解一元一次不等式的整数解或正整数解，在应用方面主要与方程或函数综合考查学生综合运用不等式与函数或方程相关知识解决问题的能力，26年依旧会重点考查不等式组的解法及不等式的应用。 考点一 不等式的基本性质 1、不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)、“≠”连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的基本性质 理论依据 式子表示 性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变； 若，则 性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 若，，则或 性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 若，，则或 1．（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 3．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二 一元一次不等式的解法 1.不等式的解集：一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集． 2.不等式的解集的表示方法： ①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解． 3.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式． 4.解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）． 1．（2024·江苏淮安·中考真题）解不等式：． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 考点三 一元一次不等式组的解法 1、一元一次不等式组概念： 一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 2.一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 3.一元一次不等式组的解法： 先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解． 几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 1．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）解不等组： 3．（2025·江苏连云港·中考真题）解不等式组 考点四 一元一次不等式（组）应用 1.列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： 1 审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案． 2.注意事项：应用不等式解决实际问题时，要抓住关键词“不大于、不超过、至多” 用 “≤”连接；“不少于、不低于、至少用” “≥”连接．其它情况根据需要选择合适的不等号。 1．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 命题点一 不等式的基本性质 ►题型01 判断不等式的变形是否正确 / 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·江苏南京·二模）已知，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·一模）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 一元一次不等式的解法 ►题型01 解一元一次不等式 / 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式】 1．（2025·江苏镇江·一模）解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 2．（2025·江苏盐城·三模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． ►题型02 利用不等式求解二次根式和分式有意义条件 / 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【变式】 1．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 2．（2025·江苏连云港·二模）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 命题点三 一元一次不等式组的解法 ►题型01 解一元一次不等式组 / 【典例】．（2025·江苏淮安·中考真题）解不等式组：． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）解不等式组： ►题型02 求解不等式组的整数解 / 【典例】．（2025·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·二模）解不等式组，并求出整数解的和． 2．（2025·江苏扬州·三模）解不等式组 ；并求出它的所有整数解的和． 命题点四 一元一次不等式组的应用 ►题型01 利用一元一次不等式（组）解决实际问题 / 【典例】．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【变式】 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）年月日，神舟二十号载人飞船成功发射，月日，神舟十九号飞船顺利着陆，这一去一回的“太空交接班”标志着我国航天事业迈向体系化发展的新阶段．某航模商店购进、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各个共元，购进种航空模型个和种航空模型个共需元． (1)求、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共个，若、两种航空模型的售价分别是元和元，要使获得的利润不低于元，请问至少购买种航空模型多少个？ 突破一 不等式（组）与函数的综合 【典例】．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 【变式】 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知二次函数，其图象经过点，则h的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·三模）已知二次函数（，是常数，）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 突破二 不等式（组）的实际应用 【典例】．（2025·江苏泰州·二模）端午食粽，是节日习俗之一．某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，已知甲品牌粽子每盒的进价比乙品牌高15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元． (1)求甲、乙两种品牌每盒粽子的进价； (2)超市计划购进甲、乙两种品牌的粽子共100盒，总费用不超过4400元，则最多购买甲品牌粽子多少盒？ 【变式】 1．（2025·江苏南通·二模）某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价 （单位：元） 每件售价 （单位：元） 购买总资金 （单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． (1)求的值； (2)现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 2．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 1．（2025·江苏南京·二模）要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是 ． 2．（2025·江苏泰州·二模）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 3．（2025·江苏南京·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·一模）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏·一模）解不等式：． 6．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 8．（2025·江苏南通·二模）小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？ (2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？ 9．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 1．（2025·江苏扬州·二模）已知实数，，满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 3．（2025·江苏南通·模拟预测）解不等式组：； 4．（2025·江苏南京·模拟预测）解关于x的不等式组，并把解集表示在所给数轴上． 5．（2025·江苏南京·二模）解不等式组：，并写出它的整数解． 6．（2025·江苏常州·三模）解不等式组 7．（2025·江苏镇江·一模）解不等式组： 8．（2025·江苏南通·二模）随着新能源汽车的增加，某社区计划在相关区域建设一些充电基础设施，经过公开招标，拟定购买甲型慢充桩和乙型快充桩两种型号的充电桩．相关信息如下： 信息1 甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少万元 信息2 购买5个甲型充电桩和3个乙型充电桩的总费用是万元 信息3 需购买40个充电桩，乙型的数量不少于甲型数量的一半 (1)求甲、乙两种型号充电桩的单价； (2)要想总费用最少，应购买甲、乙型充电桩各多少个？最少费用是多少万元？ 9．（2025·江苏扬州·二模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元／个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8910元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则的值是多少？ 1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 5．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 6．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 7．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 8．（2025·北京·中考真题）解不等式组： 9．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 10．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第07讲 不等式（组）及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 不等式的基本性质 题型01 判断不等式的变形是否正确 命题点二 一元一次不等式的解法 题型01 解一元一次不等式 题型02利用不等式求解二次根式和分式有意义条件 题型03求解不等式的整数解 命题点三 一元一次不等式组的解法 题型01解一元一次不等式组 命题点四 一元一次不等式（组）应用 题型01 利用一元一次不等式（组）解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 不等式（组）与函数的综合 突破二 不等式（组）的实际应用 06·优题精选·练能提分 25 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 不等式的基本性质 常州T13 苏州T4 南京T6 / 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形； 一元一次不等式的解法 宿迁T11 淮安T17 连云港T18 盐城T18 宿迁T12 盐城T18 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 一元一次不等式的应用 盐城T24 南通T24 无锡T25 / 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。 一元一次不等式组的解法及应用 扬州T20 盐城T18 常州T20 苏州T18 连云港T19 常州T18 南京T17 扬州T20 常州T19 无锡20 苏州T18 扬州T20 常州T20 南京T18 淮安T17 徐州T20 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决实际问题。 命题预测 不等式（组）在每年中考中的地位是很稳定的，重点考查的有两个方面，一是不等式（组）的解法，其二是不等式或不等式组应用。在解法方面，主要考查的方向有两个，一个式直接解一元一次不等式组，二是考查求解一元一次不等式的整数解或正整数解，在应用方面主要与方程或函数综合考查学生综合运用不等式与函数或方程相关知识解决问题的能力，26年依旧会重点考查不等式组的解法及不等式的应用。 考点一 不等式的基本性质 1、不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)、“≠”连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的基本性质 理论依据 式子表示 性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变； 若，则 性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 若，，则或 性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； 若，，则或 1．（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】不等式的性质、判断命题真假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 考点二 一元一次不等式的解法 1.不等式的解集：一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集． 2.不等式的解集的表示方法： ①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解． 3.一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式． 4.解一元一次不等式的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）． 1．（2024·江苏淮安·中考真题）解不等式：． 【答案】． 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查求不等式的解集，根据不等式的性质，先去分母，移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可． 【详解】解：， 不等式两边同乘6，得， 去括号，整理，得， 解得：． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下：    考点三 一元一次不等式组的解法 1、一元一次不等式组概念： 一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 2.一元一次不等式组的解集： 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 3.一元一次不等式组的解法： 先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解． 几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 1．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如图： ∴不等式组的解集为． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）解不等组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集是． 3．（2025·江苏连云港·中考真题）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 考点四 一元一次不等式（组）应用 1.列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： 1 审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案． 2.注意事项：应用不等式解决实际问题时，要抓住关键词“不大于、不超过、至多” 用 “≤”连接；“不少于、不低于、至少用” “≥”连接．其它情况根据需要选择合适的不等号。 1．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．1元 B．99元 C．101元 D．199元 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 2．（2024·江苏无锡·中考真题）某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 (1)求两种型号劳动用品的单价； (2)若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】(1)A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 (2)该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． （2）解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 命题点一 不等式的基本性质 ►题型01 判断不等式的变形是否正确 / 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； 故选：D． 【变式】 1．（2025·江苏南京·二模）已知，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 又∵， ∴，该选项结论错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项结论错误，不合题意； 、∵， ∴，即，该选项结论错误，不合题意； 、∵， ∴， 又∵， ∴，该选项结论正确，符合题意； 故选：． 2．（2025·江苏苏州·一模）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 由无法用来判断， ∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 故选：C． 命题点二 一元一次不等式的解法 ►题型01 解一元一次不等式 / 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式的解法，解决此题的关键是正确的计算；根据解不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得到答案 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项和合并同类项，得：， 系数化为1，得:， 把解集表示在数轴上如下： 【变式】 1．（2025·江苏镇江·一模）解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如图所示 2．（2025·江苏盐城·三模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 解集在数轴上表示如图： ． ►题型02 利用不等式求解二次根式和分式有意义条件 / 【典例】．（2025·江苏苏州·模拟预测）若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零得到不等式，进而求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 2．（2025·江苏连云港·二模）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 命题点三 一元一次不等式组的解法 ►题型01 解一元一次不等式组 / 【典例】．（2025·江苏淮安·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，解不等式的步骤，是解题的关键： 分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】先求出两个一元一次不等式的解集，然后找出它们的公共部分即可． 本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为． ►题型02 求解不等式组的整数解 / 【典例】．（2025·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·二模）解不等式组，并求出整数解的和． 【答案】，6 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求整数解；先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再求出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：，整数解为1，2，3； 不等式组的解集为，． 2．（2025·江苏扬州·三模）解不等式组 ；并求出它的所有整数解的和． 【答案】，6 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键． 先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为：，，，， ∴所有整数解的和为：． 命题点四 一元一次不等式组的应用 ►题型01 利用一元一次不等式（组）解决实际问题 / 【典例】．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 【变式】 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）年月日，神舟二十号载人飞船成功发射，月日，神舟十九号飞船顺利着陆，这一去一回的“太空交接班”标志着我国航天事业迈向体系化发展的新阶段．某航模商店购进、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各个共元，购进种航空模型个和种航空模型个共需元． (1)求、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共个，若、两种航空模型的售价分别是元和元，要使获得的利润不低于元，请问至少购买种航空模型多少个？ 【答案】(1)种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元 (2)至少购买种航空模型个 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元，根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设购买种航空模型个，则购买种航空模型个，根据“获得的利润不低于元，”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：种航空模型的进价是元，种航空模型的进价是元； （2）解：设购买种航空模型个，则购买种航空模型个， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：至少购买种航空模型个． 突破一 不等式（组）与函数的综合 【典例】．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围． 【详解】解：，． ， ， 整理得． 因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即， 此时不等式变为， ， ， ． 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知二次函数，其图象经过点，则h的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意得到，解得，再根据，得到，求解即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数，其图象经过点， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（2025·江苏苏州·三模）已知二次函数（，是常数，）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，先求得，再根据各选项求解即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ，， ， A、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； B、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； C、若，，则，则，原说法正确，故本选项符合题意； D、若，，则，则，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 突破二 不等式（组）的实际应用 【典例】．（2025·江苏泰州·二模）端午食粽，是节日习俗之一．某超市准备购进甲、乙两种品牌的粽子，已知甲品牌粽子每盒的进价比乙品牌高15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元． (1)求甲、乙两种品牌每盒粽子的进价； (2)超市计划购进甲、乙两种品牌的粽子共100盒，总费用不超过4400元，则最多购买甲品牌粽子多少盒？ 【答案】(1)甲种品牌每盒粽子50元，乙种品牌每盒粽子35元 (2)最多购买甲种品牌60盒 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设甲、乙两种品牌每盒粽子的进价分别为元，元，根据甲品牌粽子每盒的进价比乙品牌高15元，购进3盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子共290元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲品牌粽子盒，根据总费用不超过4400元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种品牌每盒粽子的进价分别为元，元，由题意，得： ，解得：， 答：甲种品牌每盒粽子50元，乙种品牌每盒粽子35元； （2）设购进甲品牌粽子盒，由题意，得：， 解得：； 答：最多购买甲种品牌60盒． 【变式】 1．（2025·江苏南通·二模）某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价 （单位：元） 每件售价 （单位：元） 购买总资金 （单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． (1)求的值； (2)现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 【答案】(1)18 (2)当时，甲商品购进18件，乙商品购进62件；当时，甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；当时，甲商品购进15件，乙商品购进65件． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式是关键． （1）用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设甲商品购买件，销售总利润为元．列出一次函数并分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得．    方程两边乘， 得． 解得．     检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：的值为18； （2）设甲商品购买件，销售总利润为元． 则 ．     ，且， ．     ①当时，，此时随的增大而增大． 当时，取得最大值， 即甲商品购进18件，乙商品购进62件；     ②当时，，此时与无关． 即甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；      ③当时，，此时随的增大而减小． 当时，取得最大值， 即甲商品购进15件，乙商品购进65件． 2．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【答案】(1)制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元 (2)当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，根据“制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，根据“A主题书签的制作数量不少于B主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设全部售出后的获得的总利润为w元，利用总利润每套A主题书签的销售利润制作A主题书签的套数每套B主题书签的销售利润制作B主题书签的套数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签， 根据题意得：， 解得：， 设全部售出后的获得的总利润为w元， 则， 即， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， （套）． 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元． 1．（2025·江苏南京·二模）要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】不等式的性质、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，不等式的性质等知识点，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， 故答案为：． 2．（2025·江苏泰州·二模）已知，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解此题的关键．根据不等式的基本性质可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3．（2025·江苏南京·二模）若，且，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加法，根据绝对值的性质求出m、n的值，再根据判断出m、n的对应情况，再相加即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， 则当时，的值随着n的增大而增大； 当时，；当时，； ∴当时，， 即． 只有D符合题意. 故选D． 4．（2025·江苏南京·一模）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式组，先求解，，再逐个选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·江苏·一模）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【详解】本题考查了解一元一次不等式．首先去分母，然后去括号，接着进行移项，最后将未知数的系数化为1，从而求出不等式的解集，即可作答． 【分析】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 6．（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是解决问题的关键；先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得 ； 解不等式②得 ； 故原不等式组的解集为． 在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示： ． 7．（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了分式方程的求解方法以及根据方程解的取值范围确定参数取值范围的能力，同时要考虑到分式方程中分母不能为零这一重要条件．熟练掌握分式方程的求解步骤，以及能够根据题目条件准确列出关于参数的不等式组是解题的关键． 首先解给定的分式方程，将方程的解用含的表达式表示出来；然后根据方程的解为非负数这一条件，以及分式方程中分母不能为零的限制，列出关于的不等式组；最后求解这个不等式组，得到的取值范围． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． ∵分式方程分母不能为，即，， ∴，． 又∵方程的解为非负数， ∴，． 综上，且． 故答案为：且． 8．（2025·江苏南通·二模）小明到服装店进行社会实践活动，服装店老板让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价120元，售价180元；乙种每件进价100元，售价150元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过11500元，则甲种服装最多购进多少件？ (2)在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案使这批服装获得的利润最大？ 【答案】(1)件 (2)方案1：当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当时，当时，购进甲种服装65件，乙种服装35件． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，准确列出不等式和函数解析式是关键． （1）设购进甲种服装x件, 购进这100件服装的费用不得超过11500元，据此列出不等式，解不等式即可得到答案； （2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以，列出函数解析式，根据一次函数的性质分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设购进甲种服装x件,由题意可知：       解得： 答：甲种服装最多购进75件． （2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以， 方案1：当时，，w随x的增大而增大 所以当时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件； 方案2：当时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以； 方案3：当时，，w随x的增大而减小 所以当时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件． 9．（2025·江苏常州·一模）江苏省是中国重要的粮食生产基地，其大米产量在全国占据重要地位．经销商老杨购进了一批南粳1号大米和南粳2号大米进行销售，两种米的进价和价如下： 进价(元/公斤) 售价(元/公斤) 南粳1号 a 6 南粳2号 b 8 已知老杨购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元． (1)求a，b的值； (2)若老杨购进两种粳米共320公斤，其中南粳2号大米的进货量不超过南粳1号大米进货量的3倍，且不低于南粳1号大米进货量的，设购进南粳1号大米x公斤，则老杨应该如何进货才能使全部售完后的销售利润y(元)最大?最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准不等量关系，正确列出一元一次不等式组；（3）灵活运用一次函数的性质求最值． 设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元，根据购进400公斤南粳1号大米和100公斤南粳2号大米共需2000元；购进300公斤南粳1号大米和 200公斤南粳2号大米共需2250元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤，根据题意，得，，设销售的总利润为W元，则，根据一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设南粳1号大米的进价是a元，南粳2号大米价是b元， 由题意得：， 解得：， 答：南粳1号大米的进价是元，南粳2号大米价是6元． （2）解：设购进南粳1号大米x公斤，则购进南粳2号大米价公斤， 根据题意，得：， 解得， 设销售的总利润为W元，则， 由y随x的增大而增大，得当时，利润最大，最大为740元． 购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 答：购进南粳1号大米200公斤，南粳2号大米120公斤时，全部售完后的销售利润最大，最大为740元． 1．（2025·江苏扬州·二模）已知实数，，满足，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】构造二元一次方程组求解、不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，平方的非负性的应用及解二元一次方程组，熟练掌握不等式性质是解题的关键．由题意得，可求，则，可求，进而可得． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴， 解得:， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、不等式的性质 【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）解不等式组：； 【答案】； 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．分别求解两个不等式，再求公共解即可； 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：； 4．（2025·江苏南京·模拟预测）解关于x的不等式组，并把解集表示在所给数轴上． 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 先求出两个不等式的解集，再求其解集的公共部分，并把解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 则不等式组的解集为 5．（2025·江苏南京·二模）解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解为、、 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再根据解集写出不等式组的整数解即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为、、． 6．（2025·江苏常州·三模）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， ∴不等式组的解集为； 7．（2025·江苏镇江·一模）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 8．（2025·江苏南通·二模）随着新能源汽车的增加，某社区计划在相关区域建设一些充电基础设施，经过公开招标，拟定购买甲型慢充桩和乙型快充桩两种型号的充电桩．相关信息如下： 信息1 甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少万元 信息2 购买5个甲型充电桩和3个乙型充电桩的总费用是万元 信息3 需购买40个充电桩，乙型的数量不少于甲型数量的一半 (1)求甲、乙两种型号充电桩的单价； (2)要想总费用最少，应购买甲、乙型充电桩各多少个？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元 (2)购买甲型充电桩，乙型充电桩，此时总费用最少，最少费用为万 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数求最大利润的计算，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元，由此列式求解即可； （2）设购买甲型充电桩个，则乙型充电桩有个，则，设总费用为，由此得到一次函数解析式，根据一次函数求最大值的计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元， ∴ 解得，， ∴甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买甲型充电桩个，则乙型充电桩有个， ∴， 解得，， 设总费用为， ∴， ∵， ∴总费用随甲型充电桩的数量增加而减小， ∴当时，总费用最小，最小值为（万元）， ∴购买甲型充电桩，乙型充电桩，此时总费用最少，最少费用为万． 9．（2025·江苏扬州·二模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元／个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8910元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则的值是多少？ 【答案】(1)； (2)当销售单价是57元时，网店每天获利8910元； (3)． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出关系式或方程． （1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可； （2）根据每日销售利润为8910元，列出方程，解方程即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，得出，求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个， ∴， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元， ∴， ∴． 即，其中． （2）根据题意，得， 解得， ， ， 答：当销售单价是57元时，网店每天获利8910元； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元， 则 对称轴为 ， ， 当时，随的增大而增大， 时，取得最大值， ， 解得． 1．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 3．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 4．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 6．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 7．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 8．（2025·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 9．（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 10．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $